Тип урока: комбинированный, состоит из 7 учебно-воспитательных моментов: организационный момент, повторение изученного, подготовка к изучению материала, изучение и закрепление нового материала, тестовая работа, итог урока.
Цели урока:
- сформировать умение применять определения аркфункций для нахождения тригонометрических функций от аркфункций;
- развивать познавательный интерес учащихся к предмету через систему нестандартных задач;
- воспитывать нестандартно, логически мыслящую личность.
Оборудование: доска, таблицы, компьютер, мультимедийная установка, экран, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
Ребята, сегодня мы проводим урок - обобщение по теме: "Обратные тригонометрические функции". Материал этого параграфа в учебнике вынесен для самостоятельного изучения, но поскольку задания с аркфункциями стали включать в ЕГЭ, я решила не только изучить новый материал на уроке, но обобщить ваши знания по данной теме.
II. Актуализация опорных знаний:
1. Значения аркфункций:
Вспомните, для чего в 10 классе были введены понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса? (Для решения тригонометрических уравнений).
Давайте вспомним формулы, по которым решаются простейшие тригонометрические уравнения.
Слайд1:
вопросы к классу: -формула нахождения корней уравнения соs х=а;
-дать определение арккосинуса числа а ;
Слайд 2 :(вопросы аналогичные предыдущим)
Слайд 3
Слайд 4
Заполним таблицу значений аркфункций: Слайд 5
Пользуясь ей решим следующие упражнения:
№655(из учебника)
2) arcsin(1/v2)-4 arcsin1=
4) arccos(-1)- arcsin(-1)=
6)4 arctg(-1)+3 arctg(v3)=
Из ЕГЭ:
1) arcsin(sin 
/3)+ arcsin (-v3/2)=
3)10cos(arctg(v3))=
Проверим получившиеся ответы: Слайд 6
2.Вспомним формулы, связывающие аркфункции с тригонометрическими функциями:
Слайд 7
С помощью них вычислим устно:
sin(arcsin(-1/5))=
sin(+ arcsin 3/4)=
(из ЕГЭ) 5 sin(+ arcsin (-3/5)=
cos(arccos(-2/3))=
sin(/2+ arccos 1/3)=
tg(arctg(-3))=
сtg(/2+ arctg 6)=
3. Нахождение значения тригонометрической функции от аркфункции.
1. Сильный ученик:
sin(arccos v3/4)=
2.(Из ЕГЭ) - сильный ученик
5v2 sin(/2- arctg(-1/7))=
б) Ребята, существует другой способ решения подобных заданий. Я буду рада, если кто-нибудь из вас его запомнит и будет его применять.
Посмотрите, во всех ранее решённых примерах 
- угол,
лежащий в первой четверти, а это значит, что - угол
острый. Вспомните, что называется
синусом(косинусом, тангенсом и котангенсом)
острого угла прямоугольного треугольника?
Решим следующий пример так:2v13 cos (arctg 2/3)=
tg 2/3-это значит, что отношение противолежащего катета к прилежащему равно 2:3
-А как найти гипотенузу?
-Гипотенуза по теореме Пифагора равна:
v4+9=v13
-Тогда cos
=3/v13, а 2v13 cos (arctg 2/3)=
2v133/v13=6
в) Решим вторым способом следующие примеры:
1) tg(arccos (-1/3))=
2) 3v5 tg(arcsin(2/7)=
3) по вариантам:
а) сtg(arccos (2/5))=
б) v15 tg(arcsin(1/4))
4) Средний ученик:
sin(2 arctg 5)=
III. Изучение нового материала:
В материалах для подготовки к ЕГЭ есть задания, в которых необходимо знать свойства обратных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. Название обратных тригонометрических функций образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (в переводе с латинского - дуга).
Пусть дана функция у=sin х. На всей области определения она являются кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие у=arcsin х функцией не является.
Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она
возрастает и принимает все свои значения на [-|2;|2].
Так как для функции у=sin х на интервале
[-|2;|2] каждому значению аргумента
соответствует единственное значение функции, то
на этом отрезке существует обратная функция
у=arcsin х, график которой симметричен графику у=sin х
на отрезке [-1;1] относительно прямой у=х.
Пусть дана функция у=cos х. На всей области определения она являются кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие у=arccos х функцией не является.
Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она убывает и принимает все значения на [0;?]. Так как для функции у=cos х на интервале [0;?] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция у=arccos х, график которой симметричен графику у=cos х на отрезке [-1;1] относительно прямой у=х.
2.Выполняем задания:
1. Найти число целых значений функции у= 12arccos х. (Объясняю сама)
0<arccos х<, тогда
0<12arccos х<12
12=123,14=37,8, значит,
целых значений будет 38.
Ответ:38
2. Найти число целых значений функции у=5 arctg х. - (сильный ученик).
3. Самостоятельно:
у=1,7 arсctg х.
4. Найти наибольшее целое число, входящее в область значений функции у= 6 arcсtg(|sin х|).
5. Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции:
у=24/ arcsin(sin хcos х)
IV. Дом.задание:
Вычислите:
- sin(2 arcsin 3/5)
- sin(arccos 1/3+arccos 2/3)
- sin(
arccos
5/13)
2*.Постройте графики функций:
а) у=arccos|х|;
б) у=arccos х +arcsin х;
в) |у|=arctg х.
3.* Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции:
у=
arccos
(sin х cos х)
4*. Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции:
у=40arcctg(cos х).
V. Рефлексия. Оценки учащихся за урок.