Цель урока: обобщить полученные знания по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций».Закрепить навыки построения и чтения графиков тригонометрических функций.
Ход урока
1. Возникновение тригонометрических функций (сообщение учащегося). СЛАЙД 2.
2. А теперь, ребята, повторим свойства известных нам тригонометрических функций.
Назовите мне свойства этой функции Y = sin X (рис. 1). СЛАЙД 3.
Рисунок 1
Свойства:
- D(sin)=R
- E(sin)=[-1;1]
- sin(-x)=-sin, функция нечётная
- Наименьший положительный период: 2π
Sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. - sin x=0 при x=πk, kЄ Z
- sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z
- sin x<0, x Є(π+2πk; 2π+2πk), k Є Z
- Наибольшее значение, равное 1, y=sin x принимает в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z.
- Наименьшее значение, равное -1 y=sin x принимает в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.
Обратите внимание на следующий график y= cos x (рис. 2.) СЛАЙД 4.
Рисунок 2
Свойства:
- D (cos)=R
- E (cos)=[-1;1]
- cos(-x)= cos x, функция чётная
- Наименьший положительный период: 2π
Cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R - cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ
- cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+2πk), k Є Z
- cos x<0, x Є (π/2+2πk; 3π/2+2πk), k Є Z
- Наибольшее значение, равное 1, y=cos x принимает в точках x= 2πk, k Є Z.
- Наименьшее значение, равное -1 y=cos x принимает в точках x=π+ 2πk, k Є Z.
Давайте посмотрим на следующий график функции y=tg x (рис. 3). СЛАЙД 5.
Рисунок 3
Свойства:
- D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=π/2 +πk, k Є Z
- E(y)=(-∞;+ ∞), тангенс-функция неограниченная
- tg(-x)=-tg x, функция нечётная
- наименьший положительный период: π
tg(x+π)= tg x - tgx= 0 при x=πk, k Є Z
- tg x> 0, x Є ( πk; π/2+πk), k Є Z
- tg x< 0, x Є ( -π/2+πk; πk), k Є z
Давайте, ребята, рассмотрим следующий график функции y=ctg x (рис. 4). СЛАЙД 6.
Рисунок 4
Свойства:
- D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=πk, k Є Z
- E(y)= (-∞;+ ∞), котангенс - функция неограниченная
- ctg(-x)=-ctg x, функция нечётная
- Наименьший положительный период: π
ctg(x+π)=tg x - ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z
- ctg x>0, x Є( πk; π/2+πk), k Є Z
- ctg x<0, x Є( - π/2+πk; πk), k Є Z
3. Преобразование графиков тригонометрических функций.
Задание 1.
Построить график функции. Указать наибольшее значение этих функций:
- y= 3+cos x
- y= 2- sin x СЛАЙД 7
Ребята выполняют задания самостоятельно, а ответы сверяем с доской. СЛАЙДЫ 8-9.
График функции y= 3+cos x получаем путём параллельного переноса графика функции y= cos x на вектор (0;3) вдоль оси OY. Наибольшее значение y=4; x=0.
Рисунок 5
График функции y=2- sin x получаем путём параллельного переноса графика функции y= - sin x на вектор (0;2) вдоль оси OY. Наибольшее значение y=3, при x=3π/2.
Рисунок 6
Задание 2.
Построить графики следующих функций. Особенности построения графиков данных функций:
a) y= 3 sin x
б) y= 0,5 cos x
в) y= cos|x|
г) y=|sin x|
д) y=tg x*ctg x
Ребята самостоятельно выполняют задание, а потом сверяют ответы с доской. СЛАЙДЫ 11-15.
А) Особенность построения графика заключается в том, что график получен путём растяжения графика функции y= sin x по оси OY в 3 раза. СЛАЙД 11.
Рисунок 7
Б) Сжатие графика функции y= cos x по оси OY в 2 раза. СЛАЙД 12.
Рисунок 8
В) Так как cos (-x)=cos x, y= cos x -чётная функция, то график функции данной функции тот же, что и график функции y= cos x. СЛАЙД 13.
Рисунок 9
Г) Части графика функции y= sin x, расположенные ниже оси абсцисс, зеркально отразятся и будут расположены в верхней полуплоскости, т.е графиком данной функции является волна, расположенная в верхней полуплоскости вдоль оси OX. СЛАЙД 14.
Рисунок 10
Д) Это прямая y=1, где исключены нули синуса и косинуса. СЛАЙД 15.
Рисунок 11
Задание 3.
Решить графически уравнение sin x= x-π. СЛАЙД 16.
- Построить график функции y= sin x
- Построить график линейной функции y=x-π. Это прямая, проходящая через точки (0; -π) и (π;0)
- Построенные графики пересекаются в точке (π;0). Значит, заданное уравнение имеет корень π- это абсцисса точки пересечения.
Ответ: x=π. СЛАЙД 17.
Задание 4.
Сообщение: Графики тригонометрических функций нашли применение во многих отраслях. Например, в области изобразительного искусства. Обратите внимание на экран. СЛАЙД 18.
Как-то раз итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал розы. Нет, вовсе не те прекрасные растения, которые известны всем. Розы Гвидо Гранди радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертание не каприз природы – они предопределены математическими зависимостями.
Семейство роз Гвидо Гранди описывается графиком функции у = а*sin k , где а и л - некоторые числа. На рисунке изображены эти кривые при различных параметрах k. Очарованный результатами Гранди, немецкий геометр XIX в. Хабенихт также решил заняться математическим: «растениеводством». Хабенихт, путем многочисленных экспериментов «вырастил» замечательные экспонаты. А свои прекрасные цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал её «Цветник роз». В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея под рукой персональный компьютер.
Тригонометрические функции также нашли применение в области физики. Давайте послушаем сообщение, приготовленное учащимся вашего класса. СЛАЙД 19.
Демонстрация на экране колебание маятника, подвешенного на нити.
Рожденный пустыней колеблется звук.
Колеблется синий на нитке паук.
Колеблется воздух, прозрачен и чист.
В сияющих звездах колеблется, лист.
Задание 5.
А теперь, ребята, выполните на компьютере тест по вариантам. Приложение 2. СЛАЙД 20.
Итог урока.
В заключение нашего урока ребята сочинили стихотворение.
Тригонометрия - наша стихия,
В ней знатоки мы лихие
И результаты лучшие дадим.
Так знайте же - синус непобедим.