Цель: Расширить знания по теме «Отношения и пропорции»
Задачи:
- Рассмотреть практическое применение пропорций в искусстве, научить строить золотое сечение и «красивые» звезды. Познакомить с понятиями золотой прямоугольник и золотая спираль.
- Развитие познавательного интереса к предмету.
- Воститывать чувство прекрасного в пропорциональности окружающего мира.
Оборудование: Мультимедийный проектор, магнитофон, циркуль, карточки, плакаты с изображением символа гармонии и золотого прямоугольника с золотой спиралью, картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря», приложение к уроку (презентация) на электронном носителе.
Не зная прошлого развития науки, трудно понять ее настоящее.
Ход урока:
Поясню сразу, что дети к уроку готовили сообщения и к ним презентации, которые были включены в общую презентацию урока. Каждый вид деятельности детей на уроке оценивается учителем либо самими детьми. Отметки выставляются на поля тетради. В конце урока детьми выводится средняя отметка за работу на уроке и выставляется в журнал.
1. Оргмомент.
Звучит музыка (Моцарт «Турецкий марш» или любая другая). Определить настроение детей на начало урока по цвету (черный - плохое настроение, зеленый-среднее, красный- радость).
Символом урока служит древнекитайский символ гармонии Тайцзи-ту. По-другому его называют символом единства и борьбы противоположностей. Смысл этого символа заключается в том, что «даже в самом центре одного начала имеется элемент начала противоположного: добро содержит крупицу зла, а во всяком зле есть частица добра, даже безобразие может быть в чем-то привлекательным, а всякая красота может иметь что-то отталкивающее, даже в истине есть заблуждение, а во всяком заблуждении есть элемент истины»[1]. А вот почему именно этот символ? На этот вопрос ответим в конце урока.
Изучена тема «Отношения и пропорции». При решении каких задач применяется пропорция?
Предполагаемые ответы:
- При решении пропорций;
- При нахождении неизвестного члена пропорции;
- При решении задач на прямую и обратную пропорциональность;
- При решении задач на проценты.
А есть ли другие применения этого понятия? Конечно, есть. Вот и рассмотрим практическое применение этого понятия в архитектуре, скульптуре, живописи, природе. Познакомимся с новыми понятиями: золотое сечение, золотой прямоугольник, золотая спираль и еще раз убедимся в том, насколько важны математические знания в жизни людей.
2. Работа по понятиям.
- Что называют отношением двух чисел?
- Что показывает отношение двух чисел?
- Что такое пропорция?
- Сформулируйте основное свойство пропорции.
- Какие величины называют прямо пропорциональными?
- Какие величины называют обратно пропорциональными?
Рассмотрим новые для вас понятия.
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, что дало повод математику 16в., другу известного художника Леонардо да Винчи, монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употреблял много хвалебных слов, но в истории утвердилось два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение (слайд 2).
Золотое сечение- это деление отрезка, при котором длина большей части отрезка так относится ко всему отрезку, как длина меньшей части отрезка к большей части. Это отношение обозначим буквой φ=0,618=5/8. Говорят точка С делит отрезок АВ в «божественной пропорции».
Золотой прямоугольник, у которого отношение ширины к длине равно 0,618, обладает многими интересными свойствами. Если от золотого прямоугольника АВСD отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получится золотой прямоугольник. Если этот процесс продолжить, то получатся «вращающиеся квадраты». Когда соединим их вершины плавной кривой, то получим золотую спираль.
3. Решение задач.
Задача1. По алгоритму построить «Золотое сечение» (слайд 3).
- Построить отрезок АВ.
- Построить прямой угол с вершиной в точке В.
- Отложить отрезок ВК=1/2 АВ.
- Точки А и К соединить.
- Построить окружность с центром в точке К радиусом ½ АВ.
- Эта окружность пересечет АК в точке D.
- Построить окружность с центром в точке А радиусом АD.
- Эта окружность пересечет отрезок АВ в искомой точке С.
(Задача оформлена на карточках, которые раздаются детям. Один ученик работает у доски, остальные отворачиваются и работают самостоятельно с последующей самопроверкой).
Задача2. Построить красивую звезду.
(Детям раздаются карточки с начерченными окружностями разных радиусов). Дети должны разделить окружность на 5 равных углов (по 72° каждый) и построить пятиконечную, красивую звезду.
Звезды детей вывешиваем на доску и сравниваем с теми, которые дети рисовали дома (они вывешиваются перед уроком, это было их домашним заданием).
Делаем вывод, что звезды, которые построены в классе, красивее. У этих звезд есть «Золотое сечение» (слайд 4).
Издавна внимание людей привлекала совершенством формы пятиконечная звезда. У пифагорейцев она называлась пентаграммой и служила символом союза. А в наши дни звезда красуется на флагах и гербах многих стран. Почему она привлекает внимание людей? А в ней многократно повторяется одно и тоже отношение составляющих ее отрезков. И это отношение-золотое сечение.
4. Историческая справка.
Самостоятельно прочитать в учебнике на с.150 первые три абзаца и ответить на вопросы:
- Когда и где развивалось учение об отношениях и пропорциях?
- Какие представления связывались с пропорциями?
- Кем из великих ученых была изложена теория отношений и пропорций?
- Что означает пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре?
- Что означает слово «пропорция».
Затем беседа с классом по данным вопросам.
5. Сообщения детей.
Золотое сечение в архитектуре (слайд 5).
Различают архитектурные пропорции и пропорции, используемые для изображения человеческого тела и лица. Самые простые пропорции основаны на кратких и целочисленных отношениях, например 1:2, 3:4 и т.д. Но уже с древности широко распространились системы пропорционирования, приводящие к иррациональным отношениям. Самым популярным из них является золотое сечение.
Идея золотого сечения принадлежит греческим ученым. Золотое сечение - это выражение совершенной пропорции. Греки использовали этот принцип в архитектуре. Это означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей здания. Одним их красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.). Отношение высоты здания к его длине равна 0, 618.
Другим примером из архитектуры древности является Пантеон. Из всех древних зданий наилучшим образом сохранился Пантеон. Он до сих пор поражает воображение. Здание украшено цветным мрамором. До сих пор Пантеон остается действующим храмом, здесь располагается христианская церковь.
Примером использования золотого сечения в архитектуре также является Покровский собор (собор Василия Блаженного). Он был построен в честь взятия русскими войсками Казани в 16 веке. Этот удивительный по своей красоте храм строили русские мастера Барма и Постник.
Храм Покрова Богородицы на Нерли был построен в 1165 году, посвящен новому празднику на Руси - Покрова Богородицы. Пропорции и простота этого храма делают его светлым, легким, невесомым.
Золотое сечение в скульптуре (слайд 6).
Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Так, например, знаменитая статуя Апполона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Самым знаменитым из них была статуя Зевса Олимпийского (одно из чудес света).
Для взрослых мужчин отношения размеров тела равны 0.615, а для женщин 0.6, так что пропорции мужчин ближе к золотому сечению, чем пропорции женщин.
Золотое сечение в живописи (слайды 7-11).
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно притягивающие наше внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего 4 и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Это «золотое сечение» картины. Чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, надо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.
Примером использования золотого сечения в живописи наиболее просматриваются в картинах И.И. Шишкина. Это «Корабельная роща», «На севере диком», «Утро в сосновом лесу».
Холст, на котором написана картина «Тайная вечеря» Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника. Он использовался для создания у зрителей ощущения покоя, уравновешенности.
Примером использования золотой спирали в живописи является картина «Избиение младенцев» Рафаэля. Золотая спираль применялась для выражения тревоги, бурных событий.
Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи «Джоконда». Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках» (треугольниках, являющихся кусочками правильного звездчатого пятиугольника).
Золотое сечение в природе (слайды 12, 13).
Даже сама природа подчиняется закону «Золотого сечения». Если рассмотреть расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить. Что между каждыми двумя парами листьев (А и В) третья расположена в месте золотого сечения (точка В). Золотую спираль в природе представляют раковины многих молюссков. Рога архаров закручиваются по золотой спирали. Паук эпейра сплетает паутину по золотой спирали. Спиралью закручивается ураган. Семечки в корзине подсолнуха выстраиваются по спирали, а также чешуйки сосновых шишек и ячейки ананасов. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для глаз пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
Золотое сечение в музыке (слайд 14).
При изучении музыкальных закономерностей Пифагор установил, что две струны дают приятное для слуха совместное звучание (консонанс), когда их длины относятся, как 1:2, 2:3 или 3:4. Если взять четыре струны, то длина первой будет в два раза больше последней (их совместное звучание - октава). Длина третьей струны будет относиться к длине первой, как 2:3 (интервал - квинта), и отношение второй к первой равно 3:4, что определяет еще один интервал - кварту. Длины четырех струн, дающих консонансы, должны быть 6,8, 9, 12.
Если «измерить» музыкальное произведение по времени его исполнения, тогда в точке золотого сечения будет кульминация музыкального произведения ,т.е. это может быть самый яркий момент, самый тихий или самый звуковысотный момент. Но бывает, что в точке золотого сечения появляется новая музыкальная тема. (Звучит музыка).
Вернемся к символу урока. Ответим на вопрос: «Почему этот символ был символом урока?». (Выслушиваются мнения детей).
На уроке шла речь о науке и искусстве. «Высшая их цель быть дополняющими друг друга. И, как в этом мудром знаке, даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несет в себе крупицы научной мудрости. Математика-царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема. Красота является одним из связующих звеньев науки и искусства»[1].
6. Домашнее задание.
Используя рисунок на странице 151, исследовать пропорциональность своего тела.
7. Итог урока.
1) Ученикам дается задание составить серию контрольных вопросов к изученному на уроке материалу. Дети работают в парах и отвечают на вопросы друг друга. Затем идет обсуждение всем классом.
Предполагаемые вопросы.
- Что было интересного на уроке?
- Что узнали нового на уроке?
- Какие задачи научились решать?
- Где еще кроме математики применяется пропорциональность?
Вывод (слайд 15): Мы увидели практическое применение пропорциональности в искусстве, природе. Убедились в том, что для создания произведений искусства, для создания красоты необходимы знания, научные знания и в нашем случае это знание законов пропорциональности и их соблюдение.
2) Выводим среднюю оценку за урок (дети это делают самостоятельно) и ставим в журнал.
3) Мониторинг. Определяем по цвету карточки настроение детей на конец урока.
Спасибо за урок!
Используемая литература:
- «Математика и искусство» А.В.Волошинов, Москва, «Просвещение», 2000 год.
- «Математика в школе» №2, №3, 1994 год.
- Присутствие красоты. Е.И.Чепракова, Т.А.Липкина, «Математика в школе» №3, 2001 год.
- О золотом сечении и не только о нем. А.А.Ятайкина, О.А.Пашкина, «Математика в школе» №3, 2001 год.
- Математика 6 класс с.150-152, Н. Виленкин и др., Москва, Мнемозина, 2000 год.
- «Математика в школе» №10, 2003 год, с.8-9.