Тип урока: урок постановки учебной задачи.

Цели урока:

• обучение приемам и методам решения основных типов показательных уравнений и уравнений, сводящихся к этому виду на основе применения свойств показательной функции;
• способствовать формированию умений применять основные алгоритмические приемы решения показательных уравнений; развивать логическое мышление, умение обобщать и делать выводы;
• воспитывать познавательную активность, интерес к предмету.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока.

II. Введение определения показательного уравнения и первичное осмысление решения простейшего показательного уравнения или уравнения, сводящегося к нему.

Идет фронтальная работа с классом, направленная на формирование определения показательного уравнения. В ходе беседы выясняется, при каких значениях b - простейшее показательное уравнение, имеет решение.

Оформляется схема №1

III. Постановка учебной задачи.

На доске записаны уравнения:

1. ;

2.;

3.;

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. .

Вопрос: Какие из предложенных уравнений могли бы решить?

Ребята работают в группах. Подводя итоги групповой работы, выясняем, что смогли решить уравнения 1-4, используя графический метод и метод уравнивания показателей.

Вопрос. Почему не смогли решить другие уравнения? Какую задачу будем решать на уроке?

IV. Решение учебной задачи.

Учитель.

1). Решение уравнений вида

Данные уравнения решаются вынесением за скобки , где

Выясняем, что к уравнениям данного типа относятся уравнения 5 и 6. В зависимости от уровня подготовленности класса организуем работу по решению одного из указанных уравнений.

Решите уравнение (6)

Решение.

3х - 3 = 3, х = 2. Ответ: 2.

2). Решение уравнений вида

Схема № 2 (через кодоскоп)

Выясняем, что к уравнениям данного типа относятся уравнения 7 и 8. В зависимости от уровня подготовленности класса организуем работу по решению одного из указанных уравнений.

Решите уравнение (7)

Решение. Пусть , у > 0; тогда , ; 9

а) ( не удовлетворяет условию у > 0); в), , х = 2 .

Ответ: 2 .

3). Решение уравнений вида .

Схема №3 (через кодоскоп)

Выясняем, что к уравнениям данного типа относятся уравнения 9 и 10.

Решите уравнение (10)

Решение. 2; разделим на 52х, получим

пусть y > 0, тогда,

; (не удовлетворяет условию у > 0)

, x = - 1. Ответ: - 1.

4). Решение уравнений вида

Уравнения данного вида или сводящиеся к ним уравнения решаются при помощи свойств монотонности показательной функции: если функция f(x) монотонна на своей области определения Е и, то число - единственное решение уравнения f(x) = c на множестве Е.

В ходе обсуждения устанавливаем, что уравнения 11 и 12 относятся к данному типу; рассматриваем решение уравнения 11.

Решите уравнение

Решение. Заметим, что х = 1 – корень уравнения. Функция– есть сумма возрастающих функций, то есть f (x) возрастает. Значит, каждое свое значение она принимает ровно один раз. Поэтому, уравнение имеет единственный корень х=1. Ответ: 1.

5). Решение уравнений вида ,где и , причем

Схема №4 (через кодоскоп)

В ходе обсуждения устанавливаем, что уравнения 13 и 14 относятся к данному типу; рассматриваем решение уравнения 13.

Решите уравнение

Решение. Заметим, что поэтому

Пусть тогда у >0, получаем

у + , = 2+ , = 2 - ;

а) , х = - 1;

б), х = 1. Ответ: - 1; 1.

V. Подведение итогов.

На основе свойств показательной функции различные типы показательных уравнений сводятся к решению простейших показательных уравнений.

При решении показательных уравнений используются методы:

1. Функционально-графический метод (основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций, например – монотонности).
2. Метод уравнивания показателей (основан на теореме о том, что уравнение равносильно уравнению f(x) = h(x), где а – положительное число, отличное от 1).
3. Метод разложения на множители (основан на вынесении за скобки множителя - степень с наименьшим показателем).
4. Метод введения новой переменной.

Задание на дом

Решите уравнение (уравнения 5, 8, 9, 12, 14 из числа нерешенных в классе).