Цель:
- закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений;
- повторить основные тригонометрические формулы;
- подготовиться к сдаче ЕГЭ.
1. Сегодня мы с вами отправимся покорять вершину «Тригур».
Путь наш будет нелегким, нам предстоит разминка, 2 перехода и покорение вершины, но есть и привал.
Дорога к знанью?
Ну что ж, ее понять легко.
Ответить можно сразу
Вы ошибаетесь и ошибаетесь опять,
Но меньше, меньше, меньше
С каждым разом!
Давайте договоримся, если вы наберете больше 55 баллов, получите за урок «5», от 50 до 54 баллов – «4», от 40 до 49 баллов – «3».
Для покорения вершины мы разбились на 4 группы, у каждой группы есть свой инструктор, который будет помогать и контролировать работу группы.
2. Перед походом обычно устраивают разминку.
Вам предлагается проверить знания по предыдущей теме «Тригонометрические формулы». Собираем математическое лото. (8 баллов)
(В результате должны получиться портреты великих математиков, которые внесли вклад в развитие науки тригонометрия).
Начинаем разминку. (Каждая группа собирает лото и вывешивает на доску собранный портрет).
Чтобы отправиться в путь проверим снаряжение – это знание не только формул тригонометрии, но и знание формул решения простейших тригонометрических уравнений. (Проговор формул в группах, эталонный ответ формул – 1 формула 1 группа, каждая группа вывешивает на стенд плакат с формулой. Каждый ученик получает за проговор 1 балл, эталон – 2 балла)
3. Молодцы! Ну что же в путь, друзья!
Каждая группа поднимается по своему маршруту и при правильном выборе решения уравнения у вас получатся слова, которые и будут девизом нашего похода.
(Учащиеся работают над решением простейших тригонометрических уравнений, за каждое решенное уравнение 1 балл, и на доске получаются слова: верю, знаю, умею, решу.)
1 группа
1) sin x = 0
x = (-1)nπ + πn; nϵZ; (А)
x = π/2 + πn; nϵZ; (Г)
x = πk; kϵZ; (В)
2) сos x = 0,5
x = ±π/3 + 2πn; nϵZ; (Е)
x = π/3 + πn; nϵZ; (П)
x = ±π/6 + 2πn; nϵZ (М)
3) tg x = √3
x = π/6 + πn; nϵZ; (Ф)
x = π/3 + 2πn; nϵZ; (О)
x = π/3 + πn; nϵZ; (Р)
4) ctg x = 1
x = π/4 + 2πn; nϵZ; (Д)
x = 3π/4 + πn; nϵZ; (У)
x = π/4 + πn; nϵZ; (Ю)
2 группа
1) sin x = 1
x = π/2 + πn; nϵZ; (П)
x = (-1)n π/2 + 2πn; nϵZ; (Ы)
x = π/2 + 2πn; nϵZ; (З)
2) cos x = 1
x = ± π/2 + 2πn; nϵZ; (К)
x = 2πn; nϵZ; (Н)
x = π + 2πn; nϵZ; (У)
3) tg x = 1/√3
x = π/6 + πn; nϵZ; (А)
x = π/3 + πn; nϵZ; (Р)
x = π/3 + 2πn; nϵZ; (О)
4) ctg x = 0
x = πk; kϵZ; (Я)
x = (-1)k π/2 + πk; kϵZ; (В)
x = π/2 + πk; kϵZ; (Ю)
3 группа
1) sin x = - 0,5
x = ±π/6 + 2πn; nϵZ (Л)
x = (-1)n+1 π/6 + πn; nϵZ; (У)
x = π/6 + πn; nϵZ; (А)
2) cos 4x = 0
x = π/4 + πn; nϵZ; (О)
x = π/8 + πn/4; nϵZ; (М)
x = π/2 + 2πn; nϵZ; (И)
3) tg x = √2/2
x = π/4 + πn; nϵZ; (О)
x = arctg √2/2 + 2πn; nϵZ; (Х)
x = arctg √2/2 + πn; nϵZ; (Е)
4) ctg 3x = - 1
x = π/4 + πn/4; nϵZ; (М)
x = ±π/4 + πn/3; nϵZ; (М)
x = π/4 + πn/3; nϵZ; (Ю)
4 группа
1) tg x = 1
x = ±π/4 + 2πn; nϵZ; (Д)
x = π/2 + 2πn; nϵZ; (И)
x = π/4 + πn; nϵZ; (Р)
2) cos x = - 1
x = ±π + 2πn; nϵZ; (У)
x = π + 2πn; nϵZ; (Е)
x = (-1)k π/2 + πk; kϵZ; (В)
3) ctg x = √3
x = π/6 + πn; nϵZ; (Ш)
x = ±π/6 + 2πn; nϵZ; (К)
x = π/3 + πn; nϵZ; (Х)
4) sin x = -√2/2
x = -π/4 + πn; nϵZ; (Р)
x = (-1)n+1 π/4 + πn; nϵZ; (У)
x = ±π/4 + 2πn; nϵZ; (Д)
4. Молодцы! А теперь привал.
На привале послушаем историческую справку о великих математиках (представители из каждой группы переходят в соседнюю группу и рассказывают о великом математике). Учитель ходит от одной группы к другой и выясняет, что затронуло в рассказе.
Аристотель 2500 лет назад заметил: «Мышление начинается с удивления». А математика замечательный предмет для удивления.
5. Передохнули и снова в путь, впереди самое трудное восхождение.
Вам предстоит выполнить задание, состоящее из 3-х уровней сложности: в уровне А – выбрать правильный ответ, в уровне Б – решить одно из уравнений и хорошо подумать как решить уравнений в уровне С.
Будьте внимательны, от работы каждого зависит результат группы. Все задания взяты из сборника по подготовке к ЕГЭ.
1 вариант
Уровень А (каждое правильно решенное уравнение 2 балла)
1) 3ctg x = √3
a) π/3 + πn; nϵZ;
б) π/6 + πn; nϵZ;
в) ±π/3 + 2πn; nϵZ;
г) 2π/3 + πn; nϵZ;
2) 2cos х = √3
a) ±π/3 + 2πn; nϵZ;
б) (-1)nπ/3 + 2πn; nϵZ;
в) ±π/3 + 2πn; nϵZ;
г) (-1)nπ/6 + πn; nϵZ;
3) sin 2x = -1
a) -π/2 + 2πn; nϵZ;
б) (-1)n+1 π/4 + πn; nϵZ;
в) -π/4 + πn; nϵZ;
г) ±π/6 + πn; nϵZ;
4) tg (x - π/3) = 1
a) -π/12 + πn; nϵZ;
б) 7π/12 + πn; nϵZ;
в) π/4 + πn; nϵZ;
г) -7π/12 + πn; nϵZ;
Уровень Б
1) 3sin x + 4cos (π/2 + x) = 1; (3 балла)
2) (tg x - 1)(tg x + √3) = 0; (4 балла)
Уровень С (5 баллов)
sin х/(1 - cos х) = 0
2 вариант
Уровень А (каждое правильно решенное уравнение 2 балла)
1) ctg x – √3 = 0
a) π/6 + πn; nϵZ;
б) -π/3 + πn; nϵZ;
в) 5π/6 + 2πn; nϵZ;
г) π/6 + 2πn; nϵZ;
2) sin х - √2/2 = 0
a) π/4 + 2πn; nϵZ;
б) π/4 + πn; nϵZ;
в) (-1)nπ/4 + πn; nϵZ;
г) ±π/4 + 2πn; nϵZ;
3) cos2x - sin2x = 0,5
a) ±π/3 + πn; nϵZ;
б) ±π/6 + πn; nϵZ;
в) ±π/3 + 2πn; nϵZ;
г) ±π/6 + 2πn; nϵZ;
4) tg 2x = - 1
a) -π/8 + 2πn; nϵZ;
б) 3π/8 + πn; nϵZ;
в) -π/8 + πn; nϵZ;
г) -π/4 + πn; nϵZ;
Уровень Б
1) cos2x – sin2x = 2cos 2x; (3 балла)
2) 1 – 4sin x cos x = 0; (4 балла)
Уровень С (5 баллов)
sin х/(1 - cos х) = 0
3 вариант
Уровень А (каждое правильно решенное уравнение 2 балла)
1) 2sin x = 1
a) π/6 + 2πn; nϵZ;
б) (-1)n π/6 + πn; nϵZ;
в) ±π/6 + 2πn; nϵZ;
г) π/6 + πn; nϵZ;
2) cos x/2 - √2/2 = 0
a) ±π/2 + 4πn; nϵZ;
б) (-1)nπ/8 + 2πn; nϵZ;
в) (-1)nπ/8 + πn/2; nϵZ;
г) ±π/8 + πn; nϵZ;
3) ctg (x + π/6) = 1
a) π/12 + πn; nϵZ;
б) 5π/12 + πn; nϵZ;
в) -π/6 + πn; nϵZ;
г) -π/12 + πn; nϵZ;
4) tg 3x = √3/3
a) π/2 + 3πn; nϵZ;
б) π/6 + πn; nϵZ;
в) π/18 + πn/3; nϵZ;
г) π/18 + πn; nϵZ;
Уровень Б
1) cos2x = sin2x; (3 балла)
2) (√3 tg x + 1)(tg x - √3) = 0; (4 балла)
Уровень С (5 баллов)
4 вариантsin х/(1-cosх ) = 0
Уровень А (каждое правильно решенное уравнение 2 балла)
1) cos 2x = 0,5
a) ±π/6 + πn; nϵZ;
б) ±π/6 + 2πn; nϵZ;
в) (-1)nπ/6 + 2πn; nϵZ;
г) π/3 + πn; nϵZ;
2) 2sin x cos x = - 0,5
a) ±π/12 + 4πn; nϵZ;
б) π/12 + 2πn; nϵZ;
в) (-1)n+1π/12 + πn/2; nϵZ;
г) ±π/6 + πn; nϵZ;
3) tg x + √3 = 0
a) -π/3 + πn; nϵZ;
б) -π/3 + 2πn; nϵZ;
в) ±π/6 + πn; nϵZ;
г) π/6 + πn; nϵZ;
4) √3tg 2x = 1
a) π/6 + πn; nϵZ;
б) π/12 + πn/2; nϵZ;
в) π/3 + πn/2; nϵZ;
г) ±π/12 + πn; nϵZ;
Уровень Б
1) sin π/5 cos x + sin x cos π/5 = 1; (3 балла)
2) 2cos2x = 1 + 2sin2x; (4 балла)
Уровень С (5 баллов)
sin х/(1-cos х ) = 0
Учащиеся работают над заданием (в каждой группе задания выполняются по вариантам), если возникают затруднения, то ученик поднимает руку, что служит сигналом для учителя или для ученика-консультанта, который выполнил задание. Этому ученику оказывается помощь. Тот кто первым выполнил задание до конца, в том числе и задание группы С, оформляет решение на доске. Для проверки учащиеся пересаживаются по вариантам, проверяют выполнение заданий и начисляют баллы, возвращаются в свою группу, инструкторы подводят итог работы группы.
6. Мы прошли почти весь путь, осталось только подняться на вершину.
Вам предлагается творческое задание: по чертежу записать все значения х, которые указаны на единичной тригонометрической окружности, и придумать уравнения, решениями, которых являются записанные значения х. (каждое уравнение 5 баллов)
1.
3.
4.
7. Инструкторы подводят итог работы группы.
Учащиеся подсчитывают количество баллов полученных за урок и каждый инструктор заполняет ведомость.
Подведение итогов.
Оцените работу каждой группы? класса?
Насколько полезным вы считаете сегодняшний урок в освоении данной темы?
Таксономия.
8. Домашнее задание.
Решение простейших тригонометрических уравнений из материалов ЕГЭ.