Элективный курс по теме "Задачи на смеси и сплавы"

Пояснительная записка

Процесс модернизации современной школы и всей системы образования в целом требует перехода от знаниевого подхода в обучении к компетентностному подходу.

Проблема состоит в том, что компетентность приобретается учеником под контролем учителя на уроке, а проявляется в ситуациях, требующих самостоятельных решений, при оценке возможностей и реальности происходящего.

Предлагаемый элективный курс для учащихся 9-х классов, ориентируемых в дальнейшем на химико-математический профиль, посвящен одной из тем математики «Задачи на проценты». В школьном курсе математики рассматриваются простейшие задачи по данной теме, задачам же на смеси и сплавы не уделяется должного внимания. В предлагаемых заданиях на экзаменах в 9-х и 11-х классах присутствует целый блок задач данной тематики.

Курс рассчитан на 8 часов.

Особенностью данного курса является его межпредметная связь с химией, так как тот тип задач, который рассматривается в данном курсе, напрямую связан с химическими процессами.

Цель курса: Научить решать задачи на смеси и сплавы табличным универсальным способом.

Задачи курса:

• Повторение понятия процента и решение задач по теме
• Решение задач на смеси и сплавы табличным способом
• Создание условий для формирования умения самостоятельно решать задачи на смеси и сплавы самого разного типа, содержания и уровня сложности

Прогнозируемые результаты:

Элективный курс предполагает отработать целый блок текстовых задач, предлагаемых в рамках итоговой аттестации учащихся 9-х классов и сдачи ЕГЭ в 11-м классе.

Развитие умения учащихся самостоятельно решать текстовые задачи на смеси и сплавы простейшим табличным способом.

Учебно-тематический план

Занятие 1. (2 часа)

Повторение определения процента. Решение задач на применение данного определения из материалов КИМов ЕГЭ.

• Задача 1: Цену данного товара снизили на 15%, а потом еще на 20%. Найдите общий процент снижения цены.

Решение: Пусть х рублей стоит товар. После первого снижения цена товара стала стоить 0,85х рублей. Второе снижение на 20%: 0,85х*0,2=0,17х. Тогда стоимость товара стала 0,85х – 0,17х = 0,68х. Значит за два снижения стоимость товара уменьшилась на 32%.

Ответ: общий процент снижения цены = 32.

• Задача 2: Сумма двух чисел равна 1100. Найдите наибольшее из них, если 6% одного из них равно 5% другого.

Решение: Пусть первое число равно х, тогда второе равно 1100 – х. Согласно условия составляем уравнение: 0,06х = 0,05(1100 – х). Решая уравнение, получаем:

0,06х = 55 – 0,05х
0,11х = 55

х = 500 первое число. Тогда второе число равно 1100 – 500 = 600.

Ответ: наибольшее из чисел = 600.

• Задача 3: Вкладчик положил в банк деньги под 10%. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После второго начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1% меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?

Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в банк. После первого начисления вклад составил 1,1х рублей. Изъятая сумма составила у рублей, тогда оставшаяся на счету сумма равна 1,1х – у рублей. После второго начисления процентов вклад составляет 1,1(1,1х – у) = 1,21х – 1,1у. Согласно условию задачи получаем уравнение:

1,21х – 1,1у = 0,99х
1,21х – 0,99х = 1,1у
0,22х = 1,1у

у= 0,2х

Значит изъятая сумма составляет 20% от вклада.

Ответ: 20%

• Задача 4: Вкладчик поместил определенную сумму в банке под проценты. После первого начисления процентов он добавил к получившемуся вкладу сумму, равную половине исходной. После второго начисления процентов доход составил 76%. Каков был процент в банке?

Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в банк. Пусть процент вклада в банке составляет у%. После первого начисления вклад составил х+ 0,01ух= х(1+0,01у) рублей.

Добавим сумму равную половине исходной: х(1+0,01у) + 0,5х = х(1,5+0,01у).
Второе начисление процентов: х(1,5+0,01у) +0,01у(х(1,5+0,01у)) = х(1,5+0,01у)(1+0,01у)

Согласно условию задачи получаем уравнение:

х(1,5+0,01у)(1+0,01у) = 1,76х
(1,5+0,01у)(1+0,01у) = 1,76
1,5 + 0,015у + 0,01у + 0,0001у²=1,76
0,0001у² +0,025у -0,26 = 0 *10000
у²+250у -2600 =0
Д= 125² +2600 = 18225 =135
у= -125+135=10%

Ответ: 10%

Задачи для самостоятельного решения:

• Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Ответ: 720 рублей

• Цену товара повысили сначала на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и. наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Ответ: 54%

• Найдите первоначальную сумму вклада в рублях, если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.

Ответ: 5000 рублей

• Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

Ответ: 16%

• По срочному вкладу банк выплачивает 7% за срок хранения . На данный вклад был открыт счет, и после первого начисления процентов к нему была добавлена некоторая сумма. Однако банк понизил ставку до 5% за период хранения, и поэтому после второго начисления процентов доход по вкладу составил 30,2%. Сколько процентов первоначальной суммы было добавлено к вкладу?

Ответ: 17%

Занятие 2. (2 часа)

Решение задач на смеси и сплавы первого типа.

• Задача 1: Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди.

Решение:

6,6 + х = (12+х)*0,6
6,6 + х = 7,2 +0,6х
0,4х = 0,6
х = 1,5 кг

Ответ: 1,5 кг олова нужно добавить

• Задача 2: Морская вода содержит 8% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

Решение:

30*0,08 = (30+х)*0,05
2,4 = 1,5 + 0,05х
0,05х = 0,9
х = 18 кг

Ответ: 18 кг пресной воды

• Задача 3: Из 38 тонн сырья второго сорта, содержащего 25% примесей. После очистки получается 30 тонн сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

Решение:

38*0,25 – 8 = 30*0,01х
9,5 – 8 = 0,3х
0,3х = 1,5
х = 5%

Ответ: 5% примесей

• Задача 4: Определить сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба влажностью 45%?

Решение:

255*0,45 – х = (255-х)*0,15
114,75 – х = 38,25 – 0,15х
х – 0,15х = 114,75 – 38,25
0,85х = 76,5
х = 90 кг воды
255 – 90 = 165 кг сухарей

Ответ: 165 кг сухарей

• Задача 5: Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы из них получить 4,5 кг сухих грибов?

Решение:

(х+4,5)*0,9 = х + 4,5*0,2
0,9х + 4,05 = х + 0,9
х – 0,9х = 4,05 – 0,9
0,1х = 3,15
х = 3,15 : 0,1
х = 31,5 кг воды
31,5 + 4,5 = 36 кг свежих грибов

Ответ: 36 кг свежих грибов

Задачи для самостоятельного решения:

• Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием воды 75%? Ответ: 0.2 тонны
• Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 22 кг свежих? Ответ: 2,5 кг
• Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержат 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60% меди? Ответ: 13.5 кг
• Имеется 200 г сплава, содержащего золото и серебро в отношении 2:3. Сколько граммов серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержит 80% серебра? Ответ: 200 гр
• В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? Ответ: 75%

Занятие 3 (2 часа)

Решение задач на смеси и сплавы второго типа.

• Задача 1: Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый – сорокапроцентный, второй – шестидесятипроцентный. Эти два раствора смешали и добавили 5 кг чистой воды и получили двадцатипроцентный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг восьмидесятипроцентного раствора, то получился бы семидесятипроцентный раствор. Сколько было сорокапроцентного и шестидесятипроцентного растворов?

Решение:

1 способ (относительно воды)

0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)
0,6х + 0,4у + 5*0,2 = 0,3(х + у + 5)

0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)
0,6х + 0,4у + 1 = 0,3(х + у + 5)
4 = 0,5(х + у + 5)
х + у + 5 = 8
0,6х + 0,4у + 5 = 0,8*8
0,6х + 0,4у = 6,4 – 5
0,6х + 0,4у = 1,4
6х + 4у = 14
3х + 2у = 7
2у = 7 – 3х
у = (7 – 3х):2
4 = 0,5(х + (7 – 3х):2 + 5)
8 = х + (7 – 3х):2 + 5
3 = х + (7 – 3х):2
6 = 2х + 7 – 3х
х = 1 кг
у = 2 кг

2 способ (относительно серной кислоты)

0,4х + 0,6у + 0 = 0,2(х + у + 5)
0,4х + 0,6у + 5*0,8 = 0,7(х + у + 5)

0,4х + 0,6у = 0,2(х + у + 5)
0,4х + 0,6у + 4 = 0,7(х + у + 5)

4 = 0,5(х + у + 5)
8 = х + у +5
х + у = 3
у = 3 – х
0,4х + 0,6(3 – х)= 0,2*8
0,4х +1,8 – 0,6х = 1,6
0,2х = 0,2
х = 1 кг
у = 3 – 1 = 2 кг

Ответ: 1 кг сорокапроцентного раствора Н₂SO₄ и 2 кг шестидесятипроцентного раствора Н₂SO₄.

• Задача 2: Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получился бы новый сплав. Содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра?

Решение:

х + х = 0,835(2х – 1845 + х )
х = 0,835(х – 1845)
х = 2505 г серебра
2*2505 – 1845 = 3165 г сплава
3165 г ----- 100%
2505 г ----- у%
у = 79,1%

Ответ: 3165 г сплава, в котором первоначально 79,1% серебра.

• Задача для самостоятельного решения: Некоторое вещество впитывает влагу, увеличивая при этом свою массу. Чтобы впитать 1400 кг влаги, требуется взять нераздробленного вещества на 300 кг больше, чем раздробленного. Сколько процентов от массы вещества составляет масса впитанной влаги в случае раздробленного вещества и в случае нераздробленного вещества, если во втором случае это число процентов на 105 меньше, чем в первом?

Занятие 4 (2 часа)

Зачет. Самостоятельное решение задач.

• Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
• Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
• В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12.5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось еще в руде?
• Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
• Какое количество воды нужно добавить в 1 литр 9% -ного раствора уксуса, чтобы получить 3%-ный раствор?
• К 40% раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальный вес раствора.
• Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 20%. После начисления процентов. Некоторую сумму он изъял. А остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 2% больше исходной суммы вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?
• Приобретя пакет акций, банк рассчитывал получить после их продажи некоторый процент прибыли. Однако так как при установленной банком цене покупателей не нашлось, банк снизил цену на 10%, и поэтому прибыль, полученная банком, составила 17% . какой процент прибыли рассчитывал получить банк?

Литература:

1. Тезисы выступления преподавателя Иркутского педагогического колледжа №1 Г.В.Нагорновой «Решение задач на смеси и сплавы». ИГПУ Тезисы НПК учителей математики 2003г. Иркутск.
2. Копылова Н.П. Решебник «Задачи на смеси и сплавы» 2005г. г.Шелехов.
3. ЕГЭ Математика 2006 г. Москва Просвещение ЭКСМО
4. ЕГЭ Математика 2007 г. Тематические тренировочные задания Москва ЭКСМО