Показательная функция, 11-й класс

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.

Л. Эйлер

Цели урока

1. Формировать учебную мотивацию.
2. Сформировать знания о показательной функции, ее свойствах и графике.
3. Формировать умение использовать изученный материал в конкретных условиях и новых ситуациях.
4. Автоматизировать вычислительные навыки.
5. Развивать логическое мышление.
6. Развивать способность долгое время работать с информацией, удерживать мысль.
7. Развивать коммуникативные способности.

Ход урока

1. Объявление темы урока, его целей, вводная беседа (5-6 минут).

Ребята, занимаем свои места, приступаем к работе.

Вы знаете, недавно мне в руки попала сенсационная секретная информация. Это был репортаж о запуске космического корабля, не вышедший, к сожалению, в эфир. Послушайте запись этого репортажа.

Звучит магнитная запись (приложение 1).

“22 ноября 2003 года в 10 часов 20 минут по московскому времени с космодрома “Плесецк” стартовал космический корабль “Русь–2”. Цель экспедиции: установить причины отсутствия связи с космической станцией “Русь–1”, работающей на планете Кармен. После стыковки космонавты обнаружили погибший экипаж станции. Капитан корабля, летчик-космонавт Игнатьев решил исследовать биосферу планеты. Исследования показали, что в верхнем слое грунта наблюдается необычайно быстрый рост числа колоний живых организмов (бактерий), что поставило под угрозу жизнь экипажа и грозит катастрофой планете. Как нормализовать ситуацию и предотвратить катастрофу?”

Итак, первая экспедиция погибла от неизвестных бактерий.

Ученые установили, что рост числа бактерий происходил по такой зависимости:

, где – время размножения, – число колоний бактерий (приложение 2,сл №1).

Подсчитайте, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до ). За 3 секунды? (увеличится до ) (слайд №2). Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий.

Я предлагаю вам исследовать эту зависимость. А к проблеме экспедиции мы вернемся в конце урока.

Зависимость между двумя переменными такого типа была замечена не только в процессе роста числа микроорганизмов, но и, например, в спорте – зависимость длины прыжка спортсмена с трамплина от начальной скорости полета, в медицине – способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, в предвыборных кампаниях. В рамках предвыборной кампании каждый кандидат выбирает себе в помощники двух доверенных лиц (слайд №3). Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, проводя агитационную работу, привлекает в команду этого кандидата еще по одному человеку. На следующий день агитационная работа проводится уже командой в 4 человека. Что произойдет с командой кандидата, если эту работу продолжить по той же схеме? Если эту работу продолжить, то команда кандидата будет очень быстро расти.

Для данного вида зависимостей ученые составили следующую математическую модель: (слайд №4).

Что представляет из себя правая часть формулы? (Степень).

Чему равно основание степени? (Основание равно ).

А что такое х? (показатель степени)

Поэтому эту функцию назвали.… Как вы думаете, как? (Показательной функцией) А почему?

Именно потому, что аргумент находится в показателе степени, она носит название показательной функции.

Попробуйте сформулировать тему урока. (“Показательная функция”)

Эта функция обладает одним замечательным свойством: скорость роста пропорциональна значению самой функции. Она как костер, который, чем больше разгорается, тем больше в него надо подкладывать дров.

Изучением этой функции мы и займемся сегодня на уроке.

Что значит “Изучить функцию”? (Дать определение, сформулировать свойства и построить график)

Следовательно, целями урока являются…(сформулировать определение, рассмотреть свойства и построить график показательной функции). А поможет нам в достижении целей – составление опорного конспекта (см. приложение 3), который лежит перед вами на столах (слайд №5).

Запишите тему урока в опорном конспекте.

2. Актуализация прежних знаний (6-8 минут).

Прежде чем говорить о показательной функции и ее свойствах, вспомните план исследования любой функции.

План исследования функции.

1. Область определения функции.
2. Четность (нечетность).
3. Периодичность.
4. Точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства.
5. Производная и критические точки.
6. Монотонность и экстремумы.
7. График функции.
8. Множество значений функции (слайд №6).

Сегодня на уроке мы рассмотрим только некоторые из свойств.

Посмотрите на экран, здесь изображены графики двух функций, для каждой из которых необходимо найти:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) точки пересечения графиков с осями координат;

г) промежутки монотонности;

д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Ребята, работаем с графиком функции (слайд №7).

а) ; б) ; в) ;

г) возрастает на , убывает на и ; д) .

Рассматриваем график функции :

а) ; б) ; в) ;

г) возрастает на ; д) и нет.

1. Изучение нового материала (18 – 20 минут).

Ребята, вернемся к изучаемой нами сегодня функции (слайд №8).

Какое значение может принимать основание ? ( и ).

Найдите значение (–7)^1/2  (не имеет смысла), значит, договариваемся, что берем только положительное, т.е. .

А если ? ()

А ? (не имеет смысла.), т.е. .

Если взять , то…(получаем всегда 1). Рассматривать это значение в данном случае не будем, т.е. .

Итак, при каких же значениях будем рассматривать функцию? ( и ).

Теперь попробуйте сами сформулировать определение показательной функции (Функция вида , где , называется показательной функцией с основанием ) (слайд №9).

Учитель сам проговаривает еще раз.

Запишите определение в опорном конспекте.

Приведите примеры показательных функций: (слайд №10).

Изучили вы много функций:
Квадратичную и линейную,
Степенную и тригонометрические,
А теперь слушайте внимательно:
И тогда признаете обязательно,
Что одна из важнейших – показательная!

Т.к. по определению показательной функции, основание и , то, каким двум промежуткам должно принадлежать значение? ( или .)(слайд №11)

Выбрав из каждого промежутка, например, (из первого промежутка) и (из второго), рассмотрим две показательные функции и .

Построим графики этих функций.

Что нужно сделать для того, чтобы построить график функции?

Найти значения функций в некоторых точках.

Верно, найдем значения функций при .

Первый вариант делает расчеты для функции , а второй вариант – для , а потом проверим.

Зафиксируйте все найденные значения в опорных конспектах. В это время на экране появляются таблицы (слайд №12).

Давайте построим графики этих функций, вы выполняете это задание у себя в конспектах (первый вариант строит график функции , второй вариант – график функции ), а по одному представителю от каждого варианта предлагаю выйти к доске и продемонстрировать построение графиков.

Т.к. (по определению), то функция принимает только положительные значения.

Итак, мы с вами сформулировали определение показательной функции, построили график, исходя из графика, сформулируем свойства функции, и все наши рассуждения зафиксируем в таблице (слайд №13).

1. Какова область определения функции? (Вся числовая прямая, т.е. )
2. Найдите множество значений функции (все положительные числа, т.е. ).
3. Назовите точки пересечения графика с осями координат(с осью Ох точек пересечения нет, с осью Оу точка, т.е. при х=0, у=1).
4. Найдите промежутки монотонности функции (Функция убывает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее области определения соответствует меньшее значение функции, или если , то . Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. если , то ).

Значит, если основание , то показательная функция монотонно убывает на всей области определения, а, если , то монотонно возрастает.

5. Назовите наибольшее и наименьшее значения функции (нет).

Хоть нет названья линии ее,
И нет, как у параболы ветвей,
Но – положительна! И это всем вам видно
И жмется к оси Ох одним концом безобидно,
Вторым концом стремится ввысь!
А, ну-ка, степенная, попробуй, доберись!

Ребята, посмотрите на экран, здесь схематически изображен график показательной функции. (Характерным свойством является то, что график показательной функции с любым основанием проходит через точку (0; 1)) (слайд №14).

Есть точка нуль и единица.
И хоть график функции быстро вверх (вниз) стремится,
В любом он случае через эту точку проходит –
Она все графики в пучок единый сводит!

А свойство монотонности показательной функции используется при решении многих задач.

Например: 1) Сравнить числа, и .

Рассмотрим функцию , т.к. основание , а , то она монотонно убывает, сравниваем показатели: – 2 < 2, значит, .

2) Сравнить числа и .

Т.к. функция возрастает (основание больше единицы) и –2 < 2, то < .

Я предлагаю вам выполнить несколько заданий, чтобы проверить, как вы усвоили новый материал.

1. Обучающая самостоятельная работа (4 минуты).

На листочках заранее написаны задания самостоятельной работы (см. приложение 4), необходимо только указать ответ, время для работы 4 минуты.

По истечении указанного времени:

Ребята, обменяйтесь листочками, проверьте правильность выполнения работы с помощью слайда, учитывая критерии, оцените работу товарища (правильные ответы проецируются на экран) (слайд №15).

После взаимопроверки, ученики возвращают свои работы. Кто получил сегодня “5”, “4”, “3”? Итак, “5” получили… человек, “4” – …, “3” – … Молодцы!!!

Я проанализирую ваши решения, и на следующем уроке объявлю вам результаты.

Что нового вы сегодня узнали на уроке? (дали определение, сформулировали свойства и построили график показательной функции.)

Достигли ли мы поставленных целей (слайд №15)?

Ребята, вернемся к той проблеме, с которой мы начали урок. Скорее всего, космонавты второй экспедиции смогли без риска для жизни выполнить намеченную работу и вернуться на Землю, только применяя все полученные знания о показательной функции.

Кто сегодня хорошо поработал? Кого мы можем отметить? Как каждый из вас оценивает свою работу?

2. Подведение итогов. Задание на дом (1-2 минуты).

Запишите домашнее задание: § 10, п. 35 (стр. 216 – 219), опорный конспект, пример.

К следующему уроку попытайтесь найти пример применения показательной функции в окружающей нас жизни, а возможно, и составить функциональную зависимость, описывающую этот пример.

Искренне благодарю вас за урок (звучит песня “Школьный роман” в исполнении Н. Штурм).

Дополнительно: Задача. Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса 8 г ? ( радиоактивный распад описывается формулой , где Т – период полураспада, т.е. промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).

Решение.

1. Т.к. в году 365 дней, то t=365*10=3650 (дней). 2) По условию Т=140 суток, значит . 3) Т.к. начальная масса плутония

= 8 г, то

(г).

Ответ: через 10 лет плутония останется г.