Урок алгебры в 9-м классе "Прогрессии. Арифметические прогрессии"

Класс – 9

Тип урока: 

урок постановки учебной задачи.

Форма проведения: 

групповая работа учащихся, дискуссия на заданную тему.

Цель урока:

• используя решение практических задач, «выйти» на частный вид последовательности – прогрессии, рассмотреть свойства арифметической прогрессии;
• продолжить формирование практических навыков;
• дать возможность проявить себя всем ученикам, развить их познавательный интерес;
• учить видеть связь между математикой и окружающим миром.

1. Знать определение числовой последовательности.
2. Уметь задавать последовательность рекуррентным и аналитическим способами.
3. Знать определение среднего арифметического чисел.
4. Уметь находить n-й член последовательности, заданной различными способами.

Знания и умения учащихся на конец урока:

1. Знать определение арифметической прогрессии.
2. Уметь задавать арифметическую прогрессию рекуррентным способом.
3. Знать свойства арифметической прогрессии.

План урока

1. Организационный момент.
2. Повторение основных понятий и определений (математический диктант). Объявление темы урока.
3. Обсуждение домашних задач в группах.
4. Постановка учебной задачи, исследование.
5. Моделирование учебной задачи.
6. Решение частных задач.
7. Итоги урока.
8. Домашнее задание.

1. Организационный момент.

Знакомлю учащихся с планом урока (план записан на доске). Класс разбит на группы: «литераторы», «историки», «биологи», «строители». В каждой группе распределены обязанности: «спикер», секретарь, консультант, группа поддержки.

Тему урока предлагаю назвать детям самим. Для этого проводим следующую работу: задаю вопрос, учащиеся записывают ответ. Из выделенных первых букв каждого слова получится ключевое - основное слово темы урока.

2. Повторение основных понятий и определений.

Математический диктант с последующей проверкой.

1. Как называется функция натурального аргумента? (Последовательность)
2. Способ задания последовательности, который в переводе с латинского означает «возвращение». (Рекуррентный)
3. В функциональной зависимости – множество значений независимой переменной. (Область определения функции)
4. Как называется   часть развёрнутого угла? (Градус)
5. Результат вычитания величин? (Разность)
6. Древнегреческий учёный, создавший руководство по математике под названием «Начала». (Евклид)
7. Как называется отношение(Среднее арифметическое)
8. Числовая последовательность с одинаковыми членами, т.е. y = C. (Стационарная)
9. Явление сохранения скорости телом при компенсации внешних сил. (Инерция)
10. Числовое множество, состоящее из чисел, которые нельзя представить в виде периодических дробей. (Иррациональное)

Учащиеся приходят к теме урока: «Прогрессии».

3. Постановка учебной задачи.

- Что же такое прогрессия? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо проанализировать домашнюю работу (на предыдущем уроке, ребята, разбившись на такие же группы выбрали соответствующую домашнюю задачу).

Идёт обсуждение в группах. На доске краткая запись задач.

От каждой группы выходят «спикеры» и записывают решение, обсуждаем вместе решение задач. Учащиеся, стоящие у доски пробуют затем задать последовательности из домашних задач рекуррентным способом. С остальными учащимися повторяем способы задания последовательностей, их определния.

«Литераторы»

Даны строки из романа А.С. Пушкина «Евгений Онегин»: «… Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились отличить». Чем ямб отличается от хорея, что у них общего с математикой?

Решение: Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный размер с ударениями на чётных слогах стиха. Например, «Мой дядя самых честных правил…». Ударениями являются 2, 4, 6, 8 .. слоги. Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Например, «Буря мглою небо кроет …»

Рекуррентный способ:  a_n = a_n-1 + 2, где n = 2, 3...

«Историки»

Найти задачу – Миф о шахматной доске. Подсчитать количество зёрен.

Решение: …Когда индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной доски Сету, чтобы отблагодарить его, Сета, издеваясь над царём, попросил за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2, за каждую следующую в два раза больше предыдущей. Получилось такое количество на каждой клетке: 1, 2, 4, 8, 16 … Мы не смогли подсчитать сумму, так как это число очень большое.

Рекуррентный способ: a_n = a_n-1 * 2, где n = 2, 3...

«Биологи»

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении 1 минуты одна из них делится на три. Записать колонию, рождённую одной бактерией в течение 4 минут (можно выполнить рисунок)

Решение: 

Получается ряд: 1, 3, 9, 27…

Рекуррентный способ: a_n = a_n-1 * 3, где n = 2, 3...

«Строители»

Вы – учётчик на стройке. Привезли и выгрузили большое количество брёвен строевого леса. Надо определить, сколько брёвен привезли, чтобы закрыть наряд шофёру. Как удобно расположить брёвна, чтобы быстро их сосчитать? (Выполнить рисунок).

Решение:

1. Постановка учебной задачи

   - Как мы видим, все задачи – это реальные ситуации, математические модели которых представляют числовую последовательность. Попробуйте сгруппировать последовательности общие по характеру задания.  

   Идёт обсуждение в группах, дети приходят к выводу – общие по характеру     последовательности у «Литераторов» со «Строителями», у «Историков» с «Биологами».

   Что общего  у этих пар последовательностей?

   Ответ: в одних последовательностях каждый последующий член увеличивается на одно и то же число, а в других -  в одно и то же число раз.

   - В математике такие последовательности называют арифметической и геометрической прогрессиями. Это частные виды последовательностей, которые встречались в задачах ещё во II тыс. до н.э. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление имущества.

   Слово «прогрессия» латинского происхождения, буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс»).

   Остановимся на арифметической прогрессии.

2. Конструирование математической модели.

   1. Задание для групп:
      - Попробуйте сформулировать определение арифметической прогрессии и сконструировать математическую модель – формулу  n-го её члена.

   Идёт обсуждение, дети выдвигают версии, рассматривают их, анализируют и через рекуррентный способ задания прогрессии a_n= a_n-1 + d, где n = 2, 3, 4... , d – разность прогрессии, «приходят» к формуле n-ого члена арифметической прогрессии:

   
   

   2. Задание для групп:

      - Можете ли вы определить, смотря на последовательность, является ли она арифметической прогрессией? Например, среди числовых последовательностей:

      №1.  1,3, 5, 7, 9…;    

      №2.  20, 17, 14, 11,…;

      №3.   8, 8, 8…

       - Если да, то назовите первый член прогрессии и разность.

       - Каким свойством обладает каждая из этих прогрессий?

      Вывод: если d>0, то прогрессия возрастающая, если d<0 – убывающая, d=0 – стационарная.
      

      Для обозначения арифметической прогрессии удобна запись
      

      Чтобы задать прогрессию, надо знать первый её член и разность.

   3. Вывод: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен полусумме соседних с ним членов. Другими словами, если   0, то каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних двух с ним членов (отсюда название прогрессии – арифметическая)

   
3. Тренировочные упражнения.

   (каждой группе даются отдельные задания)

   «Литераторы»

   Дано:  (a_n)

   а)  a₂ = 2, a₃ = 12;  б)  a₃ = 8, a₅ = 2.

   Найти: a₂, a₄.

   «Биологи»

   Вычислите несколько первых членов последовательности  , если y₁ = -3, y_n+1 - y_n = 10.

   «Историки»

   Найдите члены арифметической прогрессии (a_n), обозначенные буквами: a₁; a₂; -19; -11,5; a₅;…

   «Строители»

   Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной стороны?

   (Идёт обсуждение в группах, затем у доски).

4. Итог урока.

   Повторяем определение арифметической прогрессии, формулу её n-го члена,  свойства.

5. Задание на дом.

   1. Найти в сборнике заданий для проведение экзамена задачи на арифметическую прогрессию и попробовать решить часть из них по выбору.

   2. «Историки» накапливают материал по прогрессиям.