Учащиеся, приступая к систематическому изучению курса геометрии, уже владеют некоторым запасом геометрических знаний. Знания эти по преимуществу почерпнуты или непосредственно из опыта или восприняты ими интуитивно, путем сопоставления ряда аналогичных или уже знакомых им геометрических фактов.
Преподаватель должен суметь: надлежащим образом использовать накопленные учащимися знания для развертывания перед ними школьного логического курса геометрии, в котором логическое доказательство выдвигается на первое место, приучить учащихся находить новые геометрические факты, подкреплять при рассмотрении отдельных вопросов теоретические выводы иллюстрацией их практической ценности и тем самым находить тесную увязку теории с практикой, использовать явления окружающей действительности, научить учащихся пользоваться учебником, вести четкую конспективную запись, выполнять опрятно и точно чертежи и быть всегда готовыми к ответу – вот ответственная и сложная задача преподавателя, начиная с первых же занятий по геометрии.
В ряде учебников теорема о признаках параллельности двух прямых, пересеченных третьей, доказывается способом от противного. Это доказательство следующее: допустим, что прямые АВ и CD не параллельны. Тогда они могут пересечься или в какой-нибудь точке О, лежащей права от секущей EF, или в какой-нибудь точке О1, лежащей слева от секущей EF. Если АВ и CD пересекутся в точке О, то в полученном треугольнике OMN 
1<2. Однако это противоречит условию, согласно которому 1=2, а потому допущение, что прямые АВ и CD пересекутся в точке О, неверно. Итак, прямые АВ и CD не могут пересечься, следовательно, они параллельны: АВ||CD. К тому же заключению приводит допущение, что прямые АВ и CD пересекутся в некоторой точке О1, слева от секущей EF.
Прямой доказательство данной теоремы, приведенное в учебнике, следует предпочесть доказательствам от противного, изложенным выше, так как метод доказательства от противного всегда представляет для учащихся затруднения, обусловленные тем, что приходится принимать в качестве исходного условия для цепи заключений противоположное тому, что требуется доказать. После проработки теоремы о признаках параллельности двух прямых следует вернуться к задаче на построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой MN. Построение. Через точку А проводится под произвольным углом α к прямой MN секущая EF, и при точке А строится угол, равный углу α, как угол соответственный или внутренний накрест лежащий так, чтобы одна сторона угла совпала с секущей EF. Следует указать, что построение, ранее приведенное и сводящееся к построению двух перпендикуляров к третьей прямой, аналогично последнему построению. Учащимся должны быть даны практические указания о проведении параллельных прямых при помощи линейки и чертежного треугольника.
Указывается, что при параллельном перемещении чертежного треугольника вдоль ребра линейки прямые, проводимые вдоль одного из катетов или гипотенузы чертежного треугольника, образуют вместе с ребром линейки равные соответственные углы, в силу чего проводимые прямые параллельны. Теорема: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы – является теоремой, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых. В учебниках она доказывается методом от противного, и как следствие из нее приведено суждение: прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой.
Можно привести и прямое доказательство указанной теоремы, но тогда необходимо сперва доказать, как следствие из аксиомы о параллельных, что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой. После проработки теоремы, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых, можно вместе с учащимися составить в виде таблицы сводку признаков параллельности прямых. По ходу изложения материала учащимся следует задавать вопросы и простые задачи, содействующие лучшему усвоению нового материала. Например,
- Какие прямые называются параллельными?
- При каком положении секущей равны все углы, образуемые двумя параллельными прямыми и этой секущей?
- Прямая, проведенная в треугольнике параллельно основанию, отсекает от него малый треугольник. Доказать, что отсекаемый треугольник и данный равноугольны.
- Даны две параллельные прямые АВ и CD и секущая EF, пересекающая данные прямые в точках K и L. Проведенные биссектрисы KM и KN углов AKL и BKL отсекают на прямой CD отрезок MN. Найти длину MN, если известно, что отрезок KL секущей, заключенный между параллельными, равен а. Ответ: 2а
Урок 1. Тема: Признаки параллельности прямых (часть 1)
Цель: ввести понятия секущей, внутренних односторонних углов, внутренних накрест лежащих, доказать теоремы 4.1, 4.2, сформулировать теорему 4.3 (без доказательства) (Погорелов А.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. сред. шк. – М.Просвещение, 2003).Ход урока
Изучение нового материала
Если новый материал вмещает много информации, достаточно сложной для восприятия, то начинают урок с нового материала. Учитель на доске вводит новые понятия такие как секущая, внутренние односторонние углы, внутренние разносторонние углы, доказывает теоремы 4.1, 4.2 и формулирует теорему 4.3 (без доказательства). Учащиеся делают опорный конспект в тетрадях.
Решение задач на доске с подробным объяснением
Применение теоремы 4.1 можно продемонстрировать на примере решения следующей задачи.
Задача 1. Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD.
Применение теоремы 4.2. можно продемонстрировать на примере решения следующей задачи.
Задача 2. Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ.
Применение теоремы 4.3. можно продемонстрировать на примере решения следующей задачи.
Задача 3. Прямые АС и ВD параллельны, причем точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС. Докажите, что 1) углы DBC и ACB внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС, 2) луч ВС проходит между сторонами угла АВD, 3) углы САВ и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ.
Решение задач по готовым плакатам
Домашнее задание
Задача 1. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Задача 2. Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых.
Задача 3. Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В1, а стороне АС – точка С1. Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1.
Задача 4. Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен 120°. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Ответ обоснуйте.
Урок 1. Тема: Признаки параллельности прямых (часть 2)
Цель: научить учащихся применять признаки параллельности прямых к решению задач.
Оборудование. Таблицы с рисунками к задачам и короткой записью условия.
Ход урока
І. Актуализация опорных знаний.
Вспомнить признаки равенства треугольников, теоремы про смежные и вертикальные углы, сумму углов треугольника
ІІ. Математический диктант.
Вариант 1
- Две прямые на плоскости называются параллельными, если …
- Прямая называется секущей, если …
- Внутренними накрест лежащими углами при пересечении двух прямых a и b секущей c (см. рис.) являются углы …
Внешними односторонними являются углы … - Признак параллельности двух прямых заключается в следующем: …
- Если две прямые параллельны третьей, то …
Вариант 2
- Две прямые на плоскости называются не параллельными, если …
- Параллельность прямых обозначается …
- Внешними накрест лежащими углами при пересечении двух прямых a и b секущей c (см. рис.) являются углы …
Внутренними односторонними являются углы … - Аксиома параллельных прямых заключается в следующем: …
- Если две прямые параллельны третьей, то …
Решение задач
Найдите пары параллельных прямых (отрезков) и докажите их параллельность.
Разобрав задачу устно, учащиеся записывают ее в тетрадь.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Задача 1. Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Найдите эти углы.
Задача 3. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей равен 72°. Найдите остальные семь углов.
Вариант 2
Задача 2. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150°. Найдите эти углы.Задача 4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Может ли один из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ.
ІІІ. Решение задач
Найдите пары параллельных прямых (отрезков) и докажите их параллельность (Приложение 2)
Выводы
На рассмотренных уроках мы разобрали понятия секущей, внутренних односторонних углов, внутренних накрест лежащих углов, доказание теоремы 4.1, 4.2, формулировку теоремы 4.3 (без доказательства) (Погорелов А.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. сред. шк. – М.Просвещение, 2003) и научили учащихся применять признаки параллельности прямых к решению задач.Список литературы:
- Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.
- Погорелов А.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1997.
- Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна–решения разные.– К.: Рад. шк.,1988.–173 с.
- Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителей. – К.: Рад. шк., 1990. – 128с.
Задачи для решения — Приложение 1, Приложение 2.