Цели урока:
1. Изучить понятие средней линии трапеции, доказательство свойства средней линии, учить применять теорему в нестандартных ситуациях при решении задач.
2. Формировать умение учащихся анализировать, обобщать, использовать элементы исследования, сравнения.
3. Развивать логическое мышление, воспитывать культуру математической речи, эстетический вкус.
Оборудование:
1. АРМ, экран, проектор
2. Презентация по теме урока. (Приложение 1)
3. Карточки
4. Учебник А.В. Погорелова «Геометрия»
5. Сборники ЕГЭ., 2004 г.
Ход урока
1. Для изучения темы урока нам понадобятся следующие теоретические знания.
Продолжите предложения:
1) Трапеция – это четырёхугольник…
Рисунок 1
2) Средняя линия треугольника – это…
Рисунок 2
3) В любом треугольнике можно построить … средние линии.
Рисунок 3
4) Средняя линия треугольника обладает свойством …
Рисунок 4
5) Два треугольника равны, если …
Рисунок 5
6) При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей …
Рисунок 6
7) Если две прямые параллельны третьей, то …
Рисунок 7
2. Введём понятие средней линии трапеции:
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Рисунок 8
(В тетрадях учащиеся выполняют построения)
1) Верно ли определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон трапеции, является средней линией? (Нет, отсутствует слово боковых сторон).
2) А сколько средних линий можно построить в трапеции? (Только одну).
3) Каким свойством обладает средняя линия трапеции? Измерьте основания трапеции и длину средней линии. Чему равна средняя линия? (Половине суммы оснований).
Попробуем доказать это свойство.
3. Доказательство теоремы.
(На доске и в тетрадях учеников чертёж и запись условия теоремы).
Рисунок 9
Доказательство
1) Мы знаем свойство средней линии треугольника. Как можно этим воспользоваться? (Нужен треугольник). Как его получить? (Выполнить дополнительное построение: через С и М проведём прямую до пересечения с прямой AD).
Рисунок 10
2) Далее: Δ EMA = Δ CMB, т.к.
а) AM=MB (по условию MN-средняя линия)
б) 
A = B (накрест лежащие при BC||AD и секущей AB)
в) AME = BMC (вертикальные углы)
Следовательно, EM=MC и EA=BC.
Рисунок 11
3) В Δ ECD: MN- средняя линия по определению, тогда по свойству
a) MN || AD и BC || AD (по условию). Следовательно, MN || BC.
b) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD).
Следует повторить всё доказательство, учащимся сделать записи в тетрадях.
Повторяем план доказательства:
1) Проводим через одну из вершин верхнего основания трапеции и противолежащий конец средней линии прямую до пересечения с продолжением нижнего основания.
2) Доказываем равенство полученных треугольников с общей вершиной.
3) Доказываем, что MN является средней линией Δ ECD и используем свойство средней линии треугольника
4. Где уже встречалось выражение «полусумма оснований трапеции»?
1) В формуле Sтр=h*(a+b)/2. Как можно иначе прочитать эту формулу? (Sтр=MN*h, где MN – средняя линия трапеции).
2) В свойстве равнобедренной трапеции: B1D = (a+b)/2.
Рисунок 12
Высота в равнобедренной трапеции делит большее основание трапеции на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований. Следовательно, в равнобедренной трапеции B1D=MN.
5.
1) Закрепление. (Устно по готовым рисункам)
Рисунок 13
2) Выполнить письменно на доске
I. Погорелов №69, стр. 101
II. *ЕГЭ-2004, вариант №383, задание B9 , стр. 40
(Условие и решение задач см. в Приложении 2).
6. Самостоятельная работа по карточкам (дифференцированная)
№1 («3») В трапеции одно основание больше другого в 1,5 раза, а средняя линия равна 5 см. Найти основания трапеции.
(Решение: Рисунок 14)
Рисунок 14
№ 2 («4») В прямоугольной трапеции тупой угол равен 1200, большая боковая сторона равна 20 см., а средняя линия равна 14 см. Найти площадь трапеции.
(Решение: Рисунок 15)
Рисунок 15
№ 3 («5») В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.
(Решение: Рисунок 16)
Рисунок 16
(Самостоятельную работу проверить по презентации по готовым слайдам №№ 18, 19, 20).
7. Задание на дом
1)Атанасян Л.С. «Геометрия», п. 85 (доказательство по тетради по уч. Погорелова, стр. 92); № 793, № 798, № 799
2)*Ершова А.Л., стр. 89 В-2 (№2)