Цели урока:
- обобщение знаний учащихся и формулировка определения числовой последовательности;
- изучение способов задания числовых последовательностей;
- совершенствование умений преобразования алгебраических выражений;
- развитие устных вычислительных навыков, математической речи учащихся, формирование аналитических и логических способностей, расширение кругозора;
- воспитание самостоятельности, интереса и уважения к изучаемому предмету.
Задача урока: подготовка учащихся к изучению темы «Пределы».
Оборудование: таблицы, плакаты, карточки.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания. Рассмотрение неясных вопросов домашнего задания.
3. Сообщение темы, целей и задачи урока.
Числовые последовательности и способы их задания.
В 9 классе на уроках алгебры мы уже встречались с понятием числовой последовательности. Рассматривали свойства некоторых последовательностей, способы их задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии нами были изучены более подробно. Мы познакомились с формулами n-го члена прогрессии, суммы n первых членов прогрессии. Настало время вспомнить и обобщить изученный материал, систематизировать его и применить к более сложным понятиям. На последующих уроках нам предстоит рассмотреть одну из важнейших тем математического анализа – «Пределы». Сегодняшний урок будет подготовкой к изучению этой темы, т.е. фундаментом, на котором потом выстроится здание с названием «Предел».
Обратимся к следующим примерам числовых последовательностей:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … (1)
5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, … (2)
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, … (3)
1, √2, √3, 2, √5, √6, √7, 2√2, … (4)
(5)
2, 0, -2, -4, -6, -8, -10, -12, … (6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Внимательно посмотрите на эти примеры. Что у них общего? В каждом примере выписано по восемь членов последовательности. Могли бы вы написать, например, девятые члены?
Значит, во всех приведенных примеров последовательностей налицо определенный закон, который позволяет нам дописать девятые, десятые и прочие члены последовательностей. Правда, надо заметить, что задание некоторого конечного числа членов может и не выявить закона, по которому построена бесконечная последовательность.
В данном случае эти законы хорошо просматриваются. В примере (1) перед нами члены бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 2. В примере (2) имеем последовательно расположенные нечетные числа, начиная с 5. В примере (3) последовательно расположенные квадраты натуральных чисел….
Будем рассуждать более строго. Пронумеруем все члены последовательности по порядку: 1, 2, 3, …, n, …
Существует некий закон (некое правило), по которому каждому из этих натуральных чисел ставится в соответствие определенное число (соответствующий член последовательности). В примере (1) это соответствие выглядит так:
(члены последовательности)
1 2 3 4 5 6 … n … (номера мест)
Для задания последовательности достаточно указать, какой член последовательности соответствует числу n, т.е. стоит на n-ом месте. Можно сформулировать следующее определение последовательности.
Говорят, что задана числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-либо закону однозначно поставлено в соответствие определенное число (член последовательности).
В общем виде указанное соответствие можно изобразить так:
1 2 3 4 5 … n …
Число 
есть n-ый член последовательности. Всю последовательность обычно обозначают 
.
В учебнике Алгебра и математический анализ под редакцией Н. Я. Виленкина определение числовой последовательности дается – как функции, заданной на множестве натуральных чисел. По существу, это одно и тоже. В дальнейшем нам придется сталкиваться с числовыми функциями, заданными не на множестве натуральных чисел, а определенными на числовой прямой или каком-нибудь промежутке. Поэтому, сформулированное выше определение последовательности является совершенно корректным.
Возвращаясь к нашим примерам последовательностей, рассмотрим в каждом случае аналитическое выражение (формулу) для n-го члена.
В примере (1) имеем 
. В примере (2): 
. В примере (3): 
.В примере (4): 
. В примере (5): 
. В примере (6): 
. В примере (7):
. В примере (8): если п = 2к ; и 
, если п = 2к - 1. Важно заметить, что способ задания последовательности при помощи формулы для её n-го члена не является единственным.
Наряду со способом, рассмотренным выше, применяют рекуррентное (латинское слово recurrere – «возвращаться») задание последовательности. В этом случае для задания последовательности надо указать первый (или несколько первых) член последовательности и рекуррентное соотношение, выражающее n-ый член последовательности через предыдущий (или несколько предыдущих).
Используя рекуррентный способ, представим последовательность (1) так:
. Последовательность (2): 
Пользуясь рекуррентным способом, определим одну любопытную последовательность:
. Вот ее первые члены:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (11) <Приложение Рис.1>
Она известна как последовательность чисел Фибоначчи.
Может быть, кто-то из вас слышал о задаче с кроликами Фибоначчи. От этой задачи, сформулированной итальянским математиком XIII века Фибоначчи, и происходит название последовательности. Задача такова:
Некто поместил пару новорожденных кроликов в огороженный загон и хочет знать, сколько кроликов у него будет через некоторое время. Условия задачи таковы: пара кроликов начинает давать потомство через два месяца после своего рождения, и каждый месяц появляется одна пара кроликов. В начале (в первом месяце) мы имеем в загоне одну пару кроликов (у1 = 1), во втором месяце имеем по прежнему одну пару (у2 = 2), в третьем месяце появляется приплод, поэтому число пар кроликов в загоне становится равным двум (у3 = 2), в четвертом месяце появляется еще один приплод от первой пары кроликов (у4 = 3), в пятом месяце появляется приплод как от первой, так и от второй пар кроликов (у5 = 5) и т.д.
Увеличение пар кроликов в загоне от месяца к месяцу хорошо иллюстрирует рисунок. Можно видеть, что число пар кроликов подсчитываемые каждый месяц образуют последовательность (11), т.е. последовательность чисел Фибоначчи.
Последовательность чисел Фибоначчи любопытна вовсе не потому, что описывает упрощенную схему размножения кроликов. Оказывается, что эта последовательность загадочным образом возникает в самых неожиданных ситуациях. Например, в настоящее время числа Фибоначчи применяются при обработке информации с помощью ЭВМ, при поиске оптимальных методов программирования. Впрочем, это уже отдельная тема для разговора.
Возвращаясь к способам задания последовательности, хочу подчеркнуть, что сам по себе способ задания последовательности непринципиален. Одну последовательность удобнее задать формулой n-го члена, другую (как, например, последовательность чисел Фибоначчи) рекуррентным способом. Важно лишь одно – тем или иным способом должен быть фиксирован закон соответствия, т.е. закон, по которому всякому натуральному числу ставится в соответствие определенный член последовательности. В ряде случаев этот закон удается сформулировать лишь словесно. Примерами могут служить последовательности:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … (12)
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; … (13)
В обоих случаях мы не можем указать ни формул n-го члена, ни рекуррентного соотношения. Тем не менее, вы без особого труда можете усмотреть здесь определенные законы соответствия и сформулировать их словесно.
Последовательность (12) есть последовательность простых чисел, расположенных в порядке возрастания, а последовательность (13) есть, очевидно, последовательность, составленная из десятичных приближений по недостатку числа π.
Исходя из сказанного, можно сделать вывод, что упорядоченность, определяемая некой формулой (неким аналитическим выражением) необязательна. Важно лишь наличие какого-либо закона (правила, признака) соответствия, позволяющего сопоставить всякому натуральному числу определенный член последовательности. В примерах (12) и (13) законы соответствия налицо. Поэтому последовательности (12) и (13) нисколько не хуже (как, впрочем, и не лучше) последовательностей (1) – (11), допускающих аналитическое задание.
Далее остановимся на геометрическом (графическом) изображении числовых последовательностей. Выберем две координатные оси – ось x и ось у. На первой отложим числа 1, 2, 3, …, n, …, а на второй – соответствующие члены последовательностей, т.е. числа 
Тогда последовательность может быть изображена в виде множества точек М(n; уn) координатной плоскости.
(Графики некоторых используемых числовых последовательностей размещены в <Приложении>)
Впрочем, возможно и иное геометрическое изображение числовых последовательностей. Сохраним только одну координатную ось (ось у) и отметим на ней точками 
члены рассматриваемой последовательности. На рисунке 9 этот способ изображения последовательностей продемонстрирован для последовательностей, которые рассматривались на рисунках 2-5. Надо признать, что указанный способ обладает меньшей наглядностью по сравнению с предыдущим. Однако в случае последовательностей (4) и (5) второй способ достаточно нагляден. Члены последовательностей (4) и (5) обладают свойством: каждый член последовательности больше предыдущего члена 
Поэтому они располагаются на оси у в порядке их номеров. Такие последовательности называют возрастающими, или в общем случае – неубывающие (если наряду со знаком меньше, допускается и знак равенства). Сформулируем определения:
- Последовательность (уn) называется неубывающей, если
. - Последовательность (уn) называется невозрастающей, если
- Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяют под названием монотонных последовательностей.
Найдем среди наших примеров с (1) по (13) монотонные последовательности.
Последовательности (1); (2); (3); (4); (5); (11); (12); (13) – неубывающие последовательности, (6) и (7) невозрастающие. Последовательности (8); (9); (10) не являются монотонными.
Сформулируем еще одно определение:
Последовательность 
называется ограниченной, если можно указать такие два числа А и В, между которыми лежат все члены последовательности.
Если такие два числа указать нельзя (если, в частности, можно указать только одно из этих чисел, меньшее или большее), то последовательность называют неограниченной (ограниченной снизу или ограниченной сверху).
Есть ли среди наших примеров ограниченные последовательности?
Последовательности (5), (7),(9),(10) и (13) – ограниченные. Заметим при этом, что последовательности (5), (7) и (13) будучи ограниченными, являются в тоже время и монотонными. Не кажется ли вам это удивительным?
Возьмем, например, последовательность (5). Заметьте: каждый последующий член больше предыдущего. Я подчеркиваю: каждый! А ведь последовательность содержит бесконечно много членов. Значит, если мы будем мысленно двигаться сколь угодно долго вдоль последовательности, мы станем свидетелями сколь угодно большого количества актов возрастания величины членов последовательности. Всякий раз к предыдущему члену добавляется все меньшая и меньшая величина. И не смотря на это, упомянутая величина все равно не будет превышать некой «границы», в данном случае 1.
Но этого, очевидно, недостаточно для того, чтобы последовательность оказалась ограниченной. Возьмем, например, последовательность (4). Тут тоже «добавки» к величине членов последовательности постепенно уменьшаются, однако последовательность (4) отнюдь не является ограниченной. Может быть в последовательности (5) эти добавки уменьшаются быстрее, чем в примере (4). Но заранее совсем неясно, что возможна такая скорость уменьшения этих самых «добавок», чтобы последовательность оказалась ограниченной.
Возможность подобных ситуаций была неведома древним грекам. Достаточно вспомнить известный парадокс об Ахиллесе, догоняющем черепаху.
Пусть между ними имеется начальное расстояние в 1км и пусть Ахиллес догоняет черепаху, двигаясь в 10 раз быстрее, чем черепаха. Древние греки рассуждали так: пока Ахиллес пробежит 1км, черепаха преодолеет 100м; пока Ахиллес пробежит эти 100м, черепаха преодолеет 10м, пока Ахиллес пробежит 10м, черепаха преодолеет 1м – и так бесконечно. Отсюда делался парадоксальный вывод: Ахиллес никогда не догонит черепаху.
В данном «парадоксе» отразилось, в конечном счете, непонимание того, что монотонная последовательность может быть ограниченной. Этот факт приводит нас вплотную к разговору о пределе последовательности.
Дело в том, что если последовательность является одновременно и монотонной и ограниченной, то она обязательно имеет предел. Но об этом мы поговорим на следующих уроках. А сейчас рассмотрим несколько ключевых задач, связанных с темой нашего урока и повторим тему «Метод математической индукции», ведь именно в этой теме мы встречались с числовыми последовательностями.
iV. Закрепление материала.
1). Рассмотрение примеров учебника. (п.6. стр.94). (Учебное пособие Алгебра и математический анализ 10 класс Н.Я.Виленкин О.С.Ивашев – Мусатов С.И.Шварцбурд М. Просвещение, 2004)
Пример 1. Напишем первые пять членов последовательности 
(см. учебник).
2). Решение упражнений.
№192(2,3), №193(1,3,5), №83.
3). Самостоятельная работа (Задания на карточках)
V. Подведение итогов урока.
Итак, на сегодняшнем уроке мы с вами обобщили понятия числовых последовательностей. Рассмотрели аналитические, словесные и графические способы задания функции. Узнали последовательность чисел Фибоначчи. Рассмотрели понятия монотонных и ограниченных последовательностей и вплотную приблизились к теме «Пределы».
VI. Домашнее задание.
п.6. стр.94 №192(1,4), №193(2,4,6).