Цели урока.
- Рассмотреть понятие перпендикулярности двух прямых в пространстве.
- Доказать теорему о перпендикулярности двух прямых в пространстве и научиться применять её при решении задач.
- Развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока
Наряду с отношением параллельности в геометрии важнейшую роль играет отношение перпендикулярности. На плоскости мы говорили только о перпендикулярности прямых, а в пространстве уже 3 возможности:
- перпендикулярность прямых,
- перпендикулярность прямой и плоскости,
- перпендикулярность двух плоскостей.
Эти 3 понятия рассмотрим на модели прямоугольного параллелепипеда.
И мы на уроках будем последовательно изучать эти отношения.
На сегодняшнем уроке начнём с перпендикулярности прямых. В главе “Перпендикулярность прямых и плоскостей” больше появятся задач на нахождение неизвестных элементов фигур, чем задач на доказательство.
Вспомним немного теоретического материала.
Ответьте на вопросы.
1. В каком случае две прямые на плоскости называются перпендикулярными? Сделайте чертёж.
Ответ:2 прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
2. Сколько перпендикуляров к данной прямой можно провести через данную точку
А, не лежащую на прямой или В, лежащую на прямой? Как проведем такую прямую? Сделайте чертёж.
Ответ: через каждую точку можно провести одну прямую, перпендикулярную данной; прямые проведем с помощью чертежных инструментов.
Это- теорема о существовании и единственности перпендикуляров.
Дадим определение перпендикулярных прямых в пространстве.
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Получается, что определение перпендикулярных прямых в пространстве аналогично определению перпендикулярных прямых на плоскости.
Решим задачу. Доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение. Возьмем в пространстве любую точку В вне прямой и проведем через прямую и точку В плоскость ?. В плоскости проведем прямую в через точку на данной прямой , перпендикулярную ей с помощью чертежных инструментов.
Вопрос. Какие прямые в пространстве называют параллельными?
Ответ: прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости.
Вопрос. Найдите различия этого определения с определением перпендикулярных прямых.
Ответ:
- а )пересекаются,
- б )не сказано, что лежат в одной плоскости.
Вывод. Перпендикулярные прямые могут лежать в разных плоскостях.
Задание. Найти на модели прямоугольного параллелепипеда 2 перпендикулярные прямые, лежащие в одной плоскости и в разных плоскостях.
Вопрос. Как называются прямые, лежащие в разных плоскостях?
Ответ :скрещивающиеся.
Задание. Доказать, что прямые АА? и ВС перпендикулярны.
Докажем важное свойство перпендикулярности прямых в пространстве.
Теорема. Если 2 пересекающиеся прямые параллельны соответственно 2 перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Рассмотреть 2 случая:
- Прямые лежат в одной плоскости;
- Прямые лежат в разных плоскостях.
При доказательстве теоремы привлекать учеников.
Записать домашнее задание: п.142,143; №1, №3(2) стр. 264.
Для закрепления решить задачу. Доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести 2 различные перпендикулярные ей прямые.
Решение. Дана прямая а и точка С, принадлежащая ей. Возьмем 2 различные точки А и В, не принадлежащие прямой. Проведем через прямую а и точку А плоскость ?, а через а и В плоскость ?. В них проведем к точке С прямой а перпендикулярные прямые. Перпендикулярные прямые будут различны, иначе бы плоскости совпали.
Дать дифференцированные задания:
- сильным ученикам- №4 стр. 264;
- остальным- №3(1) стр. 264.
Итог урока.
На уроке вспомнили о перпендикулярных прямых на плоскости, дали определение перпендикулярных прямых в пространстве и главное узнали, что есть скрещивающиеся перпендикулярные прямые; доказали свойство о перпендикулярных прямых в пространстве и научились его применять для решения задач.
Литература.
- А.В.Погорелов. Учебник “Геометрия 7-11”, Москва “Просвещение”,2004
- И.М. Смирнова. Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10-11 классов средней школы. Москва “Аквариум”, 1998.
- Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. Геометрия, 10 класс (поурочные планы). Волгоград “Учитель”, 1997.