Пояснительная записка
Вопрос о функции в школьном курсе математики – это один из тех вопросов, характер изучения которых в значительной степени определяет прикладную направленность этого курса.
Особую роль при рассмотрении свойств функций играет использование графических представлений. Одна из важнейших задач изучения функционального материала состоит в формировании умения «читать» график: находить значение функции по заданному значению аргумента; находить, при каких значениях аргумента функция принимает указанное значение; определять промежутки знакопостоянства, а также промежутки возрастания и убывания функции. При изучении конкретных функций график является опорным для выяснения свойств функции, которые затем доказываются аналитически. В то же время, обращение к аналитическим доказательствам используется для уточнения суждения о виде графика.
Данный элективный курс предназначен для тех, кто не любит действовать по указке. При изучении школьного курса алгебры очень много времени тратится на то, чтобы научиться строить, преобразовывать и читать график функции у = ах2+ bx+c, где a, b и с – числа, а≠ 0. Но этого недостаточно, чтобы решать более сложные задачи.
Темы «Квадратный трехчлен» и «Квадратичная функция» поддерживают изучение основного курса математики и способствуют усвоению базового уровня, ни в коем случае не дублируя его. Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в школьном курсе математики вопросы. Стоит отметить, что навыки в применении квадратного трехчлена необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи ЕГЭ, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на олимпиадах по математике и научно-практических конференциях. Кроме того, углубленное изучение этой темы поможет на уроках физики, т. к. многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией.
В процессе изучения данного курса предполагается использование различных форм и методов организации самостоятельной деятельности учащихся.
Элективный курс рассчитан в основном на сильных учащихся 8-9 классов. Программа предполагает знакомство с теорией и практикой в течение 17 часов.
К каждой теме даны краткие методические рекомендации, основной теоретический материал, опорные задачи, задачи повышенной сложности для работы в классе и дома в достаточном объеме. Элективный курс содержит примерную контрольную работу и дополнительные задания для самостоятельной работы. Программа содержит список рекомендуемой литературы по предложенным темам.
Программа апробирована в 2004-2005 учебном году. Результатом освоения курса представление школьниками творческих работ на итоговом занятии и выступление на
районной научно-практической конференции.
Цели и задачи элективного курса
Каждое занятие, а также весь курс в целом направлен на то, чтобы развить интерес школьников к математике, познакомить их с новыми идеями и методами решения задач, формировать способности учащихся рационально использовать умения и навыки, полученные на уроке; расширить и углубить знания по данной теме, необходимые для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования; формирует ясность и точность мысли, критичность мышления, интуицию, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственные представления, способность к преодолению трудностей; формирует представление об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов; воспитывает отношение к математике как к части общечеловеческой культуры.
Достижение этой цели осуществляется за счет:1) включения задач на построение графиков квадратичной функции, не рассматриваемых
на уроках, в частности, задач с параметрами и задач, содержащих абсолютную
величину;
2) корректировки представлений учащихся о содержании основных понятий, относящихся к этим видам задач;
3) формирования у учащихся знаний о методах и приемах решения этих задач,
способах контроля;
4) приобщения учащихся к работе с математической литературой.
Поставленная перед курсом цель определяет также и характер учебного взаимодействия учителя и учащихся. Учитель должен в первую очередь побуждать учащихся к самостоятельному поиску решения задачи с последующим обсуждением результатов реализации предложений, высказанных учащимися. Учебная деятельность ученика прежде всего должна быть ему посильной, находиться в зоне его ближайшего развития, не подрывать здоровья и служить решению главной цели обучения.
Требования к уровню усвоения учебного материала
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
- некоторые нестандартные приемы решения задач на основе свойств квадратного
трехчлена и графических соображений;
-исследование корней квадратного трехчлена.
Должны уметь:
- уверенно находить корни квадратного трехчлена, выбирая при этом способы рационального решения;
- преобразовывать квадратный трехчлен (разложение на линейные множители,
выделение полного квадрата двучлена);
- уверенно владеть системой определений, теорем, алгоритмов;
- проводить самостоятельное исследование корней квадратного трехчлена;
- решать типовые задачи с параметром, требующие исследования расположения корней
квадратного трехчлена;
- решать неравенства второй степени методом параболы и методом интервалов; системы
и совокупности неравенств;
- выполнять различные преобразования графиков квадратичной функции, определять
свойства функции по графику, применять графические представления при решении
уравнений и неравенств.
Содержание курса
Тема 1. Квадратный трехчлен (3ч)
Определение квадратного трехчлена, корни квадратного трехчлена. Основные
теоремы и их применение для нахождения корней квадратного трехчлена и его разложения
на множители; теоремы, позволяющие определить знак квадратного трехчлена.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители выделением полного
квадрата двучлена и по формуле ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). Исследование корней квадратного трехчлена. Сокращение алгебраических дробей и упрощение выражений, содержащих квадратный трехчлен.
Тема 2. Квадратичная функция (3ч)
Понятие квадратичной функции. Область определения и множество ее значений.
Наибольшее и наименьшее значение функции. Возрастающая и убывающая , четная и нечетная функция. Функция, ограниченная снизу и сверху. Выпуклость (геометрическая интерпретация). Точки максимума и минимума.
Тема 3. График квадратичной функции (3ч)
Определение графика функции y=f(x). График квадратичной функции y=a2+bx+c, где
a, b и с- числа, а≠ 0. Преобразования графика квадратичной функции ( параллельный перенос вдоль оси ОХ, оси ОY; растяжение и сжатие вдоль осей координат; симметричное отражение относительно осей ОХ и ОY. Построение графика функции, содержащей знак модуля. Построение графиков кусочных функций.
Тема 4. Решение уравнений и неравенств второй степени, систем и совокупностей неравенств (3ч)
Решение квадратных и биквадратных уравнений. Составление уравнений по его корням с применением прямой и обратной теоремы Виета. Решение квадратных неравенств методом параболы, методом интервалов. Решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Аналитическое и графическое решение систем уравнений; системы и совокупности неравенств.
Тема 5. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром (4ч)
Решение задач различных типов на квадратичную функцию, квадратных уравнений
и неравенств, содержащих параметр.
Тема 6. Примерная контрольная работа (1ч)
Задания , позволяющие проверить знания, умения и навыки, полученные в результате занятий.
Учебно – тематический план
| №/п | Тема | Содержание курса | Количество часов |
| 1. | Квадратный трехчлен | Понятие квадратного трехчлена. Разложение квадратного трехчлена на множители. Сокращение алгебраических дробей. Упрощение выражений. Исследование квадратного трехчлена. | 3 |
| 2. | Квадратичная функция и ее свойства | Понятие квадратичной функции. Область определения и область значений функции. Наибольшее и наименьшее значение функции; возрастание и убывание функции; нахождение точек максимума и минимума ; исследование на четность-нечетность. | 3 |
| 3. | График квадратичной функции. Преобразования графика | Что такое график функции? Построение графика квадратичной функции. Преобразования графика: параллельный перенос вдоль осей координат; сжатие и растяжение графика; симметрия относительно осей координат. Построение графика по трем точкам. Построение графиков функций, содержащих знак модуля. | 3 |
| 4. | Решение уравнений и неравенств второй степени; систем и совокупностей неравенств. | Решение неравенств второй степени методом параболы, методом интервалов. Системы и совокупности неравенств второй степени и их решение с помощью квадратичной функции. | 3 |
| 5. | Решение уравнений и неравенств с параметром. | Задания различных типов на квадратичную функцию; квадратные уравнения и неравенства с параметром. | 4 |
| 6. | Примерная контрольная работа | Задания на применение знаний, умений и навыков. | 1 |
Литература
- Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе./Л. В.Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.- 2-е изд.-М.: Просвещение, 2007.-191с.:ил.- (Итоговая аттестация).
- Белобров В. Н., Тимофеев А. И., Якир Е. Б. Методическое пособие для поступающих в Вузы. Фрунзе – 1990.
- Галицкий М. Л. И др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов:Учеб. пособие для Учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.-2-е изд. –М.: Просвещение, 1994.-271с.: ил.
- Кожухов С. К., Кожухова С. А. К 58.Уравнения и неравенства с параметром. – Орел: ОИУУ, 2000.-92с.
- Математика. Задачи М. И. Сканави с решениями. Сост. С. М. Марач, П. В. Полуносик- Мн.: Изд.В. М. Скакун, 1997,- 448 с.
- Математика:Лекции, задачи, решения: Уч. пос./В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин и др.; Худ. А. Шуплецов.-Мн.:ООО «Попурри», 1996.- 640с.:ил.
- Начала анализа: Задачник:10-11кл. Учеб. пос. для общеобразовательных учеб.заведений/ В. В. Вавилов, Н. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко.-М.: Дрофа, 1996.-416 с. ил.
- Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Алгебра и начала анализа. Уравнения и Неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов.-М.: Экзамен (Серия «Экзамен), 1998.- 192с.
- Платонова О. А.Учебное пособие по математике для поступающих в вуз. М.: МИИТ, 2004, 276 с.
Темы творческих работ учащихся
- Проект опорных сигналов по способам решения уравнений и неравенств с параметром (презентация).
- Изготовление игры «Математическое лото» по теме «Квадратный трехчлен».
- «Эти красавицы параболы» (преобразование графиков квадратичной функции).
- Презентация творческой работы по теме: «Квадратичная функция».