Урок "Решение задач на вычисление расстояний и углов"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Дидактическая цель: Показать учащимся возможность и целесообразность использования векторной алгебры при решении задач.
  • Развивающая цель: Развитие мыслительной деятельности и ее активизация путем различных вопросов и задач.
  • Воспитательная цель: Воспитание собранности, аккуратности, четкости, потребности мыслить.

Знания и умения, формируемые на уроке: Учащиеся должны знать, что применение векторной алгебры дает в некоторых случаях возможность найти или упростить решение задачи.

Тип урока: Решение задач

Оборудование к уроку: Таблицы, плакаты, индивидуальные карточки, модели геометрических тел. Раздаточный материал.

План урока

1.Организационный момент

  1. Проверка готовности учащихся к уроку;
  2. Создание рабочего настроения;
  3. Постановка цели предстоящей работы;

2. Актуализации знаний учащихся

  1. Работа с группой: проверка знаний уч-ся владения векторным аппаратом; решение подготовительных задач.
  2. Группам учащихся предлагаются карточки задания в виде таблиц, которые необходимо заполнить.

К- №1

Карточка №1; В-1 В-2 В-3
Вместо точек дописать необходимые выражения, чтобы получились верные высказывания:
Упростить выражение

Если, К > 0, тогда

К <0, тогда

Если , то

Если , то

Найдите вектор из условия:

К-№2

Перевести на векторный язык ряд геометрических утверждений, связанных с параллельностью и отношением отрезков:
Задания для учащихся: Предполагаемые ответы учащихся:
1 Точка С лежит на прямой А В
(три точки лежат на одной прямой и не совпадают.)		 при некотором к
2 Точка С делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=m : k
3 A B C D - параллелограмм.
(Точки A,B,C,D не лежат на одной прямой.)
4 Точка К середина отрезка А В
5 Точка М - точка пересечения медиан треугольника АВС для любой точки О

Работа с группой. Решение подготовительных задач на доске.

Задания для учащихся Предполагаемые ответы учащихся
Задание №1

1. Построить параллелограмм АВСD.

Точка М АD ; N DC - середины сторон параллелограмма.

Найти сумму векторов:

2. Найти разность векторов:

3. Могут ли векторы образовать базис?

4. Разложите векторы по базису, т.е. выразить через векторы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Векторы неколлинеарные, образуют базис.

4.Векторы можно разложить по этому базису, выразить через вектора .

Решаем систему уравнений:

Получаем:

Задание №2

Дано

Найти скалярное произведение:

 Вычисления можно оформить таблицей:

 
36 9
9 9
Задание 3

Известно, что . Найти соs угла между данными векторами.

3. Решение задач

Задача №1

Дан параллелограмм ABCD. Точки М и N середины сторон AD и DC параллелограмма. ВМ=6; BN=3, . Найдите стороны и углы параллелограмма?

Решение:

1. Переведем условие задачу на векторный язык.

2. Выбираем базис. В качестве базиса возьмем векторы

Разложим векторы по векторам

3. Решая относительно и систему

Находим

4. Составляем таблицу умножения для этого базиса.

36 9
9 9

Пользуясь таблицей, находим:

5. Ответ:

Предлагаем учащимся составить алгоритм решения задач на вычисления расстояний и углов.

Алгоритм решения задач:

  1. Перевод условия задачи на язык векторов;
  2. Выбирается подходящий базис; разложение всех введенных векторов по базису;
  3. Составление векторного равенства или системы равенств; упрощение векторных равенств и их решение;
  4. Составляется таблица скалярных произведений векторов этого базиса;
  5. Имея таблицу и зная разложения векторов в этом базисе, вычисляются длины этих векторов и углы между ними.
  6. Объяснение смысла полученного результата.

Задача №2

В правильном тетраэдре ABCD точки K, M, N - середины ребер CD, AD, AB соответственно, точка О - центр треугольника АВС. Найдите угол между прямыми МО и KN?

Составляем план решения задачи:

1. Делаем рисунок и обозначаем векторы:

Принимаем длину ребра пирамиды за единицу.

2, 3. Перечисленные векторы образуют базис пространства.

Разложим векторы по базису.

Точка О - центр треугольника АВС, тогда

Точка М - середина AD, ; )

Аналогично

Скалярное произведение

4. Составляем таблицу скалярного умножения:

 
1
1
1

5. Раскрывая скобки и пользуясь таблицей, находим что

Аналогично находим

6. Записываем ответ задачи.

Домашнее задание. Глава 4,5 п.46-48.№ 466;

Итоги урока.

Литература.

  1. Геометрия 10-11кл. автор Атанасян В.Ф. Просвещение. 2000.
  2. "Применение векторов для решения задач" авторы В.Б.Некрасов и Б.М. Беккер. "Магистр". 1997.
  3. "Школьная математика" автор В.Б.Некрасов. "Авалон". 2006.
  4. "Геометрия в таблицах и схемах" Н.Н Евдокимова. "Лира". 2004.