«Познание есть вечное приближение мышления к объекту. Отражение природы в мысли человека надо понимать не мёртво, не абстрактно, не без движения, не без противоречий, а в вечном процессе движения, возникновения противоречий и разрешения их». (В.И.Ленин)
Искусство – музыка, поэзия, живопись своими средствами как- то отражают окружающий нас мир, пытаясь воссоздать ассоциации, передать его красоту и сложность. Цель искусства – создание эмоциональной атмосферы, которую человек переживает в момент слияния с природой.
Наука намного примитивнее. Она грубо упрощает реальное, выделяя каждый раз только одну ограниченную группу явлений и полностью игнорируя остальные. Цель науки – создание точного и универсального механизма раскрытия сути природных явлений.
Приступая к изучению природного явления на основе глубокого обобщения эксперимента можно выделить, с точки зрения исследователя, исходные определяющие понятия, сформулированные на языке математики, позволяющие точно выявить и описать взаимосвязи данной задачи. После замены «очевидных» свойств, окружающих нас тел и процессов, строгими, но упрощенными по отношению к исходному природному явлению научными формулировками – моделями, удаётся сделать математическое описание точным, но только в строго ограниченной области, где справедливы исходные упрощения, на основе которых модель строилась. По мере уточнения наших знаний и выяснения роли ранее не учитывавшихся факторов удаётся сделать математическое описание изучаемого процесса более полным. Процедуру уточнения нельзя ограничить, как нельзя ограничить развитие самого знания. Естественно, что при более полном описании интересующего нас явления нам приходится привлекать новые средства математического описания, новые понятия, использовать новые формулы.
Модель строится так, чтобы дать ответ на конкретные вопросы. Главное в модели – выбор тех объектов, их свойств и отношений, от которых зависит результат решения одной конкретной задачи. Человек осуществляет этот выбор на основе интуиции, позволяющей посмотреть на задачу извне, частично предугадать результаты её решения. После задания модели, следует важнейшее – интерпретация системы аксиом, то есть сопоставление ее с реальными процессами и явлениями, для описания которых она сформулирована.
Создания математической модели физического явления проходит несколько этапов:
- Построение модели начинается с выбора объектов и существенных свойств, описывающих эти объекты. Эти свойства (характеристики) должны быть записаны на математическом языке в виде определенных переменных величин.
- Следующий этап – выделение рассматриваемого объекта из окружения, которое осуществляется в форме предложения о действующих связях с окружающими объектами (замена силами и потоками действия на него других тел и процессов)
- Если модель строится заново, то необходима рефлексия относительно того, сохраняют ли окружающие понятия и наиболее существенные свойства излучаемого объекта свой привычный смысл в новой постановке задачи или нужные новые уточнения, в том числе и экспериментальные.
- Далее необходимо задать отношения между выбранными переменными с учетом тех требований и ограничений их применения, которые накладывают на них законные сохранения энергии, импульса и так далее. Необходимо выяснить, как именно с учетом вышеприведенных требований к переменным их удобно и нужно применять в данной задаче, какие переменные считать независимыми, а какие зависимыми.
- Следующий этап в построении модели более привычен: задаются определяющие уравнения; выбирается приближение, в котором они записываются; проверяется соответствие переменных и параметров выбранным уравнениям; проводится, если в это есть необходимость, корректировка системы определяющих переменных на основе требований уравнений. С учетом уравнений проверяются границы допустимых численных значений переменных и параметров, удовлетворяющих предпосылкам, лежавшим в основе вывода уравнений. Проверяется, что система уравнений полностью описывает задачу, или, как говорят, замкнута. В соответствии с проведенным в пункте 2 выделением модели из окружения задаются условия на границах и в начальный момент времени.
Перечисленная совокупность шагов определяет процесс создания модели. Но из нее не следует (даже в случае очевидных постановок задач в традиционных областях), что модель для данной задачи будет верна. Только после полного решения задачи, сопоставления результатов со сведениями, выходящими за рамки модели, или с экспериментальными данными, можно утверждать, что модель построена правильно.
Рассмотрим метод моделирования в учебном процессе на простом примере:
А. П. Рымкевич «Сборник задач по физике» Задача №305 (2001 г.): «На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, помещены грузы массами 0,3 и 0,2 кг. С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения шнура во время движения?»
- Объектами данной модели являются оба груза, блок и шнур, перекинутый через блок, к концам которого привязаны грузы. Основными существенными свойствами грузов и определяющих их переменных являются масса m1 и m2, объем V1 и V2. Для нити ее длина L и масса m3, а для блока его радиус R и, конечно, масса m4
- Данная система тел находится на поверхности Земли и поэтому на данные тела оказывает действие Земля и окружающий воздух. Это действие мы трактуем так: на данные тела действует сила тяжести Fт и сила сопротивления воздуха Fc.
- Данная модель является первой, и поэтому этот этап мы исключаем из рассмотрения.
- Сама постановка задачи указывает, что определяющими переменными здесь являются массы грузов m1 = 0,3 кг и m2 = 0,2 кг, а остальные тела и, соответственно, определяющие их переменные не должны играть существенной роли. А на каком основании?
Строить модели и оперировать ими можно как средствами «формульной» математики, так и средствами мысленного экспериментирования – математикой «картинок», требующей ясности мысли и отчёТливости суждений. Для этого надо представить себе тела, которых вообще не существует в реальности и провести над ними эксперимент в уме. Дело в том, что все понятия, являются не эмпирическими, а рациональными, то есть они не берутся нами из чувственного опыта, а являются творческими произведениями человеческого разума. Для того, чтобы ввести их в расчёты, необходимы идеальные представления, например, представления, об идеально гладкой поверхности, идеально круглом шаре и тому подобное.
Такие представления называются идеализациями. Исторически мысленные построения, мысленные эксперименты, как правило, предшествовали формальной логике доказательств и были (и остались) одним из основных средств теоретического рассмотрения обнаруживаемых в природе закономерностей. Значение представления, связанного с проведением мысленного (идеального) эксперимента, хорошо объясняют в своей книге «Эволюция физики» А. Эйнштейн и Л. Инфельд: «Физические понятия суть свободные творения человеческого разума и не однозначно определены внешним миром, как это иногда может показаться. В нашем стремлении понять реальность, мы отчасти подобны человеку, который хочет понять механизм закрытых часов. Он видит циферблат и движущиеся стрелки, даже слышит тиканье, но он не имеет средств открыть их корпус. Если он остроумен, он может нарисовать себе некую картину механизма, которая отвечала бы всему, что он наблюдает, но он никогда не может быть уверен в том, что его картина единственная, которая могла бы объяснить его наблюдения. Он никогда не будет в состоянии сравнить свою картину с реальным механизмом, и он не может даже представить себе возможность или смысл такого сравнения. Но он, конечно, уверен в том, что по мере того, как возрастает его знание, его картина реальности становится всё проще и проще и будет объяснять всё более широкий ряд его чувственных восприятий. Он может также верить в существование идеального предела знаний и в то, что человеческий разум приближает этот предел. Этот идеальный предел он может назвать объективной истиной».
Представление и воображение (создание и использование образов) имеет в науке большое значение, но в оТличие от искусства это не конечная, а промежуточная цель исследования. Главная цель науки – выдвижение гипотез и теория как эмпирически подтверждённая гипотеза.
А теперь вернёмся к задаче с блоками. Ведь на каком-то основании в задаче существенными являются лишь значения масс грузов, а все остальные величины опущены. В этой формулировке задача является явно программированной, то есть достаточно тривиальной. Такой её сделал процесс познания, кропоТливый труд множества учёных. Попробуем восстановить в общих чертах процесс зарождения гипотезы о движении связанных тел через блок. Непременно хочется подчеркнуть, что интерес к этой проблеме рождается не в умах учёных, а идёт от практических потребностей развивающейся промышленности – от практики человеческой деятельности.
Воспользуемся принципом непрерывности «благодаря которому тотчас и с первого взгляда можно выяснить ошибочность многих непоследовательных мнений, даже без детального исследования фактов» (В. Лейбниц).
«Этот принцип может быть сформулирован следующим образом: когда различие между двумя случаями, представляющимися в том, что дано или допускается, может уменьшаться таким образом, что оно становится меньше всякой величины, то необходимо, чтобы и различие между соответствующими случаями, представляющимися в искомых или в выводах, вытекающих из того, что дано или допускается, уменьшалось таким образом, чтобы оно становилось меньше всякой величины. Или, выражаясь яснее: когда случаи (или данные) приближаются друг к другу так, что наконец один переходит в другой, то необходимо, чтобы в соответственных следствиях или выводах (или в искомых) происходило то же самое. Это вытекает из ещё более общего принципа: когда данные следуют одно за другим в определённом порядке, то и искомые следует одно за другим в определённом порядке» (В. Лейбниц).
Итак, когда мы начали строить математическую модель движения связанных тел через блок, мы объектами данной модели, играющими решающую роль, посчитали блок, нить и два груза. Существенными основными свойствами, влияющими на решение задачи, мы так же посчитали их массы, длину нити, радиус блока и объём грузов. Попробуем предугадать ответ и выяснить основные контуры строящейся модели, то есть выбрать из этого набора определяющих, с нашей точки зрения, переменных (масса, объём, длина, радиус) ещё более определяющие, те, которые преимущественно определяют движение грузов на нити, перекинутой через блок:
Картина первая. Если мы на нити укрепим грузы одинаковой массы, то система останется в покое. Что её сделало таковой? Масса грузов. Что является причиной того, что ускорение грузов равняется нулю? И опять ответ тот же - масса грузов, а именно, равенство их масс. Следовательно, если равно нулю следствие (ускорение движения грузов), то должна отсутствовать и причина вызывающая ускоренное движение грузов. А какова же эта причина?
Картина вторая. Теперь мы подвешиваем грузы разной массы, но мало различающиеся по величине. Что мы увидим? Более тяжёлый груз начнёт опускаться, а более лёгкий, увлекаемый им, начнёт подниматься. И чем больше разница масс между ними, тем с большим ускорением начнут двигаться грузы, несмотря на тормозящее действие, более лёгкого груза. Очевидно, что причиной ускорения является разность масс грузов. Но разность каких масс – гравитационных или инертных? (Данное разделение масс ввел ещё И. Ньютон). Причиной того, что грузы начинают двигаться с ускорением является земное притяжение (гравитация). И поэтому мы делаем первый вывод: ускорение движения грузов прямо пропорционально разности гравитационных масс грузов:
a ~ (m1 – m2), так как по условию задачи m1 > m2.
Какова роль в движении грузов инертной массы этих грузов? Чем больше инертная масса грузов, тем труднее изменить их скорость, тем меньше ускорение движения этих грузов, следовательно, мы можем сформулировать второй вывод:
a ~ 1/(m1 + m2)
Как же так? Мы получим явное противоречие: ускорение, одновременно, прямо пропорционально разности масс грузов и обратно пропорционально сумме масс этих же грузов. Но это противоречие кажущееся, потому что мы в каждом из этих случаев имеем дело с разными по определению массами: инертной и гравитационной. И каждая из масс, инертная и гравитационная, одного и того же груза оказывает на характер движения своё, оТличное по содержанию, влияние в каждом конкретном случае.
Полученные выводы не противоречат первому мысленному эксперименту: если гравитационные массы грузов равны, то равна нулю разность их масс:
(m – m) = 0
Следовательно, ускорение движения грузов равно нулю: a = 0. Раз отсутствует причина вызывающая ускоренное движение грузов, то инертная масса грузов обеспечивает их состояние покоя бесконечно долго.
Картина третья. Пусть масса первого груза начнет постепенно, но неудержимо увеличиваться до бесконечности. А это означает одно – действие гравитационной и инертной массы второго груза будет играть всё меньшую роль с ростом гравитационной и инертной массы первого. И в тот момент, когда масса груза станет во много больше массы второго груза, влиянием малого груза на движение можно будет пренебречь. И ничего уже движению первого груза мешать не будет, а оно находится в падении, и в падении свободном. Величина ускорения свободного падения хорошо известна: g = 9,8 м/с2. Но не стоит забывать о роли гравитационной и инертной массы связанных грузов – она растёт.
Попытаемся согласовать результаты всех трёх мысленных экспериментов и попробуем подобрать формулу, которая удовлетворяла бы всем трём результатам.
Так как m1>>m2, следовательно, можно провести некоторые упрощения.
Единственно возможное соединение противоречащих друг другу утверждений, с учетом размерности, входящих в него величин, таково:
a ≈ (m1/m1)g
А если быть более точным и не пренебрегать влиянием на движение малого груза, то:
a ~ ((m1 – m2)/(m1 + m2))g
Даже поверхностный анализ полученной формулы говорит, что она очень хорошо согласуется с результатами всех трёх мысленных экспериментов. Двинемся дальше.
Картина четвёртая. Начнём обратный процесс: будем уменьшать постепенно, но также неотвратимо, массу первого груза до нуля. В этом случае, направление движения грузов поменяется на противоположное. Когда масса первого груза станет во много раз меньше массы второго, то движение второго груза практически не будет оТличаться от свободного падения. Рассуждая по аналогии с третьим мысленным экспериментом, делаем легко предугадываемый вывод:
Т. к. m1 << m2, следовательно
Это возможно лишь в том случае, если
a ~ - (m2/m2)g ~ ((m1 – m2)/(m1 + m2))g
Легко убедиться, что полученный результат удовлетворяет симметрии: от перемены грузов местами результат не изменится. А это хороший знак.
Так или не так рождаются гипотезы в каждом конкретном случае – нам не дано предугадать. Наша цель не в этом. Результатом мысленных экспериментов может быть угадывание формулы – искомого решения, а может формула и не будет угадана, но в любом случае становится понятным, что определяющими движение переменными являются массы грузов. Все остальные величины менее существенны и поэтому могут быть заменены идеальными образами. Подчёркиваю, что это чисто волевой акт, в правомерности которого мы можем убедиться лишь по окончанию решения. Итак, перечислим предпосылки построения модели: нить невесома и нерастяжима, и проскальзывает по блоку без трения; грузы являются материальными точками.
Эти очевидные, на первый взгляд, упрощения дают очень серьёзные следствия. Рассмотрим их:
а) Нерастяжимость нити означает постоянство её длины. Поскольку грузы перемещаются только вертикально (Рис. №1), то разность координат между двумя любыми точками нити, двигающейся вертикально, остаётся постоянной, то есть x2 – x1 = const. Следовательно, любые точки вертикальной части нити относительно друг друга покоятся, что возможно лишь в том случае, если данные точки в любой момент времени имеют одинаковые скорости: V1 =V2 (здесь, и далее жирным шрифтом выделены векторные величины).
Так как скорости любых точек левой или правой вертикальной части нити в начальный момент времени tн равны Vн1 и Vн2 причём, Vн1 =Vн2 а в конечный момент времени tк скорость первой точки Vк1, а скорость второй точки Vк2 и конечно же Vк1=Vк2, то ускорение первой точки равно ускорению второй точки вертикальной части нити. Это вытекает из самого определения ускорения a1 = (Vк1 - Vн1)/Δt; a2 = (Vк2 - Vн2)/Δt, где Δt = tк-tн ; Vн1 = Vн2; Vк1 = Vк2.
Поскольку трение между блоком и нитью отсутствует - неподвижный блок не меняет модуль скорости движения любой точки нерастяжимой нити. Поэтому ускорение любой точки вертикальной части нити одинаково по модулю. Всё это позволяет сделать вывод: ускорение связанных тел и всех точек нити, двигающихся вертикально, одинаковы по модулю, то есть ускорение первого тела равно по модулю ускорению второго тела: a1 = a2.
б) На левую лучевую часть нити действуют силы Т3 и Т4 со стороны первого груза и блока. Согласно второму закону Ньютона, составим уравнение движения левой части нити Т4 + Т3 = mлнaлн, где mлн и aлн соответственно ускорение и масса левой части нити. Так как нить невесома, то есть mлн = 0, тогда Т4 + Т3 = 0. Следовательно Т4 = -Т3. На основании третьего закона Ньютона, с какой силой тело действует на нить или часть нити, с такой же по модулю, но направленной противоположно силой действует нить на тело. Поэтому Т1 = -Т3.
Аналогично рассуждая для правой части нити, мы докажем, что Т6 = -Т5, а Т2 = -Т5. Из всего вышесказанного следует вывод, что натяжение левой вертикальной части нити по всей длине одинаково и ровно Тл. Так же натяжение правой вертикальной части нити по всей длине одинаково и равно Тп.
в) Рассмотрим действие блока на нить (Рис. №2). Выделим участок нити АВ. На данный участок нити действует сила реакции опоры N со стороны блока, сила натяжения со стороны левой вертикальной части нити Тл и сила натяжения со стороны правой вертикальной части нити. Трением мы пренебрегаем. Запишем 2 закон Ньютона для этого участка нити:
N + Tл + Тп = mАВa
так как нить невесома, то mAB = 0. Следовательно
N + Tл + Тп = 0.
Проекция данного уравнения на ось х:
-Tлcosα + Тпcosα = 0
И наконец Tл = Тп.
Следовательно, неподвижный блок лишь меняет направление действия силы натяжения нити, но не изменяет её модуль, поэтому натяжение нити по всей длине одинаково. Окончательный вывод: сила натяжения, действующая на левый и правый груз, одинакова: Т1 = Т2.
г) Так как грузы являются материальными точками, то их размеры при решении задачи не следует учитывать, а сила сопротивления воздуха зависит от площади поперечного сечения тел. Вывод таков – сила сопротивления воздуха Fc действующая как на первое тело, так и на второе тело равна нулю: Fc1=0; Fc2=0. Дальнейшие упрощения невозможны, поэтому на данном этапе основные контуры построения модели завершены. Приступим к ее реализации.
5. Запишем второй закон Ньютона для первого тела и для второго,
- Т1 + Fт2=m1a1 (1 тело)
- Т2 + Fт2=m2a2 (2 тело)
Систему координат выберем так, чтобы ось 0Y была направлена вертикально вверх.
С учетом что Т1 =Т2=Т; и а1=а2=а, спроектировав на ось 0Y все векторы сил и ускорений, составим, согласно второму закону Ньютона, уравнения движения грузов.
Решая эту систему уравнений, найдем, что грузы движутся с ускорением.
а = (m1 – m2)g/(m1 + m2) => a = ((0,3 кг – 0,2 кг)9,8м/с2)/(0,3 кг + 0,2 кг) = 1,96 м/с2
(с таким же ускорением движутся все точки нити).
Сила натяжения нити
T = 2m1m2g/(m1 + m2) => T = (2 * 0,3 кг * 0,2 кг * 9,8 м/с2)/(0,3 кг + 0,2 кг) = 2,352 Н
Проанализируем полученный ответ на соответствие его реальности:
а) если m1 = m2 = m, то система тел будет находиться в равновесии, проверим это:
а = ((m – m)g)/(m + m) = 0
б) если m1 >> m2, то второй груз не будет оказывать практически никакого препятствия падению первого груза, то есть первое тело будет находиться в свободном падении. Проверим это:
а = ((m – m)g)/(m + m) ≈ m1g/m1 ≈ g
Аналогичную картину мы будем наблюдать, если m2 >> m1, только направление ускорения движения тел поменяет направление: a ≈ - g.
На основании вышеприведённого анализа мы можем сделать вывод об удовлетворительности построенной модели для данной задачи.
Создание модели – важнейший этап познания, поскольку, когда она уже создана, нам известно, из каких предпосылок мы выводим следствия. В ходе опытной проверки у нас появляется возможность исследовать соответствие каждой из предпосылок реальности.
В другом конкретном случае, если шнур будет перекинут через массивное маховое колесо, то естественно предположить, что и оно наряду с грузами будет играть существенную роль. В результате потребуется уточнение модели, изменение системы упрощений.
Если возникнет необходимость заменить шнур резиновым жгутом, растяжимостью его уже нельзя будет пренебречь. В этом случае мы будем строить новую модель – вводить новые идеальные образы. Именно содержание проблемы определяет качество и уровень математической модели. Процесс уточнения модели – процесс непрерывный, живой, творческий. Как раз в этом и кроется различие между физическими и математическими моделями.
Математическая модель однозначно определена системой аксиом, лежащей в основе того или иного раздела математической теории, и для каждой задачи эта модель неизменна. Совсем другая картина с физическими моделями. Никто не может утверждать, что, например, система аксиом Ньютона или Эйнштейна полностью исчерпывает суть механических явлений, и что нет еще чего-то пока ускользающего от внимания ученых. Математик имеет дело только с идеальными объектами, а физик с реальными объектами, и степень упрощения (идеализации) в каждом конкретном случае сугубо авторская.