Цели урока:
- выработать навыки решения квадратных уравнений, используя теорему Виета и ей обратную;
- обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах2 +bx + c =0, в которых а + b +с = 0 и a + c = b;
- прививать навыки устного решения таких уравнений;
- развивать самостоятельность и творчество.
Ход урока
(Презентация к уроку представлена в Приложении 1)
I. Организационный момент
- Давайте вспомним, какую большую тему мы с вами изучаем? (Квадратные уравнения).
- Назовите виды квадратных уравнений? (Полные, неполные; приведенные, неприведенные)
II. Актуализация опорных знаний
На магнитной доске висят карточки, на которых написаны квадратные уравнения.
Задание (устно)
Разделите данные квадратные уравнения на группы.
7у2 -8 у + 1 = 0 |
х2 - 5х + 6 =0 |
7 – у2 = 0 |
2х2 – 9х + 10 =0 |
Ответы:
х2 - 5х + 6 =0 |
7у2 – 8у + 1 = 0 |
7 – у2 = 0 |
Учитель: По какому принципу вы это сделали?
I группа – приведенные квадратные уравнения,
II группа - полные неприведенные квадратные уравнения,
III группа - неполные квадратные уравнения.
* А есть еще другие способы с помощью которых можно разделить данные уравнения на группы? (Ответы учащихся: Да. Объясняют.)
Каким свойством обладают приведенные квадратные уравнения? (Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.)
А как называется это свойство? (Теорема Виета.)
Один из учащихся записывает эту теорему на доске:
х2 + px + q = 0 |
x1 + x2 = - p |
Как вы думаете для чего нам нужна теорема Виета?
II. Формирование умений и навыков учащихся
Учитель: Итак, мы подошли к теме нашего сегодняшнего урока: «Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений».
Устные упражнения.
Задание 1. Найдите сумму и произведение корней приведенных квадратных уравнений.
х2 - 5х + 6 =0 |
Ответ: | (х1+ х2 = 5 |
х1*х2 = 6 |
* Можно ли использовать теорему Виета для решения неприведенных квадратных уравнений вида ax2 + bx + c= 0?
Для уравнений вида ax2 + bx + c= 0 сумма корней равнах1 + х2 = - 
, а произведение х1
х2 = 
Записываем на доске в тетради.
Ученица читает стихотворение:
По праву, достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе с в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, то не беда –
В числителе b в знаменателе а.
Задание 2. Найдите сумму и произведение корней уравнений:
| 7у2 – 8у +1 = 0 2х2 – 9х -10 = 0 |
Ответ: | (х1 + х2 = |
х1* х2 = |
* Вспомните теперь теорему обратную теореме Виета:
Если выполняется равенство х1 + х2 = -
и х1 х2 = 
, то числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
Задание 3 (письменно).
Методом подбора найдите корни уравнений и выполните проверку по теореме обратной теореме Виета.
Учащиеся работают парами. Каждая пара получила карточку с уравнением.
Затем решение заданий проверяется на доске.
х2 – 6х +8 =0 |
( х1 = 4 |
х2 = 2 |
х1 + х2 = 6 |
х1 * х2 = 8 ) |
Задание 4 (устно).
Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) – 5; 4 |
Ответы: | ( х2 + х – 20 =0) ( х2 + 19х + 88 = 0) ( х2 - 8х +13х=0) |
)(4 +
)Задание 5. (работа в парах)
Каждой паре учащихся предлагаются карточки, на которых записаны числа, являющиесякорнями квадратных уравнений. Карточки содержат задания разного уровня сложности.
Составить приведенное квадратное уравнение.
I уровень : |
а) 5; 3. |
б) 3 ; 1. |
); ( 2 + 
).Ответы:
| I х2 - 8х +15 =0 |
II х2 – 7х + 12 = 0 |
III х2 – 18х + 80 = 0 |
* А сейчас мы проведем небольшую исследовательскую работу. Работать будем по группам.
III. Работа в группах
На доске записаны 3 группы уравнений.
| I группа х2 + 2х – 3 =0 |
II группа х2 – 3х + 2 = 0 |
III группа 5х2 – 8х + 3 = 0 |
Задание 1. Найдите коэффициенты a, b, c и корни уравнений.
Ответы.
а = 1 b = 2 с = - 3 х1= 1 х2= -3 |
а = 1 b = -3 с = 2 х1=1 х2=2 |
а = 5 b = - 8 c = 3 х1=1 х2= |
Задание 2. Попробуйте найти какую-либо закономерность.
1) В сумме коэффициентов: ( а + b +с = 0)
2) В корнях этих уравнений: ( х1=1 х2 = с, если а = 1;
х1= 1 х2 =
, если а ≠ 1)
3) В соответствии между коэффициентами и корнями
( х2 = с или х2 = 
х1= 1)
(Вывод делают сами учащиеся.)
Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 сумма коэффициентовa + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = . При а = 1, х1 = 1, х2 = с. |
Задание 3. Рассмотрим вторую группу уравнений.
I х2 – 5х – 6 = 0 |
II х2 – 15х -16 = 0 |
III 3х2 - 2х -5 =0 |
1) Найдите коэффициенты a, b, c и корни уравнений.
2) Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения? ( a + c = b).
3) Какую закономерность заметили вы в корнях этих уравнений? ( х1 = - с или х2 = -
)
I х2 – 5х – 6 = 0 |
II х2 – 15х -16 = 0 |
III 3х2 - 2х -5 =0 |
Ответы:
I a=1 b= -5 c= -6 х1= -1 х2= 6 |
II a=1 b= -15 c= -16 х1= -1 х2= 16 |
III a = 3 b = -2 c = -5 х1= -1 х2 = |
Делаем вывод.
Если в уравнении ах2 + bx + c = 0 сумма коэффициентов a + c = b , то х1= -1, х2= - |
Выводы записываем в тетрадь.
Задание 3. Решите уравнения (устно).
х2 + 23х – 24 = 0 |
Ответы: | (х1 = 1 |
х2 = -24 |
IV. Проверочная самостоятельная работа. (10 мин.)
I вариант
1. Решите уравнение: 7х2 + 9х +2 = 0
(Ответ: -1; -
)
2. Чему равно произведение корней уравнения?
3х2 + 8х - 4 = 0
(Ответ: -
3. Один из корней данного квадратного уравнения равен – 2. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: х2 +5х + k = 0 ( к = 6, х = - 3 )
4. Не вычисляя корней уравнения х2 – 6 х – 7 = 0, найдите 
, где х1 и х2 - корни данного уравнения. Ответ: - 
II вариант
1. Решите уравнение: 5х2 – 7 х +2 = 0
Ответ: 1; 
.
2. Чему равна сумма корней уравнения?
7х2 - 19х + 4 = 0
(
)
3. Один из корней данного квадратного уравнения равен – 2. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: 3х2 + kх + 10 = 0
(к = 11, х = - 
)
4. Не вычисляя корней уравнения х2 – 5 х – 7 = 0, найдите 
, где х1 и х2 - корни данного уравнения.
Ответ: - 
IV. Задание на дом
№ 659 (учебник Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк), № 506 (стр.143 Дополнительные главы к школьному учебнику Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк)
Решить уравнение: х2 – 2007х – 2008 = 0
V.Подведение итогов
- Итак, мы сегодня еще раз выяснили, что теорема Виета позволяет, не вычисляя корней квадратного уравнения, получить о нем достаточно широкую информацию, а именно:
- выяснить , имеет ли квадратное уравнение корни и сколько,
- для уравнения ,имеющего корни, определить их знаки;
- позволяет решать задачи, в которых требуется найти коэффициенты квадратного уравнения по известному соотношению между его корнями.
Выставление оценок.