Цели урока:
- Повторить основные понятия темы;
- Проанализировать процесс решения уравнений (неравенств) и обосновать цепочку переходов от исходного уравнения (неравенства) к равносильному;
- Способствовать познавательной активности учащихся при помощи информационных технологий;
- Создавать условия для реализации творческих способностей учащихся.
Тип урока: Защита проекта, урок обобщения знаний, повторения.
Ход урока
Учитель: Решая сложные задания (особенно из части С), мы постоянно сталкиваемся с моментами, где в кажущейся простой ситуации мы допускаем ошибки. В чем проблема?
Иногда при решении уравнений случаются неприятности: появляются "лишние" корни, теряются "нужные", а иногда непонятно, что делать дальше, потому, что неизвестное исчезло, а осталось "уравнение" 0 = 2 или 1 = 1. Чтобы справляться с такими неприятностями, надо хорошо понимать, что такое уравнение, и что мы делаем с ним в процессе решения. (далее привожу выступление ученика по его проекту).
Докладчик: Начну с определения уравнения [слайд №3]
Уравнением называется запись f = g, где f и g — две функции, заданные на одном и том же множестве А. Множество А называется областью определения уравнения (или ОДЗ). Таким образом, чтобы задать уравнение, мало написать f = g, еще надо указать А - его область определения (сл.№4)
Обычно область определения уравнения не упоминается — нам говорят "решите уравнение", например, данное: х2 + 2 = 4х и мы сразу понимаем, что область определения уравнения — любое число, т.к. при этом условии имеет смысл и f, и g.
Я разобрала на составные части процесс решения уравнения, чтобы точно узнать, откуда берутся ошибки, и какие меры предосторожности надо принимать.
Пусть дано уравнение [слайд №5] 
Упростив его левую и правую части по
отдельности, получим
Разделим числитель и знаменатель левой части
на х2, а правой — на х, сделаем
подстановку 
.
Получим уравнение [слайд 6]
откуда. 
. Отсюда и = 0
или и = 1.
Вернемся к замене: [слайд 7]
,
решений не дает.
,
x=1.
Казалось бы, уравнение решено. Если, однако, попытаться подставить в исходное уравнение х = 1, то мы убедимся, что это – не корень (на нуль делить нельзя!) [слайд№8] С другой стороны, легко проверить, что х = 0 – корень уравнения, который мы почему-то не нашли. Где же мы ошиблись? (идет обсуждение).
В уравнении: , мы делили числители и знаменатели
дробей на х, что можно делать только при
; стало быть,
если 0 является корнем, то при этой операции мы
его потеряем. В таких случаях проще всего
сразу подставить х = 0 в уравнение и
посмотреть, корень ли это. Убедившись, что в
данном случае это – корень, и запомнив это,
пойдем дальше. Но удобнее всего было бы перенести
все в левую часть и привести к общему знаменателю:
[слайд №9] 
.
Решение этого уравнения очевидно (дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Рассмотрим простейшее иррациональное уравнение. [слайд № 10]
Пример 1. 
(1)
Решение. Возведя обе части в квадрат, получим
квадратное уравнение
(2).
Все решения исходного уравнения (1) являются
решениями уравнения (2) (если числа равны, то и их
квадраты равны). Иными словами, уравнение (2)
является следствием уравнения (1). Однако среди
решений уравнения (2) могут быть не только нужные
нам числа: ведь и данное (3):
после возведения в квадрат даст
то же самое уравнение (2), а значит, все корни этого
"постороннего" уравнения, если таковые есть,
также будут корнями (2). [Слайд №11]. Поэтому,
решив уравнение (2), надо еще отобрать среди
найденных корней те, которые удовлетворяют
нашему уравнению (1). В нашем случае это сделать
совсем просто: решая (2), квадратное, находим 
; подстановкой в (1)
убеждаемся, что 
подходит, а 
нет.
Но часто бывает ситуация, когда подстановкой проверить корни почти невозможно.
Пример 2. (слайд №12) 
(1) Возводим в квадрат,
получаем уравнение:
(2). Находим
корни: 
.
Мы выполнили неравносильные
преобразования, возможно получили посторонние
корни (решения уравнения (3), которое тоже при
возведении в кв. дает (2), но как же теперь выбрать
то, что нам нужно? Во всяком случае, подставлять
такие числа в исходное уравнение (1) — занятие
бесперспективное. Обратите внимание, что все
корни квадратного уравнения – это либо корни
нашего исходного уравнения, либо корни
"постороннего" уравнения 
(3).
Т.к.. 
, то
всякий корень уравнения
– неотрицательное число, а
всякий корень уравнения– неположительное число. А нам
нужен корень только исходного, значит
неотрицательное число. И в ответ выходит
положительный корень. Ответ. 
.
[Слайд №13] Итак, уравнение 
равносильно
системе:
Уравнение Б является следствием уравнения А, если все корни уравнения А являются корнями уравнения Б. Уравнения А и Б равносильны, если множества их корней совпадают. [слайд №14].
Считаю, что лучше тщательно изучить ход решения и выяснить, на каком этапе могли появиться "лишние" корни, и какие именно. Конечно, желательно, чтобы каждое новое уравнение было бы равносильно исходному (тогда лишних корней появиться не может), но этого можно добиться не всегда.
Я проанализировала некоторые ситуации при выполнении преобразований и выделила главные моменты. Что произойдет с естественной областью определения уравнения, если в нем заменить:
a) 
(ОДЗ
сужается: была: 
, стала: 
)
б) 
(ОДЗ
расширилась: была: 
, стала: x-любой)
г) 
( 
)
д) 
(идет
обсуждение)
Кстати, к этому сводится известная шутка – "доказательство" равенства 2 = 4: [слайд №16]
Поэтому, чтобы избежать таких "шуток", надо пользоваться равенствами: [слайд №17]
Решая уравнение из домашнего задания
я
столкнулась с проблемами.
(Уравнение решается у доски и в тетрадях, затем докладчик продолжает).
Приведу верный вариант решения: [слайд №18]
0) Выпишем ОДЗ: 
.
1) Перейдем в левой части к логарифму по основанию 2 и разложим квадратные трехчлены на линейные множители:
.
2) Т.К. в ОДЗ 
,
разделим обе части на 
и прологарифмируем степень в правой
части: 
,
получим:
.
3) Перенесем все в левую часть и вынесем 
за скобки [слайд№19]
или 
.
4) Приравнивая к нулю сомножители, получим совокупность уравнений:
а) 
;
.
Ответ: 
.
б) 
;
;
; 
В данном случае на каждом из шагов выполнялись равносильные преобразования, учитывая ОДЗ. Значит, проверку можно не выполнять.
Проанализируем, какие ошибки возможны при решении: [слайд №20] (идет обсуждение).
0) Забудем про ОДЗ.
1) 
2) 
, (допущены
ошибки при логарифмировании степени).
3) 
или 
.
Здесь уже приобретен посторонний корень 
(мы же не учли
ОДЗ) и подготовлена потеря корней. (Применение
неверной формулы 
сузило ОДЗ: изначально , теперь строго > 4).
4) [Слайд №21] Тогда ;
а) если сократить на 
, то произойдет потеря корня 
и мы получим
данный неверный ответ а) 
,
б) если вынести 
за скобки, то 
, все равно уйдем от правильного ответа
б) 
.
Я СДЕЛАЛА ВЫВОДЫ ИЗ РЕШЕННОГО ПРИМЕРА. [слайд №22]
1) Опасно делить обе части уравнения на
выражение, содержащее неизвестное (можно
потерять корни).
2) Если уравнение содержит общий множитель c
неизвестным, его следует вынести за скобки и
привести уравнение к совокупности двух, равных
нулю.
3) При решении уравнений нельзя делать ошибок
типа 
– они
могут привести к потере корней (из-за сужения
ОДЗ).
Рассмотрим конкретный пример из задания С1 ЕГЭ прошлого 2007 года.
Задание: найти точки максимума функции 
Решение: (решение у доски, в тетрадях, затем продолжает докладчик) [слайды №23-24]
1) Найдем ОДЗ: 
2) Преобразуем функцию: 
3) Для нахождения точек максимума, найдем
производную функции: 
. И стационарные точки: x= -1, x= 0, x=2
4) Определим знаки производной и поведение
функции:
Выходит, что точек максимума две: x= -1 и x= 2. Но x= -1 не входит в область определения функции. Поэтому точка максимума одна: x=2.
Ответ. x=2.
Вывод: необходимо учитывать ОДЗ при решении любых задач, а особенно в тех случаях, когда выполняются неравносильные преобразования. Как в данном примере: область определения расширилась после того, как мы упростили функцию.
[Слайд №26] Ход решения неравенств устроен примерно так же, как и ход решения уравнений. Стоит добавить, что множество решений неравенства обычно бесконечно. Проверить все найденные числа трудно, поэтому необходимо избегать переходов к неравносильным неравенствам.
Пример 1. 
[слайд №27]
Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, это возможно только при неотрицательности обеих частей. Но что же нам делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? А ничего не делать, для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом в ОДЗ, и, стало быть, сама неотрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система:
, где
возведенное в квадрат неравенство,
неотрицательность правой части ОДЗ
Пример 2. 
[слайд №28]
Решение. Здесь опять же заведомо можно возвести
в квадрат только тогда, когда 
. Однако теперь уже нельзя
отбросить тех, для которых правая часть
отрицательна:
Итак, у нас получилось два случая: если правая
часть неотрицательна 
, то из нашего неравенства следует
система 
Если
же правая часть отрицательна, то нер-во верно на
ОДЗ (ведь тогда отрицательная правая часть
должна быть меньше положительной левой, а это
верно на ОДЗ) и следует система 
где неотрицательность
меньшей части и ОДЗ.
Неравенство 
равносильно такой совокупности двух
систем:
Пример 3. 
[слайд №29]
Решение. На сей раз обе части неравенства
всегда неотрицательны, так что возведение в
квадрат дает неравенство, равносильное
исходному на его естественной области
определения. Возведение в квадрат дает
неравенство: 
,
(8) область определения дает неравенства: 
(9) и 
(10).
Мы не учитываем (10), т.к. если правое, меньшее, подкоренное выражение неотрицательно, то левое и подавно неотрицательно. Стало быть, из неравенства следует такая система:
,
возведенное в кв. нер-во и неотрицательность
меньшей части.
Неравенство 
равносильно системе: [слайд
№ 30]
Учитель: Используя результаты ваших исследовательских работ, в данном случае Оксаны, мы проанализировали различные ситуации, выяснили причины появления таких неприятных моментов в нашей практике, как “лишние” корни, потеря нужных. Рекомендую всем заинтересованным в качественном решении использовать эти выводы.
2. Решить уравнения, неравенства:
1. 12 - 7х + х2 =
4(х-3)
.
2. log2(x3-4) – log4(x3- 4) = log2 \/
x6-11x3+28
3. (21х-2х2+65) * 
* log3 |x-9|.>0.
3. Итог урока. [слайд 31]