Урок одного уравнения sinx+cosx=1

Разделы: Математика

ПЛАН УРОКА.

(2 урока)

1.   Организационный момент – 2 минуты

 2.   Вводный тест - 5 минут

  1. Работа в группах – 10 минут
  2. Историческая справка – 5 минут
  3. «Радости» - 60 минут
  4. Домашнее задание – 3 минут
  5. Итог урока – 5 минут

Цели урока:          

образовательные:  повторить и систематизировать тему «Решение тригонометрических уравнений»  на примере  решения одного уравнения разными  способами, создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений;

развивающие: способствовать формированию умений применять приемы переноса знаний в новую ситуацию, развивать логическое мышление, умение обобщать и делать выводы;

воспитательные: воспитание интереса к предмету, уважительное отношение к одноклассникам, воспитание активности, прилежания, внимания, прививать аккуратность.

Тип урока: урок применения знаний и умений с использованием современных образовательных технологий.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический) метод обучения в сотрудничестве; метод самопроверки, взаимопроверки.

Формы организации урока: уровневая дифференциация, индивидуальная, групповая работа, работа в сотрудничестве, фронтальная.

Оборудование: презентация; кодоскоп;  карточки-задания; оценочный лист каждому ученику; цветные фломастеры; кодопозитивы с карточками-подсказками; пленка для слайдов; цветная бумага; на доске записан девиз урока, портрет Эйлера, исторический доклад-сообщение.

Описание проверочных работ для учащихся по теме урока и оценка работы учащихся.

Работа учащихся оценивается на каждом этапе урока определенным количеством баллов, учитывая их сумму – выставляется оценка за урок.

Вводный тест:

Цель вводного теста – актуализация знаний, которые потребуются на уроке. Он состоит из пяти заданий. В первом задании проверяется знание основного тригонометрического тождества. Во втором задании проверяется знание свойства периодичности тригонометрических функций. В третьем и четвертом заданиях проверятся знание нахождения корней простейших тригонометрических уравнений и применение правила отбора их, удовлетворяющих определенным условиям. В пятом задании ученики вспоминают правило об изменении области значений функции при преобразовании функции. Задания теста записаны на доске. Тест выполняется в начале урока в течение 5 минут каждым учеником индивидуально. За правильно выполненное задание он получает баллы, которые вносятся в оценочный лист.

1-е задание  -  1 балл
2-е задание  -  2 балла
3-е задание  -  3 балла
4-е задание  -   2 балла
5-е задание  -  1 балл.

Работа в группах: предварительно учитель назначает консультантов, вокруг которых формируются группы. Консультант – один из сильных учеников, его задача заключается не только в том, чтобы самому решать задачи, но и разумно организовать работу группы. Если ученик не желает выступать в роли консультанта, не нужно настаивать – принуждение скажется на работе ученика и группы в целом. Затем определяется состав группы из 3-4 человек. Группа занимает отдельное место (две парты, поставленные рядом). Идеальный вариант работы, когда консультант организует коллективную работу в сотрудничестве по решению уравнения каждым способом (обсуждение путей решения, индивидуальное решение задачи и сверка ответов). Тогда каждый ученик из группы выполняет все предложенные задания.  Результаты работы каждого члена группы оцениваются консультантом по трехбалльной шкале (0-1-2 балла).
После того как каждой группе выдано задание, идет обсуждение и поиск решения этих заданий (8-10 мин). Задания  составлены с целью проверки знаний учащихся по применению тригонометрических формул к упрощению выражений и доказательству тождеств. Для проверки используется кодоскоп: решение заданий ученики записывают цветными ручками на пленке, затем слайды групп по очереди кладутся рядом на экран кодоскопа, и затем один представитель от группы объясняет решение у доски для всего класса. Это позволяет быстро сравнить решения и указать учащимся   на возможные ошибки. В приложении приведены слайды с решениями и ответами для групп.

«Радости»: этот этап урока назван так, потому что у каждого  радости свои. Для одного – это хорошая отметка, для другого – похвала, для третьего – улыбка учителя, для четвертого – радость от найденного решения трудной задачи и т. д.  Перед учениками ставилась задача найти как можно больше способов решения одного тригонометрического уравнения. Работа выполнялась в группах  в течение 60 минут. Каждый найденный способ обсуждался в группе, его решение оформлялось на слайде, для дальнейшего объяснения всему классу. При работе  ученики могли использовать карточки-подсказки, которые проецировались на доску через кодоскоп. (В конспекте они приведены). Учитель на данном этапе урока выступает в роли консультанта, пользуясь карточками-подсказками и опираясь на ключевые слова. Работа учащихся над каждым способом решения оценивается консультантом в 1 или 2 балла.

Итог урока: Выставляется итоговая оценка по общему количеству набранных баллов:

«5» - 16 -19 баллов
«4» - 13 -15 баллов
«3» - 10– 12 баллов

Каждый ученик имеет оценочный лист, в который проставляются баллы за его работу консультантом. В этом случае, должна отметить: выставленные баллы, как правило, объективны; иногда ученики оценивают работу более строго, чем учитель. Также на оценочном листе указывается фамилия консультанта и фамилия ученика. Оценочный лист может выглядеть так:

Фамилия

Консультант

Этап работы

Количество баллов

Вводный тест

 

 

 

 

 

Работа в группе

 

«Радости»

 

Итого

 

Ход урока.

Девиз урока:

«Часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и наиболее эффективнее».
У.Сойер

I. Организационный момент.

Учитель: Вы видите на доске слова известного английского педагога-математика Уолтера Сойера, который увлекательно рассказывает о творческой, исследовательско-поисковой работе своих коллег. Давайте вдумаемся в смысл  его слов, выбранного девизом нашего урока, который  подсказывает и тему урока: «Урок одного уравнения  sin x +cos x = 1»
В центре нашего внимания на уроке  будет одно тригонометрическое  уравнение, которое можно решить несколькими способами, встречавшиеся при решении  уравнений и отыскать для себя новые.

Перед вами стоят задачи:

* показать, как вы знаете и умеете применять

а) основные тригонометрические формулы при упрощении
тригонометрических выражений;
б) нахождение корней простейшего тригонометрического уравнения;
в) уже знакомые вам способы решения тригонометрических уравнений.

*отыскать для себя новые способы решения.

Рассмотрим этапы работы нашего урока. 

(Знакомство с этапами урока, записанного на доске и в оценочном листе.)

II. «Разминка»   (вводный тест).

Учитель: Для успешного достижения целей нашего урока начнем с разминки – повторение ранее изученного материала. В этом нам поможет вводный тест, который записан на доске. Решите самостоятельно предложенные задания. Найдите полученный ответ среди ответов, приведенных к заданию, и если найдете, запишите его соответствующую букву. Если не найдете, постарайтесь найти ошибку в своем решении. Сравните свои результаты с правильными ответами, записанными на доске (пока учащиеся  выполняют задания, учитель на обратной стороне доски выписывает ответы к тесту).

1.(1 балл) Верно ли, что cos²х - sin²х = 1?

А. Да                          Б. Нет
2.(2 балла)  Период  функции равен …

3. (3 балла)  Сколько корней уравнения sin х=0 принадлежит отрезку

А. 3                 Б. 0                 В. 2                 Г.1

4. (2 балла)  Решите уравнение 2cos х = 0.


5. (1 балл)  Найдите область значений функции  y = 1 - sin x

Ответы: 1.Б.                       2.Г                  3.В.                 4.А.          5. В

После проверки консультанты каждому ученику группы выставляют в оценочный лист количество набранных баллов.

III.  Работа в группах.

Учитель: Разделимся как обычно на две группы, одна из которых будет работать с более сложными заданиями (каждая группа получает карточки с заданиями). При решении этих задач можно использовать различные способы решения и оформления записей.

Задание группе I.
Задание группе I I.


Для проверки используется кодоскоп: решения заданий ученики записывают цветными ручками на пленке, затем слайды групп 1 и 2 по очереди кладутся рядом на экран кодоскопа. Это позволяет быстро сравнить решения и указать учащимся на ошибки. (В приложении 1приведены слайды с возможными решениями и верными ответами.)

Учитель: Для снятия напряжения сделаем небольшую передышку, послушаем сообщение о крупнейшем математике XVIII века. Его нам сделает ваша одноклассница Березкина Мария. (Заслушивается доклад, он в приложении 2).

Учитель. А. Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Мы же сегодня на уроке будем решать одно уравнение, но разными способами. Скажите, какие способы решения тригонометрических уравнений  вы изучили на предыдущих уроках?

(Учащиеся повторяют устно способы решения  тригонометрических уравнений, которые записываются на доске).

IV.«Радости».

Учитель: Переходим к следующему этапу урока «Радости». Он так назван, потому что радости у каждого свои.  Для одного – это хорошая отметка, для другого – похвала, для третьего – улыбка учителя, для четвертого – радость от самостоятельного решения трудной задачи и т. д… И я надеюсь, что каждый из вас сможет получить свой момент радости при решении уравнения

sin x+ cos x = 1

разными способами.  Посмотрите внимательно на это уравнение и в своей группе обсудите план его решения. На это вам дается 5 минут-7 минут.

Через отведенное время представитель группы решает и комментирует задачу своим способом. Учащиеся записывают этот способ к себе в тетрадь. Первыми предлагаю отвечать группе со слабой подготовкой, а затем  другой группе.

Учитель: Как вы думаете, есть ли еще способы решения этого уравнения? А давайте посмотрим карточки-подсказки (через кодоскоп проецируются карточки-подсказки). Какие из данных способов вы сумели применить при решении уравнения sin x + cos x = 1? А какие  ранее изученные вы еще не  применили?

Карточка-подсказка №1.

С помощью универсальной подстановки .
1) Вспомните   и сделайте подстановку.
2) Проверьте обязательно отдельно корень , чтобы не потерять корни исходного уравнения.

Карточка-подсказка №2.

Способом разложения на множители.

1)Представьте данное уравнение в виде уравнения с половинным аргументом, используя формулы  и  .
2) разложите на множители.

Карточка-подсказка №3.

Введение вспомогательного угла.

1) Вспомните, что , введите вспомогательный угол .

2) Используя формулу, или представьте данное уравнение с одной функцией.

Карточка- подсказка №4.

Метод вспомогательных неизвестных.

1) Пусть sin x=a, cos x=b. Помни! Две переменных, введенных в одно уравнение, связаны друг с другом системой уравнений.

Карточка-подсказка №5.

Метод оценки обеих частей уравнения.

  1. Помни! Если в уравнении правая часть положительна, то и левая часть уравнения должна быть положительной.
  2.  Возведи обе части уравнения в квадрат.

Карточка-подсказка  №6.

Графический способ

  1. Разбейте данное уравнение, так, чтобы тригонометрические функции
    находились в разных частях уравнения.
  2. Постройте графики функций, записанные в левой и правой частях на одной
    координатной плоскости, учитывая период.
  3. Найдите точки пересечения двух графиков, учитывая период.

Ученики работают в группах, записывая найденное решение на пленке для слайдов, а учитель выступает в роли консультанта, пользуясь карточками-подсказками и опираясь на ключевые слова.
По окончании времени представители от каждой группы демонстрируют решение уравнение тем или иным способом, откорректированные  решения которых ученики записывают к себе в тетрадь (приложение 3).
После выполнения всех заданий консультанты проставляют итоговые оценки всем участникам группы в оценочные листы, в это время остальные ученики получают карточки-задания на дом. Оценочные листы сдаются учителю.

IV. Домашнее задание.

Учитель: Посмотрите на карточки с домашним заданием. Оно состоит из трех уравнений, которые можно решить также различными способами. Постарайтесь решить каждое уравнение как минимум двумя способами. Эти уравнения, с одной стороны, вам позволят еще раз вернуться к пройденному; с другой стороны, при их решении  вам потребуется применение знаний в новой ситуации.

Решите уравнение:


VI.     Итог урока.

Учитель: Подведем итог нашего урока.

  1. Какой из всех способов, рассмотренных на уроке короче и эффективнее всех? (Способ введения вспомогательного угла).
  2. Чем он вам понравился? (Проще переход к одному простейшему тригонометрическому уравнению)
  3. Что нового вы узнали на уроке? (Это то, что можно делать замену не одной тригонометрической функции, а сразу двух, и переходить к системе алгебраических уравнений, и то, что можно использовать метод оценки обеих частей уравнения).
  4. Чем вам запомнился этот урок? (Тем, что  одно уравнение можно решить несколькими  способами.)
  5. Мы закончили урок, и очень бы хотелось увидеть ваше настроение, эмоции после проведенного урока. Для этого вы каждый выберите один лепесток, какого хотите цвета и напишите фразу, подходящую вашему эмоциональному настрою. (Учитель выставляет оценки в журнал по оценочным листам).

Учащиеся в результате работы получили радость от общения, оттого, что смогли решить данное уравнение в сотрудничестве не одним, а несколькими способами, пусть и с подсказками. Они так же получили  радость оттого, что смогли  расширить свои знания, что лучше узнали преимущества и недостатки того или иного способа, что смогли найти самый короткий и эффективный для них способ решения.

Презентация

Литература:

  1. П.В. Чулков Уравнения и неравенства в школьном курсе математики:  2 брошюры с лекциями. – М.Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
  2. Газета «Математика», 2004 г, №17
  3. Газета «Математика», 2004 г, №44.
  4. Газета «Математика», 2004 г, №47.
  5. Газета «Математика», 2005 г, №1.
  6. Газета «Математика», 2006 г, №21.