Урок алгебры в 9-м классе "Сумма n-первых членов геометрической прогрессии"

Петухова Гузель Салимьяновна

Цель урока:

вывести формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.
вырабатывать навыки нахождения суммы.
развивать познавательный интерес учащихся.
учить видеть их связь между математикой и окружающей жизнью.

Ход урока.

1. Организационный момент. Объявление цели урока.

2. Повторение ранее изученного:

- Определение геометрической прогрессии, формулы n-го члена геометрической прогрессии.

- Из данных последовательностей 1 варианту выписать в тетрадь арифметическую последовательность и указать разность, а 2 варианту выписать геометрическую прогрессию и указать знаменатель геометрической прогрессии.

2,12,22,32…
5,5,5,…
1,3,9,27,…
1,2,3,4,5….
1,4,9,16,...
-2,-6,-10,…
2,4,8,16,…

Ответы: (1в -1,4,6) (2в – 2,3,7)

- Повторить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

3. Геометрическая прогрессия издавна известна людям, и используется в банковских операциях и различных аферах, финансовых пирамидах.

Исторический материал (Я.И. Перельман «Живая математика»)

Легенда о шахматной доске

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь с ней познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Изобретатель, его звали Сета, явился к торну повелителя. Это был скромно одетый ученый.

- Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру и готов исполнить самое смелое твое желание, сказал царь. Сета молчал.

- Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

- Велика доброта твоя. Но дай срок обдумать ответ.

Когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую 2 пшеничных зерна, за третью – 4, за четвертую – 8 и т.д.

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Слуги вынесут тебе твой мешок пшеницы.

Сета улыбнулся и стал дожидаться у ворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и спросил, забрал ли Cета свою пшеницу. И удивился, что не в его власти исполнять подобные желания. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли.
Так сколько же зерен нужно всего.

Это 18 446 744 073 709 551 615.

Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.
При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, - т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

И если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна. Чтобы отсчитать миллион зерен, ему понадобилось не менее 10 суток неустанного счета, и остаток жизни он посвятил бы отсчитыванию зерен.

Рассмотрим геометрическую прогрессию, которая получилась

1, 2, 4, 8, 16,… . Вычислим сумму 64 членов этой прогрессии.

Знаменатель равен 2, всего 64 члена последовательности, обозначим сумму S

, умножим сумму на 2

, выполним действие:

Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек.

, 1024х1024х1024х1024х1024х1024х64, 1024х1024=1048576

получится число 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615

4. Итак, используя эти действия, выведем формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия.

(1) умножим обе части равенства на q:

(2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1), приведем подобные.

Получили две формулы суммы n-первых членов геом. прогрессии.

5. Закрепление формулы.

Решим еще одну задачу на использование этих формул.

Удивительно как быстро распространяются слухи. Иной раз не пройдет и 2х часов со времени какого-нибудь происшествия, а новость облетела уже весь город. В небольшой городок в 8 часов утра приехал житель столицы и привез всем интересную новость. Он сообщил эту новость только трем местным жителям, это заняло 15 мин.

Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало тоже 15 мин. И т.д.

Получилась геометрическая прогрессия. Первый член равен 1, знаменатель равен 3. Найдем сумму 10 членов этой прогрессии.

Вычислим по другой формуле:

Значит, ранее чем в половине одиннадцатого почти 30 тыс. населения узнает об этой новости.

Рассмотрим еще один пример геометрической прогрессии.

В дореволюционные годы были у нас предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой плохой товар. Начинали с того, что печатали рекламу такого содержания: Велосипед за 10 руб.! Вместо 50 руб. – 10 руб. Условия покупки высылаются бесплатно. Много людей соблазнялись заманчивым предложением. За 10 руб. высылался не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб., собранные 40 руб. надо было отправить фирме, а лишь тогда прибывал велосипед. Покупатель получал право обменять их у фирмы 5 таких же билетов, которые он должен был сбыть по 10 руб. и отправив фирме 50 руб., получить свой велосипед и т.д.. На первый взгляд в этом не было обмана. Обещание рекламного агента исполнялось, велосипед действительно приобретался за 10 руб., да и фирма не оказывалась в убытке,- она получала за свой товар полную стоимость.

«Лавина» или «Снежный ком», так называли эту затею, вовлекала в убыток тех многочисленных ее участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты.

Выпишем несколько членов этой геометрической прогрессии: 4; 20; 100; 500; 2500; 12500; 62500;… Первый член геометрической прогрессии равен 4, знаменатель равен 5.

Найти сумму 6 первых членов этой прогрессии и сравнить с численностью населения нашего района (около 33000 человек, включая младенцев и стариков).

В нашей стране тоже проходили различные финансовые аферы. Например, «денежные игры по почте»: вы получаете письмо, в котором говорится, что если выслать по указанным пяти адресам по одному рублю, а затем разослать еще пятерым такие же письма, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Суть пирамиды в том, что от первых пяти адресатов устроитель получит 5 рублей, от игроков второго круга еще 25 рублей, от игроков третьего круга 125 рублей, после 625 рублей, и, наконец, от 5 круга 3125 рулей. Итого 3900 рублей.

Любая финансовая пирамида обречена на крах. Так как количество вновь прибывающих рано или поздно уменьшается, выплачивать прибыль для «старых» вкладчиков становиться нечем. Структура любой финансовой пирамиды такова, что деньги получает лишь тот, кто эту пирамиду организовал и «запустил в дело».

Сделать выводы об участие в таких сомнительных мероприятиях