Примеры решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Цели урока:

  • проверить, закрепить и проконтролировать знания учащихся по рассматриваемой теме;
  • продолжить развитие умения решать тригонометрические уравнения с применением тригонометрических формул.

ХОД УРОКА

Повторение

Устно: а) Найдите соответствие:

1) cos x = ; A: нет решений;

2) sin x = 1; Б: x = – + n, n є Z;

3) tg x = -1; В: x = ± + 2n, n є Z;

4) cos x = 0; Г: x = (-1) • + n, n є Z;

5) sin x = ; Д: x = + 2n, n є Z;

6) sin x = ; Е: x = + n, n є Z.

б) Какие способы решения тригонометрических уравнений знаем?:

1) введение новой переменной (приведение к квадратному уравнению);

2) разложение на множители;

3) решение однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени.

в) Укажите способ решения уравнения:

1) 2cos x –cosx = 0;

2) 5 sinx + 3sin x • cos x –cosx = 0;

3) 3sin x – cos x = 0;

4) cos x + sin x – 1 = 0.

Опрос у доски

Решите уравнения:

1) 2sin + 5 cos = 4 (введение новой переменной, приведение к квадратному уравнению)

Ответ: ± + 4n, n є Z.

2) 3sin3x + sin3x • cos3x – 2cos3x = 0 | : cos3x 0 , (однородное уравнение  второй степени)

Ответ: – + , m є Z; arctg + , k є Z.

3) cosx = sinx • cosx (разложение на множители)

Ответ: + n, n є Z.

Самостоятельная работа по группам

Каждая группа получает по 2 конверта.

В первом конверте 4 уравнения (по одному на карточке). На обратной стороне карточки записаны ответы к уравнениям.

1 группа.

  1. 5 – 4cos3x = 4sin3x.
  2. sin2x – cosx = 0
  3. sin + 2sin • cos – 3 cos = 0
  4. 3sinx – sinx • cosx = 2

2 группа.

  1. cos2x – 2cos2x – 3 = 0
  2. cosx – 2sinx • cosx = 0
  3. sin – 5sin •  cos + 6cos = 0
  4. 4sinx – 2sinx • cosx = 3.

3 группа.

  1. cos2x – 3 = 7cosx
  2. cos3x + sin3x • cos3x = 0
  3. 2sin – 2,5 • sinx + 3cos = 0
  4. 6• sinx = 4 + sin2x

4 группа.

  1. 2sin3x + cos3x – 1= 0
  2. sin2x – cosx = 0
  3. 2sin – 5sin• cos + 2cos = 0
  4. 4sinx – 2sinx • cosx = 3

5 группа.

  1. cos2x – 2cos2x – 3 = 0
  2. cosx – 2sinx • cosx = 0
  3. sin – 5sin • cos + 6cos = 0
  4. 4sinx – 2sinx • cosx = 3

6 группа.

  1. 5 – 4cos3x = 4sin3x;
  2. sin2x – cosx = 0;
  3. sin + 2sin • cos – 3cos = 0;
  4. 3sinx – sinx•cosx = 2.

В группе обсуждают способ решения каждого уравнения и решают их. На обратной стороне карточки находят нужный ответ. Выставляют себе оценки:

“5” - все решено верно, без ошибок;

“4” - допущена ошибка в ответе;

“3” - неверно найдено значение обратной тригонометрической функции;

“2” - решено неверно.

Определяем, какие оценки поставила себе каждая группа.

Во втором конверте два уравнения, у всех одинаковые:

1) cosx = cos 3x + 2sin2x ;

2) 1 + cos2x + sin2x + sinx + cosx

Первое уравнение решаем с применением формул

cosx = cos 3x + 2sin2x,

cosx – cos3x – 2sin2x = 0.

-2sin2x • sin(-x) – 2sin2x = 0.

2sin2x • sinx - 2sin2x = 0,

2sin2x • (sinx – 1) = 0,

sin2x = 0 или sinx – 1 = 0,

2x = n, n є Z, sinx = 1,

x =, n є Z x = + 2k, k є Z.

Ответ: ; + 2k, n, k є Z.

Решение второго уравнения показывает на доске ученик, который решал это уравнение дома.

1 + cos 2x + sin 2x + sinx + cos x = 0,

(1 + cos2x) + 2 sinx • cosx + (sinx + cosx) = 0,

2cosx + 2sinx • cosx + (sinx + cosx) = 0,

2cosx? (cosx + sinx) + (sinx + cosx) = 0,

(cosx + sinx) • (2cosx + 1) = 0,

cosx + sinx = 0 | : cosx 0 или 2cosx + 1 = 0.

1 + tgx = 0 2cosx = –1,

tgx = –1 cosx = –,

x = – + n, n є Z, x = ± + 2k, k є Z.

Ответ: –. + n; ± + 2k, n, k є Z.

Итог урока.

1) Повторили три основных метода решения тригонометрических уравнений;

2) Увидели, что можно решать уравнения с применением формул тригонометрии.

Существуют еще другие приемы решения тригонометрических уравнений, о которых поговорим на следующих уроках.

Домашнее задание. Решите уравнения:

1) sinx + sin3x = 4cosx,

2) 16sinx – sin2x = 1 – cos2x,

3) 1 – сosx = tgx – sinx.