Для развития индивидуальных склонностей и способностей и чтобы ученик не остался «вещью в себе» метод проектов является одним из лучших способов познания обучаемого и самопознания. Кроме того, на уроках математики часто опускается проблема значения математики в мировой культуре. Однако метод проектов позволяет нам соединить математику с другими областями культуры.
Что же такое учебный проект?
Учебный проект с точки зрения учащегося – это возможность делать что-то интересное самостоятельно, максимально используя свои возможности; это деятельность, позволяющая проявить себя, и показать публично достигнутый результат; это деятельность, направленная на решение интересной проблемы, когда результат этой деятельности – найденный способ решения проблемы – носит практический характер.
Учебный проект с точки зрения учителя – это и задание для учащихся, и их целенаправленная деятельность, и форма организации взаимодействия учащихся с учителем, т.е. это интерактивное дидактическое средство развития, обучения и воспитания, которое позволяет вырабатывать специфические умения и навыки проектирования.
Велико разнообразие учебных проектов: от проекта на один урок до проекта на весь учебный год; от мини-проектов для изучения разных предметных тем до межпредметных, внепредметных и внешкольных. Учебные проекты бывают разные, но все же требования к проектной деятельности остаются общие:
- Интегрируемость проекта: внутренняя интеграция, внешняя интеграция.
- Практическая значимость говорит сама за себя, т.е. задание проекта должно быть связано с окружающими ученика проблемами.
- Труднодоступность – проект задание на длительный срок и не решается наскоком, а проявлением упорства и самостоятельным овладением, систематичностью работы и самоорганизацией.
С другой стороны проектная деятельность на уроках математики позволяет
- расширить сферу математических знаний учащихся;
- развить эстетическое восприятие математических фактов, расширить представления учащихся о сферах применения математики в области гуманитарной сферы деятельности;
- расширить общекультурный кругозор учащихся посредством знакомства с лучшими образцами произведений искусства;
- продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни;
- убедить в практической необходимости владения способами выполнения математических действий;
- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.
Любой проект начинается с формулировки проблемы – это первый этап (погружение в проект), проблема должна заинтересовать ученика. Остановимся на этом этапе более подробно. Как поставить задачу и погрузить учеников в проектную деятельность.
Вот, например, тема «Пропорции». При изучении пропорций можно поставить задачу – начертить план фасада здания, которое, по мнению ученика можно было бы признать самым красивым, т.е. отнести к чудесам света. Полученные результаты данной работы проходят экспертную оценку. Для каждого чертежа проводится геометрический анализ, выявляющий недостатки и позволяющий перейти к вопросу о математических предпосылках прекрасного. Вполне возможно, что ученики смогут прийти к понятию золотого сечения и как следствие изобразительному искусству и архитектуре. Конечно, пропорции изучаются в шестом классе и автору могут возразить, что математические выкладки достаточно сложны для восприятия учеников. Однако как показывает практика знакомство с данной темой, удивляет и заинтересовывает учащихся, побуждая к дальнейшему изучению. Впрочем, можно обратиться к картинам, выявить наиболее красивые изображения и сформулировать вопрос: «Как математику помочь художнику научиться рисовать красиво и точно?». Можно показать наиболее известные архитектурные шедевры и искать ответ на вопрос, почему они считаются совершенными с точки зрения и дилетанта, и профессионала.
Сама же тема золотого сечения, вновь поднятая в
8-9 классах на элективных курсах, позволяет
представить различные виды проектов так или
иначе, связанных с математикой и другими
областями человеческой культуры. Кстати, золотое
сечение, предпочтительное во многих случаях, не
единственное отношение, зрительно
воспринимаемое как красивое. К их числу
относятся такие отношения, как 1:
и 1:
. После проведения исследования в
области искусства возврат к естественным наукам
только подчеркнет гармонию в математике. После
работы над данной темой появляются мини-проекты
«Золотое сечение и архитектурное сооружение»,
«Тайны египетских пирамид», «Золотое сечение и
числа Фибоначчи», «Мир Леонардо да Винчи – мир
божественных пропорций». Последняя тема вполне
может быть поднята на уроках истории, МХК,
рисования и захватить математику в ходе работы
над проектом. Его картины станут прекрасным
пособием при изучении пропорции.
Еще одна из тем, которая в математике представлена односторонне – это такой раздел математики как «Симметрия». В базовом курсе представлена лишь математическая составляющая свойств симметрии, а об их культурологическом аспекте упоминается вскользь. Проекты «Симметрия вокруг нас» направлены на интеграцию знаний, формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них. Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – ХIХ веке. Легко увидеть симметрию в природе как живой, так и неживой, гораздо сложнее понять красоту и гармонию законов физики, проявляющуюся в симметрии законов природы. Проявление симметрии пространства и времени (однородность и изотропность) облегчают выводы уравнений физики, и придает им более стройный вид, внутреннюю красоту. В «Евгении Онегине» Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви. В трагедии «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов: убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши-царевича. В романе «Мастер и Маргарита» Булгакова представлена симметрия пространства: Москва топологически повторяет город Иерусалим. Но сведение красоты только к симметрии обеднило бы культуру. Храм Василия Блаженного – пример удивительного сочетания симметрии и асимметрии. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. В некоторых восточных культурах, например в японской, широко используется асимметрия, символизирующая беспредельность мира. Такие точки удивления можно выявить при работе с данной темой. Однако симметрия существует и в уравнениях. Эта тема может стать темой учебного проекта для старшеклассников, для учеников профильного естественнонаучного класса. Данный список можно продолжать. Нас же интересует, как погрузить ученика в данную тему, вызвать интерес. В 5-6 классе можно придумать различные игры с буквами алфавита, ученики легко замечают симметрию буквы, также как и ассиметричные знаки. Эта простая игра станет первым шагом к изучению темы. И вот уже готовы проекты «Симметрия в природе», «Фигуры, похожие на себя». Сравнительный анализ, проведенный на уроке и позволяющий увидеть сходство ситуаций, в которые попадают герои, одинаковых мест в разных городах, работа с мозаикой позволяют сформулировать проблему «Зачем автору нужны одинаковые ситуации, окрестности, люди? Каким законам подчиняется симметрия?». А может и в старших классах немного поиграть: в русском языке есть симметричные слова и даже целые фразы. Помните известную фразу «А роза упала на лапу Азора». Такая игра на уроке позволит погрузиться в проект.
Еще одна тема для учебного проекта всплывает при изучении проецирования. Что представляет изобразительное искусство как не проецирование трехмерного пространства на двумерную плоскость, следовательно, в любой картине существуют искажения. Наивные детские рисунки, когда все предметы висят в воздухе, вызывают подчас умиление, но на уроках рисования ученик уже получает невысокую оценку за такие картины. Но как может ученик понять свои ошибки, если он не знает, что он делает неправильно. Художники-профессионалы достаточно легко прячут искажения пространства. Детальное изучение рисунка позволяет определить, как автор спрятал потери высоты, ширины, длины. Такая работа поможет и самому ученику сделать шаги в овладении техникой рисования. Работа над проектом «Геометрия картина» дает возможность приблизиться к пониманию взгляда художника-реалиста, иконописца, древнеегипетского мастера. Этот же проект поможет создать в школе довольно приличную базу данных – коллекцию картин с различной техникой написания и использования различных способов проецирования.
В 5-6 классах можно работать над мини-проектами, рассчитанными на один урок. Одним из таких проектов может стать проект «Математика и мифы». В целом создатель мифологических сюжетов и персонажей действует подобно математику. Часто творцы мифов создают новых невиданных существ, соединяя вместе хорошо известные природные формы. Этот процесс мы смело можем назвать мифологической геометрией, точно так же как процесс сложения, а порой и умножения этих форм можно уподобить своеобразной мифологической алгебре. Достаточно взглянуть на пантеон египетских богов. В качестве такой иллюстрации можно привести три чудесные птицы русского язычества: Алконост, Гамаюн, Сирин, воспроизведенные на картинах Васнецова. Ученики этих классов с удовольствием включаются в процесс сложения необыкновенных существ. Для старших классов задача складывания мифических существ может вылиться в серьезное изучение топологического пространства мифов. Принцип изоморфизма, присущий мифам, сводит все возможные сюжеты к единому сюжету, который инвариантен всем возможностям и всем эпизодам мифа. Все разнообразие социальных ролей реального мира в мифе свертывается в предельном случае в один персонаж. Мифы не имеют линейного развертывания, они повторяются в некотором заданном порядке, причем понятия «начала» и «конца» к ним принципиально не применимы. Повествование мифа начинается с любой точки. Но тогда этот принцип в топологии представлен таким понятием как «гомеоморфизм». Гомеоморфность множеств, фигур – это предельное свертывание мифа. Важное свойство гомеоморфизма менять метрические (и, следовательно, легкоузнаваемые) свойства объекта, но сохранять его топологические (не столь легкораспознаваемые) свойства. И вот первое соединение теории математики с мифологическим текстом. В этой связи можно отметить важность сравнения мифов народов, живущих в разных местах. Мир возникает из хаоса, так как процесс жизни воспринимается первобытным сознанием в беспорядочном виде. Затем начинается деформация изначального хаоса: в скандинавских мифах мир возникает из взаимодействия воды и огня, в китайских мифах мир появился из водяного хаоса. Эта схожесть мифов похожа на топологическое расслоение, пространство представляется в виде слоев, то есть таких подпространств, которые похожи друг на друга. Слои могут быть устроены чрезвычайно сложно, но каждый слой может быть параметризован, и спроектирован на базу расслоения (общее для всех слоев фиксированное пространство). Вот такие исследования складываются в ходе знакомства с мифологией народов мира.
Все представленные ранее направления работы с проектами исходили из той предпосылки, что проект начинался на уроках математики, захватывая по ходу работы различные области других наук. Однако, вполне возможно, что работа над проектом начнется не с математических формул. Уроки литературы, МХК, истории знакомят учащихся с произведениями культуры. И тут становится важным показать, что математика может мирно сосуществовать и в этих областях. Так, например, при изучении романа «Преступление и наказание» можно обратить внимание на использование автором чисел. Ф.М.Достоевский употребил числа около 2000 раз, густота чисел в ряде случаев столь велика, что текст выглядит как счетный документ или пародия на него. Обращает внимание разнообразие в использовании чисел; подчеркивается их случайный, меркантильный, неэстетический характер, сугубая «количественность». Автор дегармонизирует представления об элементах числового ряда безразлично монотонным употреблением числа. Вместе с тем обнаруживаются и мифопоэтические числа с подчеркиванием их качественных свойств, символизмом. Например, число семь: сам роман семичленен, первые две части состоят из семи глав каждая. Роковое событие отнесено ко времени после семи, тема семи подчеркнута и в эпилоге. Проблема числа и его соотношения была весьма популярна и в русском символизме, и в следующих за ним по времени направлениям. Можно обратить внимание на следующую особенность в русской художественной литературе, начиная с Пушкина и до начала ХХ века, наблюдается странное явление: литературному герою оказывается 26 лет, чем не тема для исследования. Не верите, прочтите «Евгения Онегина» или другие известные произведения и убедитесь сами. Эти исследования могут перерасти в математическую работу «Теория чисел», «Числовые функции», «Число и буква».
Роман «Мастер и Маргарита» вообще стоит особняком в ряду произведений, изучаемых в школе. «Мастер и Маргарита» – роман для математиков, о математике, о математизации мира. Роман Булгакова «Мастер и Маргарита» насыщен математическими образами. В нем можно найти числовые модели, математические теории, логические задачи. Знаменитый роман можно использовать как экспериментальную модель реальности, на основе которой можно сформулировать некоторые понятия, обобщения и задачи, вводящие нас в математику. Конечно, можно изучать алгебру, геометрию и физику, не прибегая к помощи Булгакова. Книга дает бесценный материал о построении экспериментальной модели логического мира, физического мира пространства и времени.
Остановимся только на нескольких примерах. Сначала уместно затронуть проблемы философии предмета, в частности физики. В романе сталкивается два миропонимания, различающиеся выбором причинности: что лежит в основе мира – свободная воля божества или природный механизм? Мирообъяснение Берлиоза – это лапласовский принцип всеобщего детерминизма, объясняющий мир с точки зрения механики и изгнавший из сознания идею Бога. Вслед за Лапласом его последователи (и Берлиоз в том числе) могут на вопрос о Боге сказать: «В этой гипотезе я не нуждался». В тоже время Воланд является выразителем второго типа причинности – свободной воли. Одним из известных последователей этой точки зрения является Иммануил Кант. Впрочем, и Ньютон придерживался этих взглядов. Ньютон был глубоко верующим человеком, а ньютонианец Лаплас провозгласил полное безбожие физиков. Опираясь на одну и ту же науку, Ньютон сделал одни выводы относительно Бога, а Лаплас – совершенно противоположные, выбрав только естественную причинность. Из законов физики не вытекает, что существует только естественная причинность. В тот момент, когда разворачиваются события в романе, физика отказалась от абсолютизации только одного типа причинности. Так, что Воланд проповедует не только веру в Бога, но он носитель миропонимания свободной воли. Общая теория относительности допускает причинные структуры пространства-времени, исключающие однозначную (детерминистскую) предсказуемость явлений.
Второй пример – использование чисел в романе. Общее количество чисел велико, обращает на себя внимание разнообразие в использовании чисел. Автор знает о символике употребляемых чисел и намеренно использует числа, подчеркивает их «качественные» свойства, символизм. Так в главе II идет использование чисел 1, 2, 3 (1 : 2 : 3) – это отправляет нас к пифагорейцам или в древний Китай.
В романе построена экспериментальная модель логического мира, где в качестве ученого-экспериментатора выступает Воланд. Пространство самого романа топологически представляет лист Мебиуса. Еще одно захватывающее исследование в области литературы и математики. И можно до бесконечности изыскивать темы в этом произведении.
Проектная деятельность позволяет совместить научный и художественный взгляд на вещи, хотя бы истолковать данные естественных наук, перевести их на внятный язык. Ведь наук уже десятки тысяч, а человек один. И уже в школе один и должен совместить в себе синусы-косинусы и старушку, которую Раскольников убил; и инфузорию и закон Хаммурапи, чтоб не быть обреченным знать культуру как набор разных ящичков, механически в него вдвинутых, без связи друг с другом. Но раз человек един, и ходит – значит, механик, и говорит – значит, филолог, и считает – значит, математик, и поет – значит, артист. Такая сверхзадача встает: свести воедино знания, освоить и постичь целый мир целостным способом мышления (в котором научный способ мышления сопряжен с художественно-образным способом постижения мира), самому стать целостной личностью.
Метод проектов позволяет приблизиться к решению данной проблемы.