Урок геометрии в 9-м классе по теме "Скалярное произведение векторов в координатах и его свойства" с использованием мультимедиа технологий

Хафизов Артем Рамильевич

Цели:

сформулировать и доказать теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия;
ознакомить учащихся со свойствами скалярного произведения векторов;
показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.

Материалы и оборудование урока: мультимедиа проектор, слайд-фильм (презентация в PowerPoint), компьютерный класс (желательно).

План проведения урока:

Организация учащихся.
Сообщение новой темы и постановка цели урока.
Математическая разминка:

а)теоретическая разминка;
б)математический тест.

Изложение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Д/з и инструкция к нему.
Подведение итогов урока (сообщение оценок ученикам).

Ход урока

Презентация. Слайд №1

Организация учащихся.

На доске высказывание о математике:

“Измеряй свои желанья, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова”. Пифагор

Взаимное приветствие; выяснение отсутствующих (причины); организация внимания; объявление темы и цели урока.
Напомнить, что бы тетради с выполненным д/з ученики сдали в конце урока.

Постановка цели урока.

Мы продолжаем изучение темы соотношение между сторонами и углами треугольника и сегодня выясним:

как вычисляется скалярное произведение двух векторов, зная координаты этих векторов;
сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

А начнем мы наш урок с теоретической разминки.

Математическая разминка.

Слайд № 2 (Презентация)

1 часть.

Двое учеников проводили исследовательскую работу на доказательство теоремы Пифагора с применением 1) теоремы косинусов и 2) нахождения длины вектора. Пока ученики оформляют доказательство у доски, мы проверим ваши знания, проведем теоретическую разминку (устно).

Вопросы к учащимся:

Сформулируйте теорему синусов (написать формулу на доске).
Сформулируйте теорему косинусов (написать формулу на доске).
Что значит “решить треугольник”?
Какое наименьшее число элементов надо знать, что бы “решить треугольник”?
Сформулируйте определение скалярного произведения векторов (написать формулу на доске).

2 часть.

Называя правильные ответы, мы разгадаем по буквам зашифрованное слово.

Задание

(Презентация) Слайд № 3

Здесь зашифровано имя автора этой красивой теоремы: “Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника”. Этот треугольник носит имя автора. Это имя каждому известно, но не в математики. Математикой этот человек занимался удовольствия ради. Он – автор нескольких теорем и известных занимательных геометрических задач. А свое имя он прославил на весь мир совсем по другому поводу. Итак, давайте попробуем разгадать имя автора этой теоремы (Наполеон Бонапарт).

(Презентация) Слайд № 4

Определите, к какому типу задач “решение треугольника” можно отнести данную модель рисунка:

(появляются модели задач по очереди, варианты ответов внизу под определенной буквой)

Модель 1

Модель 2

Модель 3

Модель 4

Модель 5

Модель 6

п) Решение треугольника по трем сторонам.
л) Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них.
о) Решение треугольника по стороне и углам, один из которых лежит против данной стороны.
н) Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
о) Решение треугольника по трем углам.
е) Решение треугольника не осуществляется.
а) Решение треугольника по стороне и прилежащим углам.

Презентация. Слайд № 5

Результатом скалярного произведения векторов является …

а) вектор.
о) число.
л) градус.

Скалярный квадрат координатного вектора равен:

т) -1.
р) 0.
н) 1.

Презентация. Слайд № 6

После отгаданного слова, можно предложить ученику (или нескольким) по желанию дома провести исследовательскую работу по доказательству Теоремы Наполеона.

Далее ученики приводят доказательство теорем Пифагора. Параллельно на экране

Презентация. Слайд №7 высвечивается доказательство теоремы, которое было применено в 8-м классе.

Тест с последующей взаимопроверкой (Приложение 2)

Время отведенное на выполнение теста – 5 минут (исчезновение фигур Презентация. Слайд № 8)

Учащиеся сначала выставляют себе оценку, потом обмениваются карточками и проверяют ответы друг у друга по ответам, заранее подготовленным на экране в виде следующей таблицы:

Слайд №9

Правильные ответы	Вариант 1	Вариант 2
1	б	в
2	а	а
3	в	в
4	б	б
5	в	б

Выставляют оценку по следующим критериям:

0 ошибок – оценка “5”
1 ошибка – оценка “4”
2 ошибки – оценка “3”
3-5 ошибок – оценка “2”

Карточка для ответов математического теста:

В-____

Работу выполнил Ф.И.___________________

№ вопроса	Ответы	Работу проверил Ф.И.______________	Итоговая оценка (учителя)
1
2
3
4
5
Оценка

Изложение нового материала.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Презентация. Слайд № 10

Теорема

Скалярное произведение векторов выражается формулой

Сравним формулы:

Доказательство этой теоремы можно предложить провести самостоятельно дома 1 ученику (по желанию) и на следующий урок привести его на доске для остальных со всеми выкладками.

Для введения 2 следствий из теоремы можно предложить всем учащимся решить две задачи (1 задача слабым ученикам, 2 – более сильным).

Задача 1.

Известно, что не нулевые векторы перпендикулярны. Найдите .

Дано:

Найти:

Решение: и

Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:

Тогда

Задача 2.

Известно ненулевые векторы и .

Найти .

Дано: ,

Найти:

Решение:

Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:

Из формулы следует:

или Т.к.

и , то

Решив задачи, мы вместе сформулировали следствия 1 и 2.

Презентация. Слайд №11

Прочитать самостоятельно следствия на странице 267.

Далее вводим свойства скалярного произведения векторов через сравнения действий над числами:

Презентация Слайд №12

	Закон	Действия над числами (свойства) a , b и с – любые числа	Действия над векторами (свойства) - любые вектора k – любое число
1	переместительный
2	распределительный
3	сочетательный
4			, причем при

Ученики записывают у себя в тетрадях 4 свойства для векторов.

Замечание

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,

Презентация Слайд №13

Закрепление изученного материала.

Решим задачу № 1044 (а), 1047 (а)

№ 1044 (а)

Ответ: -2,5.

№ 1047 (а)

Ответ: 7,5.

Один из учащихся, решая задачу у доски, комментирует решение вслух; остальные внимательно его слушают, делая при этом записи в тетради, и вносят исправления, если ученик допустил ошибку.