Урок рассчитан на один академический час и проводится после того, как изучены формулы для вычисления площадей треугольников, прямоугольника, квадрата, параллелограмма и трапеции.
Цели урока:
- Образовательные: повторить ранее изученные формулы для вычисления площадей выпуклых фигур, вывести и научиться пользоваться формулами для вычисления площадей выпуклых четырехугольников, имеющих перпендикулярные диагонали;
- Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, выработка математической зоркости;
- Воспитательные: воспитание трудолюбия, интереса к предмету, умение внимательно выслушивать ответы одноклассников.
Необходимое оборудование:
-
компьютер,
-
проектор.
Ход урока.
- Организационный момент.
- Устная работа.
Проводится по чертежам, выведенным с проектора на экран.
Задание. Для каждой из геометрических фигур найти площадь, назвав используемую формулу. Опрос ведется фронтально, учащиеся могут отвечать по желанию.
- Введение новых знаний.
Учитель обращает внимание учащихся на то, что до сих пор, в основном, площади фигур вычислялись по двум элементам: основанию и высоте, проведенной к основанию. Однако, в случае, если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, его площадь можно вычислить, зная длины диагоналей.
Учитель просит учащихся сформулировать тему урока. Учащиеся предлагают свои варианты темы урока. Принимается такая: «Вычисление площади выпуклого четырехугольника, имеющего взаимно перпендикулярные диагонали».
Задача. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника, имеющего взаимно перпендикулярные диагонали, равна половине произведения его диагоналей.
Запись на доске.
Дано:
ABCD – вып. четырехугольник,
AC ┴ BD.
Доказать:
SABCD=1/2 AC
BD.
Доказательство:
- пусть AC ∩ BD = O, тогда
S
ABC=1/2
ACBО,
т.к. BO является высотой в 
ABC,
S
ABC=1/2
ACDO,
т.к. DO является высотой в
ADC.
- SABCD= SABC+
SADC
= 1/2 ACBО
+ 1/2 ACDO
= 1/2 AC(BO+DO)=
1/2 ACBD,
ч.т.д.
Учитель. Какие вы знаете четырехугольники с взаимно-перпендикулярными диагоналями?
Ученик. Ромб и квадрат.
Учитель. Давайте запишем формулы в общем виде для вычисления площадей ромба и квадрата для их диагоналей.
Запись на доске:
Sромба=1/2d1d2, где d1, d2 – диагонали ромба.
Учитель. Что можно сказать о диагоналях квадрата, кроме того, что они взаимно перпендикулярны?
Ученик. Диагонали квадрата равны, то есть d1 = d2.
Учитель просит ученика записать формулу для вычисления площади квадрата по его диагонали.
Ученик пишет на доске:
Sквадрата = ½ d2, где d – диагональ квадрата.
- Закрепление выведенных формул.
Учитель. Приведите свои примеры использования выведенных формул.
Ученик. Найти площадь ромба, если его диагонали равны 3см и 6см.
Решение: S=1/2 36
= 9 (см2).
Ученик. Найти площадь квадратного участка земли, если его диагональ равна 10м.
Решение: S=1/2 102=50
(м2).
Учитель. Придумайте обратные задачи.
Ученик. Найти одну из диагоналей ромба, если его площадь равна 20 см2, а вторая диагональ 8 см.
Решение: d1= 2S/d2, d1= 220/8
= 5 (см)
Ученик. Найти диагональ квадрата, если его площадь равна 18 см2.
Решение: d2=2S, d2=36, d=6(см).
Учитель. Давайте теперь решим более сложную задачу, в которой известны площадь ромба, а также соотношение между длинами диагоналей, а требуется найти диагонали.
(На эту задачу лучше вызвать сильного ученика, т.к. она решается с помощью уравнения и является сложной для слабых учеников). Во время обдумывания решения предложенной задачи средними и сильными учениками класса, слабые получают карточки-задания на отработку выведенных формул. Каждая карточка содержит по 2 простые задачи типа:
-
Вычислить площадь ромба, если одна из его диагоналей равна 5 см, а другая в 4 раза больше.
-
Вычислить диагональ квадрата, если его площадь равна 32 см2.
Задача (для средних и сильных учеников).
Одна из диагоналей ромба, площадь которого равна 27 см2, в 1,5 раза больше другой диагонали. Найти диагонали этого ромба.
Ученик записывает на доске:
Дано:
ABCD – ромб,
AC = 1,5 BD,
SABCD = 27 см2.
Найти:
AC, BD.
Решение:
- SABCD = 1/2 ACBD.
Пусть BD = x см, тогда AC = 1,5x см. Т.к. по условию задачи SABCD = 27 см2, то получаем уравнение:
1/21,5xx
= 27,
1,5x2=54,
x2=36,
x=6 ( x=-6 не подходит по смыслу задачи).
- BD = 6 см, AC = 1,56=
9 см.
Ответ : 6 см и 9 см.
- Итог урока.
Учитель. Какие новые формулы мы сегодня узнали?
Ученик. Формулы для вычисления площадей выпуклых четырехугольников, имеющих взаимно-перпендикулярные диагонали, в частности, для ромба и квадрата.
Учитель. Какая еще из известных вам геометрических фигур может иметь взаимно-перпендикулярные диагонали?
Ученик. Трапеция.
Учитель. Верно, значит можно вычислить и площадь трапеции, если у нее взаимно-перпендикулярные диагонали. Этими формулами можно пользоваться наряду с ранее изученными.
- Домашнее задание (творческое).
- Придумать по 2 задачи (2 прямые и 2 обратные) на применение изученных формул и записать их с решениями. Чем сложнее задача, тем выше оценка.
- Для слабых учеников (у кого не получится придумать задачи):
Задача. Найти площадь трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны, а их длины равны 10 см и 16 см.