Справочный материал по теме "Производная"

Производная

 Правила вычисления производных

Производная сложной функции

Примеры

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 Формулы производных

Геометрический смысл производной

Угловой коэффициент:

Уравнение касательной:

1. 
2. 
3. 
4. 

Физический смысл производной

• 
• 
• 

Геометрический смысл производной

Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке (x₀; f(x₀)) равен производной функции в точке x₀.

A(x0; f(x0)) k = f’(x0) y = kx+ b – уравнение прямой k = tga Уравнение касательной:

Задача 1: Написать уравнение касательной к графику функции в точке

1. Найдём
2. Найдём
3. Найдём
4. Подставим результаты в уравнение касательной:
   

Ответ:

 Геометрический смысл производной

Задача 2: Найти угол наклона касательной к оси OX графика функции в точке

,

Найдём Найдём Найдём Ответ:

 Задача 3: В какой точке графика функции касательная наклонена к оси OX под углом :

,

Найдём Найдем Найдём из уравнения ; Найдём из функции точка Ответ:

Схема исследования функции с помощью производной

1. Область определения функции:

D(f) – значения x, при которых функция существует.

2. Четность или нечетность функции:

Функция четная, если f(-x)=f(x), график симметричен относительно оси OY;
функция нечетная, если f(-x)=-f(x), график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения графика с осями координат:

с осью OY: x=0, находим y;
с осью OX: y=0, находим x;

4. Находим производную f’(x)

5. Находим критические точки функции – точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

f’(x)=0. Строим интервалы. Точки, в которых производная = 0 или не существует, разбивают область определения f(x) на промежутки, в которых f’(x) сохраняет постоянный знак.

6. Находим промежутки возрастания и убывания функции – определяем знак производной в какой-либо точке методом интервалов

если f’(x)>0, то функция возрастает;
если f’(x)<0, то функция убывает;

7. Находим точки экстремума функции – точки максимума и минимума.

если в т. x₀ f’(x) меняет знак с “+” на “-”, то x₀ – точка максимума;
если в т. x₀ f’(x) меняет знак с “-” на “+”, то x₀ – точка минимума;

8. Находим значения функции f(x) в точках экстремума f(x_min) и f(x_max) – экстремумы функции

9. Находим f’’(x)

если f’’(x)>0, то функция вогнутая;
если f’’(x)<0, то функция выпуклая;

10. Находим дополнительные точки для исследования поведения функции при ? и при -?

11. Находим асимптоты функции

12. Строим график.

 Исследование и построение графика функции

1. 
2. 
   функция нечетная, т.е. график симметричен относительно начала координат.
3. Находим точки пересечения с осями координат:

с осью OY:
с осью OX:

 

4.  Находим производную функции:

5. Находим критические точки функции:

6.  Находим промежутки возрастания и убывания функции:

7. Находим точки экстремума функции:

8. Находим значения функции в точках экстремума:

9. Заполняем таблицу:

10.  

11. Строим график

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

1. Найти производную функции:
2. Найти критические точки функции:
3. Проверить принадлежность критических точек
4. Найти значения функции на концах отрезка и в критических точках.
5. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Задача:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке

1. 
2. 

3. 
   

4. 
   
   

5.