Урок геометрии в 9-м классе "Симметрия"

Во всем царит
гармонии закон,
И в мире все суть
ритм, аккорд и тон.

Дж. Драйден

Ответить на вопросы:

1) Наука и искусство – дополняют или противоречат друг другу?
2) Можно ли объяснить с помощью законов математики гармонию в природе и жизнедеятельности человека?

Задачи исследования:

1. Научиться находить симметрию и золотое сечение произвольного отрезка.
2. Научиться распознавать симметрию и золотое сечение произвольного объекта.
3. Рассмотреть применение пропорции в культуре.

Ход урока

1. Организационный момент.
2. Фронтальный опрос.
3. Объяснение материала.
4. Практическая работа учащихся.
5. Групповая исследовательская работа учащихся.
6. Сообщение учащегося.
7. Итог урока.
8. Рефлексия.

Оборудование: Презентация, карточки, учебник геометрии под редакцией Анатасян.

2. Фронтальный опрос.

Задание 1.

Ответьте на вопросы и приведите пример:

1. Какая фигура называется симметричной относительно прямой?
2. Какая фигура называется симметричной относительно точки?
3. Приведите пример симметрии на практике?

Задание 2.1.

Начертите ось симметрии следующих геометрических фигур: равностороннего и прямоугольного треугольников, прямоугольника, ромба, квадрата, окружности.

Некоторым учащимся раздаются листы, на которых они выполняют это задание, затем демонстрируют классу для проверки. Рисунок 1.

Рис. 1

Учитель. Показывает фигуры, обладающие центральной симметрией (окружность, параллелограмм). Рисунок 2.

Рис. 2

Задание 2.2.

Самостоятельно на доске выполнить номера из учебника №422.

№ 422. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

Начертить и объяснить выполнение.

3. Объяснение нового материала.

Учитель объясняет материал. Используется доска.

К знакомым видам симметрии относятся: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия), симметрия относительно плоскости.

Любой человек выберет из предложенных фигур наиболее симметричные. Например, из треугольников – равносторонний, из четырехугольников – квадрат. Наиболее интересным из всех видов симметрии является – золотое сечение. Что же это такое?

Отрезок можно разделить на две части множеством способов. Рассмотрим следующий способ. Отношение всего отрезка к его большей части, равняется отношению большей части к меньшей.

Пусть длина отрезка – а, длина большей части равна – х, тогда а-х – длина меньшей части. Составим отношение:

а/х = х/(а-х)

Это отношение древние греки называли делением отрезка в крайнем и среднем отношением.

В пропорции, произведение крайних членом равно произведению средних, преобразуем выражение:

а(а-х) = х*х. Получаем квадратное уравнение х^2+ах-а^2 = 0. При решении уравнения выберем положительный корень, так как ищем длину отрезка.

х = корень (5-1)/2

Это число обозначается буквой ф в честь древнегреческого скульптора Фидия, который использовал это число в своих произведениях. Давайте подсчитаем его значение. Итак ф = 0,61803398... На практике пользуется числом ф, взятым с точностью до десятых 0,6, до сотых 0,61 или до тысячных 0,618.

Примем длину отрезка за единицу, начертим отрезок АВ длиной 10 сантиметров и разделим его на 10 равным частей. Для того чтобы разделить его в среднем и крайнем отношении, нужно отложить от одного из его концов шесть десятых долей данного отрезка. Что получается? АС=6,0 , тогда СВ=4,0 и точка С является золотым сечением.

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении встречается в искусстве, в природе. Друг Леонарда Да Винчи, монах Лука Пачоли называл такое деление отрезка великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции в истории утвердилось два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.

4. Выполнение практической части.

Задание 4.

5. Закрепление материала, исследовательская работа. Ученики разбиты на группы и выполняют самостоятельно исследование по бланкам лабораторных работ, лабораторные работы дифференцированы.

Лабораторная работа № 1.

Определение элементов симметрии.

Определите элементы симметрии прописных букв русского алфавита.

Оборудование: Алфавит, линейка.

Указание к работе:

1. Выберите из алфавита буквы, которые при тождественном преобразовании переходят сами в себя.
2. Запишите их в таблицу.
3. Выпишите буквы, имеющие один вид симметрии.
4. Определите, какие буквы имеют по две оси симметрии.

Ответы: Буквы А, Д, М, Т, П имеют по одной оси симметрии. Буквы Ж, О, Н, Ф, Х по две оси симметрии.

Лабораторная работа № 2.

Построение правильного шестиугольника.

Указания к работе:

1. Начертите отрезок А1 А2. Поверните отрезок вокруг произвольной точки О на 60 градусов.
2. Проведите 6 поворотов. Какая фигура получилась?
3. Найдите прямые, которые являются осью симметрии фигуры. Рисунок 3.

Рис. 3

Лабораторная работа № 3

Выполнение построения “Геометрического каркаса” резного листа комнатной герани.

Оборудование: лист комнатной герани, рисунок, линейка.

Указания к работе:

1. Постройте равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и отношением сторон АВ:АС=Ф.
2. Проведите высоту СО треугольника АВС и постройте треугольник CKN, в котором CO:KN=Ф.
3. Из точки С проведите окружность радиусом АВ, продолжите стороны CK, CN треугольника CKN за точки K и N соответственно так, чтобы лучи CK и CN пересекли окружность в некоторых точках E и F.

Проверьте отношения: CD: EF=Ф, AB: CD=Ф, EF: BF=Ф, используя полученный “каркас” , нарисуйте лист герани и сравните с рисунком. Рисунок 4.

 

Рис. 4

6. Сообщение ученика. Золотое сечение встречается при анализе соразмерностей Парфенона. Это сооружение великолепно по своему построению. Золотым сечением определяются и пропорции человека.

Расположение семечек в корзине подсолнуха выстраивается вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую – 21. В более крупных соцветиях подсолнуха число соответствующих спиралей 21 и 34 или 34 и 55. Похожее расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек. В верхушках очень многих побегов можно различить системы спиральных рядов. Рассмотрим золотое сечение в природе.

Домашнее задание. № 423,424.

7. Итог урока. Таким образом, человеческие представления о красоте формируются под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе, а природа любит повторения. В различных своих повторениях, казалось бы, далеких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы.