Молочный бидон, полностью наполненный молоком, весит 35 кг, а наполненный наполовину такой же бидон весит 18,5 кг. Сколько весит пустой бидон?
Арифметические способы
А)
1. 35-18,5=16,5 (кг)- весит половина молока;
2. 16,5 * 2=33 (кг)- весит всё молоко;
3. 35-33=2 (кг)- весит пустой бидон.
Ответ: 2 кг
Б) 1. 18,5 * 2=37 (кг)- весит всё молоко и два пустых бидона;
2. 37-35=2 (кг)- весит один пустой бидон.
Ответ: 2 кг
Алгебраические способы
А) Пусть х (кг)- весит пустой бидон, тогда
18,5-х (кг)- весит половина молока,
2 * (18,5-х) (кг)- весит всё молоко
или 35-х (кг), следовательно, составим уравнение
2(18,5-х)=35-х
37-2х=35-х
- 2х + х=35-37
- х = -2
х = 2
Ответ: 2 кг
Б) Пусть х (кг)- весит всё молоко, тогда
35-х (кг)- весит пустой бидон
х/2 (кг)=0,5х (кг)- весит половина молока
0,5х + (35-х)=18,5- весит половина молока и бидон
0,5х + 35-х =18,5
-0,5х =18,5-35
-0,5х = -16,5
х = 33
33 кг - весит всё молоко
35-33=2 (кг)- весит пустой бидон
Ответ: 2 кг
В) Пусть х (кг)- весит половина молока, тогда
2х (кг)- весит всё молоко
18,5-х (кг)- весит пустой бидон
2х+(18,5-х) (кг)- весит бидон, полный молока
2х+(18,5-х)=35
2х+18,5-х=35
х=35-18,5
х=16,5
16,5 кг - весит половина молока
18,5-16,5=2 (кг)- весит пустой бидон
Ответ: 2 кг
Задача 2.
Летела стая гусей, ей навстречу один гусь. "Здравствуйте,100 гусей"- говорит гусь. А вожак стаи отвечает: "Нас не 100 гусей. Вот если бы нас было столько, да ещё столько, да половина столька, да четверть столька, да ты бы с нами - вот тогда было бы 100 гусей".
Сколько гусей в стае?
Арифметические способы
А) Примем число гусей в стае за 1.
Тогда 1+1+0,5+0,25=2,75 - составляют 99 гусей, т. е. 100-1=99
Число по его дроби находится делением 99:2,75=36 (г)
Ответ: 36 гусей
Б) Примем число гусей в стае за 100%.
Тогда 100%+100%+50%+25%=275% - составляют 99 гусей
275:100=99:х
х=9900:275
х=36
Ответ: 36 гусей
Алгебраический способ
Пусть в стае х гусей, тогда
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=99:2,75
х=36
Ответ: 36 гусей
Наглядно-графический способ
Число гусей делится на четыре, т. к. в условии задачи упоминается четверть стаи.
Изобразим 100 гусей графически:
Стая
Стая
? стаи
1 гусь
Всего11содержат 99 гусей (100-1=99 (г))
99:11=9 (г)- содержит
В стае
гусей, значит 9*4=36 (г)
Ответ: 36 гусей
Метод рассуждения (направленного перебора)
Число гусей в стае невелико, допустим. 40.
40+40+20+10+1=111 (гусей)- не удовлетворяет условию задачи, значит гусей, действительно, меньше 40.
Число гусей в стае не очень уж мало, допустим, больше 20.
Причём допускаемые нами числа- 40,20 делятся на 4.
20+20+10+5+1=56 (г)- не удовлетворяет условию задачи, значит гусей, действительно, больше 20.
Итак, х- число гусей
20<х<40
Учитывая, что число гусей делится на 4, значит их может быть 24, 28, 32, 36.
Подбором устанавливаем, что число гусей в стае 36.
Ответ: 36 гусей
Задача 3.
Вася и Саша живут в одном доме и учатся в одной школе. Саша идёт до школы 30 минут, а Вася- 20 минут. Саша выходит из дома на 5 минут раньше Васи. В какой момент времени Вася догонит Сашу?
Алгебраические способы
Заметим, что 30:20=1,5- во столько раз время Саши больше времени Васи и во столько же раз скорость Саши меньше скорости Васи.
А) Пусть х (мин)- скорость Саши, тогда
1,5х (м/мин)- скорость Васи
1,5х-х=0,5х (м/мин)- разность скоростей или на 0,5х метров за 1 минуту Вася догоняет Сашу
5х (м)- на столько метров уйдёт вперёд Саша до выхода Васи
(5х):(0,5х)=10 (мин)- за столько времени после своего выхода Вася догонит Сашу
Ответ: Через 10 минут после выхода Васи.
Б) Пусть х (м)- расстояние от дома до школы, тогда
(х:30) (м/мин)- скорость Саши
(х:20) (м/мин)- скорость Васи
(х:20)-(х:30)=(3х-2х):60=(х:60) (м/мин)- разность скоростей
5*(х:30)=(х:6) (м)- пройдёт Саша до выхода Васи
(х:60) : (х:6)=10 (мин)- через столько времени после своего выхода Вася догонит Сашу
Ответ: Через 10 минут после выхода Васи.
Наглядно-графический способ
Скорость Васи больше скорости Саши в 1,5 раза, значит за 5 минут Вася пройдёт путь в 1,5 раза больший, чем Саша за 5 минут.
(___|___) - путь Саши за 5 мин в метрах
(___|___|___) - путь Васи за 5 мин в метрах
5м 5м 5м 5м 5м 5м
(___|___)(___|___)(___|___)(___|___)(___|___)(___|___) - путь Саши за 30 мин, т. е. (5*6)
5м 5м 5м 5м
(___|___|___) (___|___|___) (___|___|___) (___|___|___) - путь Васи за 20 минут, т. е. (5*4)
Из рисунка видно, что на одинаковом расстоянии от дома мальчики окажутся в момент времени 15 минут после выхода Саши или 10 минут после выхода Васи.
Логический способ
Саша шёл от дома до школы 30 минут, выйдя на 5 минут раньше Васи, который шёл от дома до школы 20 минут. Следовательно, Саша выходит из дома на 5 минут раньше Васи и приходит на 5 минут позже. (30-5-20=5)
0_____5_____10_____15_____20_____25_____30 - время Саши (мин)
0_____ 5 _____10_____15_____20 - время Васи (мин)
Из рисунка видно, что Вася догнал Сашу на середине пути, а середина пути - это момент времени через 15 минут после выхода Саши (30:2=15) или через 10 минут после выхода Васи.
Ответ: Через 10 минут после выхода Васи.
Предлагаю ещё несколько задач из тех, которые мы решали на кружке "Юный математик" несколькими способами. (Приложение1)