Тип урока: Урок повторения и обобщения материала.
Цели урока:
Образовательная
- создать условия для определения уровня овладения знаниями и способами деятельности;
- создать условия для выработки умений самостоятельно применять знания и осуществлять перенос в новые условия (для отдельных учащихся).
Развивающая
- Создать условия для развития логических операций: сравнения, обобщения, анализа и синтеза при выполнении упражнений;
- Создать условия для развития рефлексивной, технологической, коммуникативной компетентностей;
- Для развития навыков самоконтроля и самооценки;
- Для развития математической речи при объяснении решений.
Воспитательная
- Создать условия для воспитания математической зоркости и внимания при решении задач.
Задачи урока:
- обобщить теоретические знания, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств
- организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.
Формы организации познавательной деятельности:
- фронтальная,
- индивидуальная
Методы:
- личностно-деятельностно-компетентностно-ориентированный,
- поисково-творческий
Оборудование: на столах лежат конверты с карточками для организации самостоятельной работы, которые учащиеся используют на различных этапах урока. Задания для каждой группы учащихся напечатаны на карточках различных цветов: для 1-й группы - зелёные, для 2-й группы - жёлтые, для 3-й - красные.
Ход урока
I этап урока - организационный
Учитель сообщает учащимся тему урока и для каждой группы определяет основную цель:
- для 1-й группы - развить умения решать логарифмические уравнения и неравенства на базовом уровне;
- для 2-й группы - закрепить и развить умения решать логарифмические уравнения и неравенства базового и повышенного уровня сложности;
- для 3-й группы - закрепить умения решать логарифмические уравнения и неравенства повышенного уровня сложности.
II этап урока - повторение теоретического материала по теме.
Учитель. Прежде чем решать логарифмические уравнения и неравенства, необходимо вспомнить теоретический материал, на котором базируется решение логарифмических уравнений и неравенств.
Первый вопрос. Сформулируйте определение логарифма.
(Учащиеся дают определение.)
Определение. Логарифмом положительного
числа b по основанию a, где а> 0, а 
1, называется показатель
степени, в которую надо возвести число а, чтобы
получить b.
Учитель. Для каких значений а это определение имеет смысл?
(Учащиеся поясняют. а> 0, а 1)
Учитель. Перечислите основные свойства логарифмов.
Учащиеся перечисляют свойства логарифмов для
любых положительных а, b,с, а 1, r - любое действительное
число.
log a(bc) = log ab + log ac
log a(b/c) = log abc - log ac
log abr = r log ab
Учитель. Дайте определения логарифмического уравнения и неравенства.
(Учащиеся дают определение.)
Определение. Уравнения и неравенства называются логарифмическими, если они содержат переменную под знаком логарифмической функции.
Учитель. Какие из этих уравнений являются логарифмическими:
1) log 2(х-1) = 2;
2) log 2х = 3;
3) log 2(х-2) = х-8;
4) (х-1)2 = log 22;
5) log 2(х-3) - 6 = log 4(х-3)?
Учитель. Вспомните, какие уравнения называются равносильными.
(Учащиеся могут дать одно из определений, приведённых ниже.)
Определение. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.
Определение. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Учитель. Равносильны ли уравнения:
1) 5х + 6 = 3х - 1 и 2х = 7;
2) (х - 1)(х + 3) = 0 и х2 + 2х - 3 = 0;
3) 5/(х + 5) = 0 и х2 = - 7;
4) 2log 2 х = -2 и log 2х2 = - 2?
{1) Нет; 2) да; 3) да, оба не имеют корней; 4) нет,
второе уравнение - следствие первого, так как первое
имеет корень 0,5, а второе два корня: 0,5 и - 0,5.}
Учитель. Рассмотрим уравнение вида log af(x) = log ag(x). Какие способы решения уравнения такого типа вы знаете?
Учащиеся могут привести два способа решения данного уравнения.
1. Переход к равносильной системе:
2. Решить уравнение f(x) = g(x) и проверить, какой из полученных корней удовлетворяют уравнению log af(x) = log ag(x).
Учитель. Рассмотрите и решите неравенство вида log af(x) > log ag(x), ссылаясь на свойства логарифмической функции.
Предполагаемые ответы учащиеся: при а> 1 неравенство равносильно системе
так как логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастающая.
Учитель обобщает прозвучавшие ответы на случай убывающей логарифмической функции.
При 0< а< 1 неравенство равносильно системе
Учитель. Решите устно уравнения:
1) log 2х = 5;
2) log 3х = 2;
3) log 2(1 - х) = 0;
4) log 3 х2 = 2.
(Учащиеся комментируют решение.)
Учитель. Не решая уравнения, ответьте на вопрос, имеет ли оно корни?
1) log 2(2 - х) + log 2(х - 4) = 0;
2) log 2(4 - х) = log 2(3 - х);
Предполагаемые ответы учащихся:
- первое уравнение не имеет решений, так как корень уравнения должен одновременно удовлетворять двум условиям:
- второе уравнение не имеет решений, так как не имеет решений уравнение 4 - х = 3 - х.
III этап урока - работа в разноуровневых группах
Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений.
1. Решите уравнение log 24 + 2 log 2х = log 2(6х + 18)
Учащиеся могут привести одно из представленных решений:
а) Используя переход к равносильной системе:
Ответ:3
б) Выполняя проверку найденных корней уравнения: 4х2 = 6х + 18, х = -1,5 или х = 3.
Проверка.
х = -1,5, log 24 + 2log 2(-1,5) = log 2(6(-1,5) + 18) - неверно;
х = 3, log 24 + 2log 23 = log 2(6· 3 + 18),
log 236 = log 236 - верно
Ответ:3
2. Решите уравнение log 22х - 3 log 2х = 4
Решение. Пусть log 2х = t. Тогда уравнение имеет вид t2 - 3t = 4, отсюда t = 4 или t = -1.
Тогда log 2х = 4 или log 2х = -1,
х = 16 или х = 0,5
Ответ: 16; 0,5.
Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания (зелёная карточка № 1).
Зелёная карточка № 1
Решите уравнение (1-4).
1. log 2(х + 1) + log 2(х + 3) = 3.
2. log 2(1 - х) = 3 - log 2(3 - х).
3. lg (2х2 - 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).
4. log 22 х - 3 log 2х = 4
(1.1.2.-1.3.3; 4.4. 16;0,5)
В это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.
3. Решите уравнение lg(х + 4) + lg(2х + 3) = lg(1 - 2х).
Решение.
1. Найдём ОДЗ:
2. Преобразуем уравнение к виду:
lg((х + 4)(2х + 3)) = lg(1 - 2х),
2х2 + 13х + 11 = 0, отсюда х1 = -1, х2 = -5,5.
Так как - 1,5< х< 0,5, то х = -5,5 является посторонним корнем.
Ответ: -1.
Учащиеся второй группы приступают к самостоятельному выполнению заданий (жёлтая карточка №1).
Жёлтая карточка № 1
Решите уравнение (1-2).
1. log 4(х2 - 1) - log 4(х -1)2 = log 4│2 - х│.
2. log 2х4 + log 2х2 = 6.
(1.2+
3. 2. -2; 2.)
С учащимися третьей группы учитель рассматривает следующее уравнение:
4. Решите уравнение log 4х2 + log 2(х + 2) = 0
Для решения уравнений, содержащих логарифмы с разными основаниями, используется формула перехода от одного основания к другому: log аb = log cb/log ca.
Решение. Поскольку
log 4х2 = log 2х2 /log 24 = 2 log 2│ х│/2 = log 2│ х│,
то уравнение примет вид:
Осталось рассмотреть два случая:
Ответ: -1; v2 - 1.
Далее учащиеся третьей группы выполняют своё задание самостоятельно (красная карточка № 1).
Красная карточка № 1
Решите уравнение 
(Корней нет)
Учитель проверяет правильность выполнения заданий у учащихся первой и второй групп и если появляется необходимость, корректирует решения.
По завершении проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание.
5. Решите неравенство log 0,5(х + 1) > log 0,5(2 - х).
Решение. Функция у = log 0,5х убывает. Воспользуемся утверждением (2):
Ответ: (-1; 0,5).
Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий (зелёная карточка № 2).
Зелёная карточка № 2
Решите неравенство log 0,2(3х - 5) > log 0,2(х + 1).
(5/3< х< 3)
С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает следующее задание.
Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задания (жёлтая карточка № 2 и красная карточка № 2).
Жёлтая карточка № 2
Решите неравенство log 20,5х< 1
(0,5; 1)
Красная карточка № 2
Решите уравнение lg 2(-х ) + lg х2 - 3 < 0
(-10; -0,0001)
Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задания, учитель проверяет решения учащихся первой группы, комментирует их при необходимости, после чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей групп.
IV этап урока - разноуровневая самостоятельная работа
Учитель предлагает учащимся вынуть из конверта карточки для выполнения самостоятельной работы с номером 3. На её выполнение отводится 20 минут. Вместе с заданиями учащиеся достают из конверта и бланки для выполнения заданий.
Зелёная карточка № 3
Вариант 1
1. Решите уравнения:
а) log 2(х - 5) + log 2(х + 2) = 3;
б) lg (х + 2) = lg5 - lg(х - 2);
в) log 22 х +2 log 2х - 3 = 0.
2. Решите неравенство log 5(2х + 1) 
log 5(х - 1).
Вариант 2
1. Решите уравнения:
а) log 3(х - 2) + log 3(х + 6) = 2;
б) lоg3х - 1 = lоg32 - lоg3(х + 1);
в) log 23х - log 3х = 2.
2. Решите неравенство log 8(5х - 8) < log 8(2х + 7).
Жёлтая карточка № 3
Вариант 1
1. Решите уравнения
а) 2log 7(х - 2) = - 2 + log 7(х - 10)2;
б) log 9х2 (6 + 2х - х2 ) = 0,5.
2. Решите неравенство log 20,2х - 5 log 0,2х < -6.
3. Решите уравнение log х+1(х2 +х - 6)2 = 4.
Вариант 2
1. Решите уравнения
а) log 5(х - 8)2 = 2 + 2 log 5(х - 2);
б) log (х-6)2 (х2 - 5х + 9) = 0,5.
2. Решите неравенство log 20,1х + 3 log 0,1х > 4.
3. Решите уравнение log х-3(х2 - 4х )2 = 4.
Красная карточка № 3
Вариант 1
Решите уравнение log 1-х(3 - х) = log 3-х(1 - х ).
Решите неравенство 1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) < 1.
Решите уравнения lg (2х + х + 4) = х - хlg5.
Вариант 2
Решите уравнение log 2х+1(5+ 8х - 4х2) + log 5-2х(1 + 4х + 4х2)= 4.
Решите неравенство 1/(lоg5(3 - 2х)) - 1/(4 - lоg5(3 - 2 х)) < 0.
Решите уравнения lg (6 * 5х - 25 * 20х )- lg25 = х.
По истечении времени учащиеся сдают работы.
V этап урока - подведение итогов занятия (рефлексия)
Учитель обращает внимание учащихся на теоретические факты и типы уравнений и неравенств, которые вспомнили на уроке.
В качестве домашнего задания учащиеся обмениваются вариантами самостоятельной работы.