Окружающий нас мир прекрасен своим многообразием, сложностью, загадочностью. В то же время лежащие в нем основы просты и действуют, как ни странно, по простым правилам. Об этом догадались уже древние греки и положили в основу всего огонь, землю, воду и воздух. Хотя и они были далеки от истины, но предвидели существование малых частиц, движения и сочетания которых порождают все сущее.
Итак, простые правила могут порождать как разнообразные, так и сложные ситуации, что видно на примере множества ходов в шахматах, шашках и других игр. Игра имитирует мир, поэтому-то она так привлекательна.
Разумеется, правила природы сложнее правил игр, но и они, как ни странно, тоже просты. Формально их можно изложить за час-два, но научиться хорошо «играть» по ним не так-то просто. Подчас для их познания требуется вся жизнь, ибо это фундаментальные законы механики и физики, одновременно это и законы химии и биологии, вытекающие из общих законов физики, сопряженность которых не всегда понятна. Дело в том, что все перечисленное мы имитируем в своем сознании идеализированными моделями. Эволюция человеческой мысли привела к тому, что для подобного рода конструирования создан математический язык и окружающие нас объекты описываются математическими моделями.
Ребенок, обучаясь математике, одновременно постигает своеобразные символы как систему понятийного аппарата, что в свою очередь есть обогащение языка, или, если хотите, является процессом формирования новых выразительных возможностей. Взять, к примеру, счетные палочки, помогающие одолеть первые примеры, научиться навыку счета, ведь это модель натурального ряда чисел, которую использовал еще Д.Гильберт при создании аксиоматики натуральных чисел. Счетные палочки – прообраз натурального ряда чисел, его первая модель, понятие натурального ряда – это творение человеческого разума, абстракция-идеализация.
Создание модели процесс трудный, кроме того, сам термин «модель» имеет много значений. А.Ф.Лосев дает 27 определений «модели» в лингвистике и шесть определений, относящихся к математике.
Попытаемся встать на точку зрения человека каменного века и проследим процесс возникновения модели «пещеры». Этот первый человек, гонимый холодом и дождем, укрывается по примеру зверей в расщелинах. Спасшись от ветра и дождя, при свете наш предок начинает разглядывать укрывающую его пещеру. В следующий раз человек придет сам и может даже приведёт своих соплеменников, чтоб переждать непогоду. Так складывается «идея пещеры» как памятка на случай дождя, но также идея, позволяющая увидеть в любой другой пещере возможности, открытые в первой. Опыт знакомства со второй пещерой приводит к тому, что представление о конкретной пещере сменяет представление о пещере вообще. Возникает модель, нечто само по себе не существующее, но позволяющее различить в совокупности явлений «пещеру».
Модель позволяет узнать как чужую пещеру, так и пещеру, в которой человек не собирается укрываться. Человек замечает, что пещера может выглядеть по-разному, но речь идет о реализации абстрактной модели, т.е. о кодификации. Пещера стала моделью тогда, когда человек начал «игру» между именами собственными и нарицательными, между «этот» и «всякий». Вот тогда индивидуальное укрытие от дождя (пещера) выступает как вещь, «только я», и одновременно в качестве «представителя» группы, одного из многих. Кроме этого в сознании первобытного человека для кодификации пещеры вообще произошло отделение слова от вещи, т. е. человек попал в мир условной реальности. В пространстве условной реальности нет конкретных вещей, есть только идеальные образы, заменившие настоящую пещеру. По сути, перед нами предстал «испытательный полигон» для умственного эксперимента и исследования процессов интеллектуальной динамики. Пещера становится символом благополучия, выживания семьи, наконец, домом. Так шло создание образов и символов в сознании отдельных индивидов и всего человеческого общества, перевод их в знаковую систему, в том числе в языке: здесь шел перевод имен собственных в имена нарицательные. Это был длительный, сложный, многоступенчатый, мучительный, но творческий процесс, история которого началась в тумане глубокой древности и растянулась на многие столетия.
Все эти наши философствующие рассуждения свидетельствуют, что важной задачей образования является формирование научной картины мира, и чтобы она была не искаженной, необходимо добиться понимания роли и значения моделирования как ведущего метода познания, его определенной условности и ограниченности. Понятие модели в неявном виде используется во всех учебных дисциплинах. С точки зрения использования моделей в обучении важны следующие характеристики модели:
- модель – средство познания;
- модель – представитель оригинала, который в каком-либо отношении более удобен для изучения, а ученик может при этом перенести полученные знания на объект;
- модель – выражение некоторых свойств прототипа;
- модель как однозначное соответствие оригиналу с точки зрения целей моделирования.
Именно в этом контексте (или в этих параметрах сущности модели) мы и производили математическую кодификацию пещеры. Такая «игра» помогает ученикам понять, что процесс моделирования может рассматриваться как движение от сложной, многосторонней реальной действительности к ее модели, где действительность заведомо обеднена, но зато подчеркнуты основные связи, главные процессы, виден механизм развития. Математическое моделирование – это наиболее распространенный вид конструирования законов в любой науке, именно поэтому язык математики называют универсальным языком науки. Ученики могут ясно представить математические модели как совершенный путь конструирования законов любой науки. Математическая формула может предстать для ученика неким аналогом экономических, социальных систем и даже системы композиции в художественном искусстве, например композиции музыкального произведения. Основное назначение – описание наблюдаемого поведения систем и предсказание свойств и поведения этих систем за пределами видимых наблюдений.
Математические модели могут быть очень
простыми, простыми, сложными и очень сложными.
Очень простые модели – это, например,
геометрическая или материальная точка, точечный
заряд. Иерархия математических моделей подобна
зданию, сложенному из простых частей. Очень
простые модели – это простейшие части, из
которых сложено здание; простые – это его
некоторые части; сложная модель – все здание и
очень сложная – это целый город из зданий.
Реальным системам и объектам, возрастающим по
сложности, не всегда отвечают более сложные их
модели. Реальным объектам могут соответствовать
простые модели, модель не обязана описывать все
происходящее в объекте во всех деталях. Она может
описывать самое главное, интересное или важное.
Так модель города – карта, модель земного шара –
глобус. В учебном процессе нужно использовать
разумные подсказки, которые помогут работать с
моделями:
- чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выводов;
- модель должна быть простой, но не проще, чем это возможно;
- пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на решение;
- модель должна быть грубой: малые поправки не должны кардинально менять ее поведение;
- модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.
Попробуем составить модель энергетического баланса сердца. Это очень сложный объект, и процессы, происходящие в нем, очень сложны. Но модель для него построим очень простую, и с ее помощью узнаем кое-что интересное. Конечно, при этом узнаем о сердце далеко не все, а только кое-что, но важное, интересное и полезное. Исчерпывающая математическая модель для сердца очень сложна, пожалуй, так же, как и оно само. Чтобы жить и работать, сердце затрачивает энергию, и эту энергию оно поставляет себе, работая. Больше можно ничего не знать. Можно знать только это и, построив математическую модель, узнать и понять кое-что неожиданное и нам неизвестное.
О нашем сердце и кровеносной системе написано много книг. Но нам нужно лишь знать, что функционально сердце – это насос, который качает кровь по кровеносным сосудам и капиллярам, питая все органы и ткани тела, в том числе и самого себя. Сердце не может остановиться. Оно должно все время работать и работать столько, сколько это нужно его владельцу. Иначе говоря, владелец, точнее, его нервная система командует, как оно должно работать: сильнее или слабее.
Эту команду представим величиной управления u: чем больше u, тем интенсивнее нервная система приказывает работать сердцу. А сердце как безответный раб: что прикажут, то и делает, не жалея себя и не смея жаловаться. Может только "сломаться", и тогда уже плохо и ему, и хозяину.
Оно может работать – сокращать свои мышцы за счет имеющегося в нем запаса энергии. Эта энергия – химическая – нужна ему и для поддержания своей жизни, жизни своих клеток. Пополняет запас энергии W сердце, так же как и все остальные органы и ткани тела, прокачивая через себя артериaльнyю кровь, богатую кислородом и другими необходимыми веществами. Пусть f – интенсивность затрат энергии сердцем для его работы, а g – интенсивность пополнения запаса его энергии W. Пусть, кроме того, a – интенсивность потребления энергии для поддержания своей собственной жизни, питания его клеток и тканей, когда оно не работает. Очевидно, что скорость изменения энергии W равна
W = – f + g – a |
Интенсивности f и g зависят от u и W. В частности, если W = 0, то f = g = 0. Аналогично f = g = 0 при u = 0. Вместе с тем при каких-то u и W, отличных от нуля, f и g положительны, так как в противном случае наше сердце не могло бы работать.
Согласно формуле, при фиксированной команде управления и в зависимости от знака правой части –f + g – а происходит либо убывание, либо возрастание запаса энергии W. Отобразим этот факт графически на плоскости переменных W и u (рис. 1).
Рис. 1
Ясно, что W и u по смыслу не отрицательны и не превосходят некоторых своих максимальных значений Wmах и Umах, и поэтому точка М с координатами W и u находится в изображенном на рис. 1 прямоугольнике ОАВС. Вершина этого прямоугольника помечена точками О, А, В и С. Где-то внутри этого прямоугольника выражение – f + g – а заведомо положительно. На сторонах ОА и ОС f = g = 0, и поэтому на них и вблизи них W = – f + g – а < 0, так как а > 0.
Естественно считать, что и на стороне СВ W также отрицательно, так как при этом от сердца требуется выполнение максимально возможной работы.
Сказанное отмечено на рис. 1 минусами, которые
означают, что при отвечающих их месту значениях W
и u запас энергии W убывает.
Знаки плюс на рис. 1 указывают на то, что где-то
внутри прямоугольника – f + g – а > 0 и W
растет. Ясно, что в части прямоугольника ОАВС, где
W убывает (стоят знаки минус) и где
возрастает (стоят знаки плюс), разделяются
некоторой кривой 
. Точный вид ее нам
неизвестен, но этого и не требуется.
Изобразим теперь, как перемещается точка М(W, u) при фиксированных u. Это приведет к картинке, показанной на рис. 2.
Рис. 2
В области Г, ограниченной кривой , значение W
возрастает, а вне ее убывает. При работе сердца
точка M(W,u) перемещается внутри
прямоугольника, причем, находясь внутри Г,
смещается вправо, а вне – влево, не выходя,
конечно, за его пределы. Вверх и вниз она
смещается в соответствии с командами u
нервной системы. При длительном постоянстве
u точка М(W,u), находящаяся в области
Г, приходит на часть + границы . При изменении
u точка М(W, u) описывает
некоторую траекторию: при этом изменение u может
быть любым, а изменение W предписывается
уравнением и происходит в соответствии со
стрелками рис. 2. Точка М(W, u) может
двигаться внутри и вне области Г, выходя
из нее при возрастании или убывании и, то есть при
чрезмерно большой или чрезмерно маленькой
команде и, когда сердце форсированно работает
или, наоборот, слишком ослабляет свою работу. И
вот теперь можно заметить, что ни то ни другое не
может быть длительным. Длительное u, близкое
к Umах, или очень маленькое u
приводят к тому, что точка M(W, u), смещаясь
влево, оказывается в области, где W
меньше Wкрит, показанного на рис. 2.
Попав туда, она уже никак не может вернуться в
область Г и фатально попадает на
сторону прямоугольника ОС, где энергия W, истощаясь,
обращается в нуль и остается равной нулю. Проще
говоря, сердце гибнет, так как его тканям и
клеткам нечем поддерживать свою жизнь (W = 0).
Увиденное нами можно трактовать как-то, что мы обнаружили две противоположные возможности возникновения кризисных состояний сердца: одно при слишком длительной интенсивной работе, другое при его длительной слишком слабой работе, вызываемой малостью команды u нервной системы, ее временным упадком. Подчеркнем, что интенсивная работа сердца может происходить не только в силу интенсивной работы человека, но и оттого, что нервная система перевозбуждена и дает большую команду u. Спад сердечной деятельности в нашей модели обязан не неполадкам в нем, а спадом сигнала и нервной системы.
Для того чтобы избежать необратимости гибели сердца, необходимо не допускать того, чтобы W стало меньше Wкрит, Причем в первом и втором случаях угрожающего уменьшения W действия должны быть противоположны. При чрезмерной нагрузке ее следует уменьшить и успокоить нервную систему, то есть добиться уменьшения u. Во втором случае чрезмерного спада деятельности сердца необходимо ее усилить и стимулировать нервную систему на увеличение команды. В одних случаях человек своими сознательными действиями может достигнуть требуемого сам, в других ему нужна помощь посторонних и, возможно, соответственно успокаивающие и возбуждающие лекарственные средства и действия.
Теперь постараемся с помощью той же модели понять, что происходит при детренировке, старении, интоксикациях и других причинах, понижающих коэффициент полезного действия сердца, то есть когда при тех же W, и u полезной работе затраты f становятся больше и питание сердца g – меньше. В результате происходит уменьшение области Г, в частности увеличение Wкрит и увеличение минимальной работы сердца, когда оно сохраняет жизнеспособность. Как это ни парадоксально, но с возрастом и болезнью, когда сердцу бы впору отдохнуть, оно не может этого сделать и должно работать интенсивнее даже без внешних нагрузок. Конечно, одновременно падают и максимально допустимые нагрузки, но это вполне понятно.
Область Г можно назвать областью жизненных возможностей сердца. Детренировка, интоксикация, болезни и старость ее уменьшают. Уменьшение это всестороннее, и поэтому падают как возможности интенсивной работы, так и полноценного отдыха. Уменьшение жизненных возможностей – области Г – облегчает и способствует наступлению сердечных кризов. Для того чтобы их избежать, человек сознательно должен беречь свое сердце, постигая границы его возможностей. Должен осмотрительно, когда это можно, тренировать его, стремясь расширить область жизненных возможностей Г. Это хорошо известно врачам, и они, в частности после тяжелого заболевания, именуемого инфарктом миокарда, назначают выздоравливающему в период реабилитации постепенно возрастающую тренировочную ходьбу по пять и десять километров в день.
Хотелось бы еще добавить, что модель применима не только к сердцу, она значительно шире. Она применима к любому живому существу, которое, для того чтобы жить, должно работать, добывая себе пропитание.
Но моделировать можно не только естественные объекты (человек, Солнечная система, рыночные отношения), но и искусственные, созданные человеком (техническое устройство, научная теория). Для естественных объектов справедливо положение: ни одна модель не представляет объект во всей его полноте. Естественные объекты очень сложны, связи между компонентами часто неизвестны. Поэтому модели естественных объектов всегда проще, чем оригинал. Для конструктивных объектов это положение может быть как справедливым, так и нет. Изучая свойства моделей важно обратить внимание, что основное свойство модели – быть подобной объекту моделирования, а основная характеристика модели – адекватность прототипу. Научиться моделированию, ограничившись только формальным усвоением каких-то правил, невозможно. Не зря говорят об искусстве моделирования, как об искусстве медицинской диагностики, игре на скрипке, рисовании. Но все же этому можно научиться, и основную роль в этом обучении играют показы. Правила правилами, а жизнь многообразнее и необъятнее и тем прекрасна.
Литература:
- Лосев А.Ф. Введение в общую теорию языковых моделей. М.: Едиториал УРСС, 2004.
- Неймарк Ю.Н. Математические модели естествознания и техники. Нижний Новгород: ННГУ, 1994
- У. Эко. Отсутствующая структура. Введение в семиологию. СПб.: Симпозиум, 2004