Тема урока: «Числовые последовательности в живом мире». (9 класс).
Цель: закрепить знания по теме числовые последовательности, формулы п-го числа арифметической и геометрической прогрессии, показать их практическое использование в природе.
Задачи:
- познакомить учащихся с практическим применением числовых последовательностей в живом мире; продолжить формирование и развитие учебных умений и навыков, составление плана ответа, синтеза и обобщение информации.
- продолжить развитие основных биологических понятий: зигота, бластомеры, эволюция, связь организма с окружающей средой, связь организма с выполняемыми функциями.
- продолжить развитие научного мировоззрения с помощью демонстрации единства представлений числовых последовательностей в математике и биологии; содействовать проявлению дисциплинированности и высокой работоспособности в процессе организации самостоятельных работ учащихся.
Тип урока: изучение нового материала.
Вид урока: семинар.
Оборудование: таблицы «Индивидуальное развитие ланцетника», «Дрожжи», «Рост растения», «Деление бактериальной клетки», «Паутина паука крестовика», Листорасположение». Раздаточный материал: корзинка подсолнечника, ананас, шишки сосны, раковины моллюсков.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Подготовка учащихся к активному и осознанному усвоению материала.
Слово учителя.
Чтобы получить ключ к раскрытию тайн природы необходимо обратиться к алгебраическому учению о последовательностях.
Числовыми последовательностями (закономерностями) богата живая природа. Например: каждое цветковое растение после опыления и следующего за ним оплодотворения развивается в многоклеточный организм из одной клетки – зиготы, которая образуется при слиянии двух гамет, затеи зигота делится на две клетки, потом на четыре, восемь и т.д.
Так развивается многоклеточный зародыш. Подобное развитие мы наблюдаем и в животном мире, зигота в начале делится в продольном направлении на две одинаковые по величине клетки, называемые бластомерами, затем каждый из бластомеров делится также в продольном направлении и образуется 4 клетки.
Следующее, третье деление происходит в поперечном направлении, и в результате формируются 8 одинаковых клеток. В дальнейшем чередуются быстро следующие друг за другом продольные деления, которые приводят к образованию 16, 32, 64, 128 и более клеток (бластомеров).
А вот и другой пример. Попадая в благоприятные для развития условия, бактерия делится, образуя две дочерние клетки и т.д. У некоторых бактерий подобные деления повторяются через каждые 20 минут и возникают всё новые и новые поколения бактерий.
Микроскопически мелкие грибы – дрожжи, живущие в питательной жидкости, богатой сахаром, размножаются почкованием. Почкующиеся клетки похожи на ветвящиеся цепочки. Подобные деления мы наблюдаем у одноклеточных животных (амёба, инфузория-туфелька) и одноклеточных водорослей (хлорелла, хламидомонада).
3. Самостоятельная работа в группах.
Задание 1. Развитие зародыша происходит дроблением зиготы на 2 клетки. Сколько клеток (бластомеров) образуется после 5-го дробления?
Задание 2. Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5 минут. В каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 минут, если он начал загорать в среду?
Задание 3. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 мин.?
Задание 4. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько клеток стало после десятикратного их деления, если первоначально было 10 клеток?
Задание 5. Каждое простейшее одноклеточное животное размножается делением на две части. Сколько простейших одноклеточных было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?
Учитель. На уроках математики вы рассматривали последовательности 2-х видов: арифметической и геометрической. Но существует ещё последовательность, которая знаменита в математике. Она связана с именем итальянца Леонардо Фибоначчи, который, занимаясь проблемой размножения кроликов, открыл математическую последовательность, названную его именем, в которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих, а отношение двух чисел, следующих одно за другим, равно золотому числу.
В математике эта последовательность получила название ряда Фибоначчи.
А история её началась давно.
В 1202 году купец Леонардо из Пизы, по прозвищу Фибоначчи («сын доброй природы»), поставил перед собой чисто «купеческую» задачу: подсчитать, какой максимальной приплод кроликов может дать за год одна пара. Фибоначчи предположил, что кролики не болеют и не умирают и что каждая пара, достигнув двухмесячного возраста, сама начнёт ежемесячно приносить по одной паре. Счёт Фибоначчи начал с января. Итак, в январе и феврале кролики не принесут потомства. В марте появится первая пара приплода. Вместе с имеющейся теперь будет 2 пары. В апреле у первой пары кроликов вновь появится потомство, таким образом, получится – 3 пары. В мае приплод даст и первая пара кроликов, и та, которая родилась в марте, всего будет 5 пар кроликов. Продолжая рассуждать, таким образом, Фибоначчи подсчитал, что в июне будет 8 пар, в июле – 13, а в декабре – 144 пары кроликов.
Позже Фибоначчи включит свои математические выкладки в знаменитую «Книгу абака». Задача о кроликах войдёт в историю математики. А выведенная им числовая последовательность – ряд Фибоначчи – заживёт своей самостоятельной жизнью.
Спираль – одна из форм проявления движения, роста и развития жизни. По закону спирали развивается Галактика и живой организм, например растения.
Первым, кто открыл, что растущее растение описывает спираль, был Ч. Дарвин. Он обнаружил, что растение описывает спираль своей растущей частью, изменяя, таким образом, своё положение относительно источника света и грунта. Скорость этого движения по спирали существенно различается у разных частей растения: у усиков она намного больше, чем у корней. В природе также много растений, листья которых закручены по спирали вокруг стебля, а лепестки – вокруг сердцевины. Описывая спираль, вытягиваются стебли растений, двигаясь по спирали, раскрываются лепестки некоторых цветов, например флоксов, развёртываются побеги папоротника. Даже «глазки» на картофеле, дающие начало побегам, расположены спирально. Одним словом, растительный мир буквально покорён спиралями!
|
|
Подсолнечник |
Спирали |
Давайте ближе познакомимся с этими феноменами растительного мира.
Сообщение 1-го ученика. (Учащиеся рассматривают корзинки подсолнечника, шишки сосны, раковины моллюсков, ананас).
Посмотрите на подсолнечник. Вам наверняка приходилось уже рассматривать сердцевину подсолнуха, ощущая при этом почти головокружение от обилия перекрывающихся там спиралей. Если опустить карандаш в центре корзинки и вести линию от семечка, то легко заметить, что они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. Подсчёты показали, что если в одну сторону закручено 13 спиралей, то в другую обязательно – 21. В более крупных соцветиях подсолнечника число спиралей соответственно 21 и 34 или 34 и 55.
Такой пример не единственный. На молодой сосновой веточке легко заметить, что хвоинки образуют 2 спирали, идущие справа снизу налево вверх, и 3 спирали, идущие слева снизу направо вверх. В крупных шишках удаётся наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе, обычно их бывает 8 и 13. Все эти числа принадлежат ряду Фибоначчи.
Закономерности ряда Фибоначчи проявляются не только в растительном, но и в животном мире. Их можно обнаружить, например, в спиралях раковины моллюсков.
Является ли оно генетическим наследием, закодированным в ДНК? Скорее всего, нет. Секрет спиралей проще – это естественное следствие роста растения.
В ботанике есть раздел, изучающий данные вопросы, называется филотаксия, что в переводе с греческого означает листорасположение. Различают супротивное и мутовчатое листорасположение, у которых листья сидят на стебле рядами, в каждом ряду на одном уровне, и спиралевидные (очерёдные) расположение, у которых листья расположены на стебле по спирали один за другим. Причём у любой особи каждый лист повёрнут по стеблю относительно соседнего на один и тот же угол, называемый отклонением. Это отклонение, измеренное на различных органах (листьях, цветках, тычинках)
значительного количества растений, почти одинаково и близко к 137,5, что является не чем иным, как золотым углом, или угловым эквивалентом золотого числа в математике.
Сообщение 2-го ученика.
Но почему именно 8 и 13 у ананаса, 34 и 55 у подсолнуха и т.д. Всё зависит от скорости роста. Чем меньше скорость роста стебля по отношению к скорости появления новых зачатков, тем плотнее располагаются лисья, т.е. больше число вторичных спиралей.
Но почему оно стремится именно к золотому углу?
Для этого надо рассмотреть органы роста растения. Верхушку побега занимает верхушечная почка. Самый кончик его в почке называют конусом нарастания. Он состоит из образовательной ткани, клетки которой делятся и образуют новые. На конусе нарастания появляются бугорки - зачаточные листья. С момента своего появления зачатки следуют один за другим по спирали под тем же углом отклонения, что затем наблюдается и у взрослой особи. Это, несмотря на то, что ростки увеличиваются и удаляются от верхушки, которая продолжает расти.
Если быть более точным, то последовательность появления листьев зависит С-фактора и является произведением интервала времени между появлением зачатков и скорости удаления зачатка от последующего, делением на радиус верхушки.
Таким образом, чем больше С-фактор, тем быстрее растёт стебель по отношению к частоте появления листьев и тем сильнее последние раздвинуты. И наоборот, при малом С-скорость появления зачатков опережает скорость их удаления друг от друга, в результате лисья прилегают плотнее. Таким образом, С-фактор отражает условия роста растения и полностью определяет его форму, угол отклонения и количество спиралей. При его изменении расположение листьев, цветков или чешуек тоже меняется. В природе С-фактор не может быть постоянным, так как рост растения в разные фазы его жизни меняется. При прорастании он максимален, затем уменьшается по мере появления листьев и затем цветков.
В начале жизни С-фактор максимален, каждый новый зачаток испытывает влияние только одного, появившегося непосредственно перед ним, и располагается от предшественника как можно дальше, т.е. отклоняясь на 180 (это называется чередующимся расположением).
Но при снижении скорости роста наступает момент, когда новый зачаток ощущает силу отталкивания уже сразу двух предыдущих. В этом случае он отворачивается на 137, чтобы не оказаться под предпоследним. При этом у него есть выбор: появиться либо справа, либо слева, т.е. заложить основание будущей спирали. Его выбор, как говорят физики, нарушает симметрию. Отсюда и происходит асимметричная форма растения.
Таким образом,расположение листьев, цветков и чешуек растения не заложено в его генах, оно определяется феноменом золотого числа.
Мутовчатое и очередное расположение листьев
Учитель. В то же время спираль в природе является и сдерживающим началом, направленным на экономию энергии и материала. Лишь изменяя форму конструкции, придавая ей вид спирали, природа, таким образом, достигает в конструкции дополнительную жесткость и устойчивость в пространстве.
Так, например, завиваются в спираль, приобретая этим дополнительную жесткость, тонкие и длинные стебли огурцов или тыквы, длинные лисья рогоза и тонкие ножки грибов, паук плетёт свою паутину по схеме спирали.
Раковины простейших одноклеточных организмов фораминифер и раковины моллюсков, закрученные в одной или разных плоскостях – это также проявление способа движения наибольшей прочности при экономном расходовании материала. Благодаря завитой форме такие тонкостенные конструкции выдерживают большое гидродавление при погружении на глубину.
В организме человека орган слуха имеет спирально закрученную улитку, в которой расположены слуховые рецепторы.
На основании обмеров многих человеческих тел установлено, что три фаланга среднего пальца кисти руки тоже подчиняются закономерности ряда Фибоначчи. Так, если первая фаланга пальца длиной 2 сантиметра, то вторая – 3, а третья – 5 сантиметров. Эти три числа принадлежат ряду Фибоначчи и стоят рядом.
В настоящее время ведутся исследования, позволяющие утверждать, что закономерности ряда Фибоначчи проявляются и при сравнении соотношений количества элементарных частиц на атомном и молекулярном уровнях.
И всё-таки, почему в природе с таким постоянством повторяются числа Фибоначчи? Может быть, эти загадочные числа ведут нас к разгадке великой тайны – Тайны Жизни?
Оказывается – ведут. Посмотрите вокруг. Жизнь – это не хаос случайностей, а осуществление генетически закреплённых программ. И закономерности ряда Фибоначчи – один из языков – алгоритмов – этой программы.
 |
 |
Ананас |
Шишка сосны |
Заключение урока.
Таким образом, сегодня на уроке мы рассмотрели практическое применение знаний алгебры о числовых последовательностях в биологии. Точки соприкосновения математики с живой природой очевидны. Человек, создавая научные знания, заметил их в природе и перенёс их на применение в своей жизни из своей практики. Подобные знания, полученные на уроке показывают, что все дисциплины, изучаемые в школе взаимосвязаны и в целом создают нам целостную картину мира.
Дополнительная информация к уроку.
Первым, кто заметил связь между рядом Фибоначчи и ростом растений, был великий немецкий математик 17 века Иоганн Кеплер. Но лишь спустя 150 лет числами Фибоначчи заинтересовались всерьёз.
В 1754 году Шарль Боннэ, изучая расположение листьев на стеблях некоторых растений, обнаружил интересную закономерность. Если взять. Например, молодую дубовую веточку и мысленно соединить линией места «прикрепления» к ней листьев, то получится несколько спиралей, или так называемый генетический винт. Генетическим он назван потому, что расположение листьев на нём соответствует порядку их появления снизу вверх. Оказалось, что расстояния между листьями неодинаковы. Они пропорциональны числам ряда Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13… Это явление в ботанике носит название «филлотаксиса».
С тех пор установлено много фактов, показывающих, что закономерность ряда Фибоначчи проявляется в формах живой природы.