Цели урока:
- закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы;
- познакомить с историей квадратных уравнений;
- исследовать зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.
- способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, воспитания трудолюбия, математической культуры.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация Power Point (приложение 1).
План урока.
1. Организационный момент.
2. Устные упражнения.
3. Тест (с самопроверкой).
4. Исторические сведения.
5. Решение квадратных уравнений по формуле.
6. Изучение зависимости между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.
7. Проверка домашнего задания.
8. Итог урока. Домашнее задание.
Ход урока.
I.Организационный момент.
Эта тема очень важна для изучения курса математики средней школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Например, при изучении следующих тем:
решение задач на составление квадратных уравнений;
разложение квадратного трехчлена на множители, квадратная функция и её график; неравенства второй степени с одной переменной;
тригонометрические уравнения и неравенства; применение производной к исследованию функции;
интеграл, площадь криволинейной трапеции; иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства.
II. Актуализация опорных знаний.
1) Устные упражнения.
1. Укажите коэффициенты в квадратном уравнении:
- 4х² - 9х + 5 = 0.
2. Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений из этой группы является лишним?
а) 2х² – х = 0;
б) х² -16 = 0;
в) 4х² + х – 3 = 0;
г) 2х² = 0;
а) х² – 5х +1 = 0;
б) 9х² – 6х +10 = 0;
в) х² + 3х – 5 = 0;
г) х² + 2х +1 = 0.
3. Укажите правильный ответ при решении уравнения
х²+ 5 = 0
а) решения нет;
б) ± √-5;
в) ± √5 .
4.Назовите корни квадратного уравнения
х² – 4х + 4 = 0
а) 2; -2;
б) 2;
в) 2; 4.
5. Является ли уравнение ( а + 1 )х²+ 3х – 2 = 0 квадратным относительно х?
2) тест «Квадратные уравнения» [1]
1 вариант |
2 вариант |
Закрытые задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5х²+3х=0 ?
|
3х²-7х=0 ?
|
|
|
Открытые задания |
|
8. Решите уравнение: (у-6)²=0 |
8. Решите уравнение: (х+5)²=0 |
9. Выделите квадрат двучлена: х²-4х+3 |
9. Выделите квадрат двучлена: х²-6х-7 |
– 5х + 2 =0
Ответы
1 вариант 2 вариант
| Закрытые задания | |
|
|
Открытые задания |
|
|
|
9. х²-4х+3=(х²-2•х•2+2²)-4+3=(х-2)²-1 |
9. х²-6х-7=(х²-2•х•3+3²)-9-7=(х-3)²-16 |
3) Исторические сведения.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений ( х2-х=а ) умели решать вавилоняне (примерно 2 тысячи лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.) в книгах «Арифметика», которые до настоящего времени не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ах²+вх+с+0, где а>0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль- Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида :
ах² = вх, ах² = с, ах² + с = вх, ах² + вх = с, вх + с = ах².
( а, в, с – положительные числа).
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х² + вх = с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487-1567). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
III.Решение квадратных уравнений по формуле.
На доске и в тетрадях учащихся (на доске одновременно работают 4 человека).
IV. Изучение зависимости между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.
Учащиеся заполняют таблицу (приложение 2)
Знаки коэффициентов |
Знаки корней |
||
a>0 |
b>0 |
c<0 |
Разные: больший по абсолютной величине отрицателен |
a>0 |
b<0 |
c<0 |
Разные: больший по абсолютной величине положителен |
a>0 |
b>0 |
c>0 |
Одинаковые: оба отрицательные |
a>0 |
b<0 |
c>0 |
Одинаковые: оба положительные |
V. Проверка домашнего задания.
Учащиеся в домашней работе проверяют зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения по таблице.
VI. Итог урока.
Мы рассмотрели зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. Нужно только следить, чтобы при применении этого приема коэффициент при квадрате неизвестного был положительным..
Задание. Докажите, что при любом значении k уравнение 3у²-kу-2=0 имеет два корня.
Необходимость решать уравнения ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Домашнее задание.
№540а, №544б.
Не решая уравнение, определить имеет ли оно корни или нет, определить знаки корней, если знаки разные, назвать знак большего по модулю корня:
а) 4х²-7х-11=0;
б) х²+2х-15=0;
в) х²+3х+9=0.
Задача:
К Новому году в семье Ивановых каждый приготовил подарок, каждому из остальных членов семьи. Всего под елкой оказалось 30 подарков. Сколько членов в семье Ивановых?
Список литературы.
- Е.Ф. Медвецкая, Н.В. Шведова. Тесты. Алгебра. 8 класс: Методическое пособие.-Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2001 г.
- С.Б.Кравченко, Л.А.Козлова, Е.Ф.Медвецкая, Т.С. Пазухина, Н.В.Шведова. Тесты. Алгебра. 8 класс: Дидактические материалы.- Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2001 г.