Прямоугольный треугольник в задачах ЕГЭ

Угнивенко Ольга Владимировна

Сформулируем сначала несколько простых, но полезных утверждений

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит этот треугольник на два подобных между собой и подобных исходному треугольнику треугольника.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

Верно и обратное утверждение: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным. Прямым является тот угол, из вершины которого выходит медиана.

Оба утверждения довольно легко доказываются.

Пусть дан треугольник ABC, C=, тогда если A=, то B=.

Рисунок 1

Выберем на гипотенузе АВ точку О так, что ОСА=, ОСВ=90º-, тогда ∆АОС и ∆ОСВ равнобедренные и такие, что АО=ОС=ОВ. Т.е ОС=АВ

Достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.

Рисунок 2

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит СО – медиана и СО=АВ.

Сформулируем еще одну опорную задачу: Пусть СD – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе АВ. Тогда CD²=AD·DB, AC²=AD·AB, BC²=BD·AB. Все эти равенства доказываются из подобия треугольников ACD и BCD (рис 3).

Рисунок 3

Рисунок 4

Пусть R и rсоответственно радиусы описанной и вписанной окружности прямоугольного треугольника, a, b – катеты, с – гипотенуза, справедливы формулы:

R = c

r = (a+b-c) = p-c, где p = (a+b+c),

учитывая теорему Пифагора, получим

r = (a+b-)

R+r = (a+b)

Обобщая выше сказанное имеем: В подобных треугольниках ABC, ACD, BCD имеет место равенство

d+d=d

где d, d, d - сходственные линейные элементы этих треугольников.

Конкретно получим следующие утверждения:

P=P+P

r+r=r, R+R=R,

где r, r, r - радиусы окружностей, вписанных соответственно в ∆ACD, ∆BCD, ∆ABC.

l+l=l, где l, l, l - биссектрисы, проведенные в этих треугольниках из вершин прямых углов.
h+h=h, h, h, h - высоты, опущенные из вершин прямых углов.
r+r+r=h

Серия задач из ЕГЭ 2005 по планиметрии носила такое содержание:

В ∆АВС, С=90º, АС=12, ВС=5, из вершины угла С проведена высота СD, в каждый из треугольников ∆ВСD и ∆DCA вписана окружность. Найдите квадрат расстояния между центрами этих окружностей.

Рисунок 5

В ∆ООО, ОK=r, ОМ=r, OO=r-r, KM=(r+r), по теореме Пифагора ОО=(r+r)²+( r-r)²=2(r+r)=2r по условию известны длины катетов треугольника АВС 12 и 5, тогда гипотенуза равна 13 (5;12:13 – Пифагорова тройка чисел)

r = (a+b-c)=(12+5-13)=2

Следовательно, ОО=2·2=8

Ответ 8.

В прямоугольном треугольнике АВС, С=90º из вершины прямого угла проведена высота CH. Периметры ∆ACH и ∆ABH равны соответственно 3 см и 4 см . Найдите периметр ∆АВС.

Зная, что периметры этих треугольников связаны соотношением

P=P+P

имеем, что P= ==5

P=5 см.

Ответ 5 см.

В треугольнике АВС, С=90º проведена высота СК. Биссектрисы ∆АСК и ∆ВСК проведенные из вершин прямых углов этих треугольников равны соответственно 4 см и 6 см. Найдите квадрат длины биссектрисы ∆АВС проведенной из вершины прямого угла.

l = l+l=4+6=52

Ответ 52.

В треугольнике АВС, С=90º из вершины прямого угла проведена высота CH. В каждый из ∆ACH и ∆BCH вписаны окружности, радиусы которых равны 3 см и 4 см. Найдите квадрат расстояния между центрами окружностей, вписанных в ∆BCH и ∆ABC.

Пусть О, О, О центры окружностей, вписанных соответственно в ∆ABC, ∆ACH и ∆BCH, ОК, ОР и ОМ – соответственно их радиусы, тогда по соотношению r+r=r имеем, что ОК=5, т.к. окружности вписаны в угол СВА, то их центры лежат на биссектрисе угла СВА.

Рисунок 6

Воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

2h=24, h=12, из второго и третьего соотношения имеем

a-a=6
b-b=4

и еще по теореме Пифагора

Найдем стороны ∆ABC а=15, b=20, c=25, a=9, b=16

Т.к. ОК =5, то по свойству касательных проведенных к окружности из одной точки АК=10, ВМ=12.

Треугольники ВОК и ВОМ прямоугольные

ВО====5

ВО====4

=10

Ответ 10.

Правильный двенадцатиугольник вписан в окружность радиуса 7.

Найдите площадь треугольника .

Рисунок 7

∆- прямоугольный, т.к. опирается на диаметр описанной окружности.

по условию.

, т.к. 360º:12=30º.

=2=sin30º==24,5

Ответ 24,5.

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности описанной около треугольника.