Урок по алгебре "Иррациональные уравнения"

Цели:

• Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений.
• Развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес.
• Содействовать формированию мировоззренческих понятий.

Оформление:

• на доске плакат:

План урока:

1. Организационный момент
2. Логика
3. Изучение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Задание на дом, подведение итогов урока

• Высказывание: “Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические Сезамы”
• Вопрос: Подумайте, какой шаг в решении уравнения приводит к появлению лишних корней.

ХОД УРОКА

Презентация

1. Организация и начало урока

Здравствуйте, садитесь поудобнее.
Начинаем мы считать
Бегать, прыгать мы не будем
Будем весь урок решать.

Надеюсь , что настрой на урок у вас серьезный , желаю вам высоких результатов.

2. Постановка целей и задач урока, принятие их учащимися

Чтобы ответить на поставленный вопрос учащимся предлагается софизм.

Софизм – доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V веков до нашей эры, достигших большого искусства в логике.

Где допущена ошибка в следующей цепочке равенств?

16 – 36 = 25 – 45,
16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25,
(4 – 4,5)² = (5 – 4,5)²,
4 – 4,5 = 5 – 4,5,
4 = 5,
2 ^. 2 = 5.

(Если квадраты двух выражений равны, то их основания либо равны между собой, либо противоположны.)

3. Изучение нового материала.

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Устно: какие из следующих уравнений являются иррациональными:

1. x + = 2,
2.  = 11 + x,
3. 
4.  = 3,
5. y² – = 4.

Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем.
И засуху предсказывал, и ливни –
Поистине его познания сильны.

( Гомер)

^{- 6 = 2 ,   , - 4 = 7 ,   ,} 

4. Алгоритм решения уравнений

1. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.
2. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
3. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений неизвестного и используя равносильные переходы.

Является ли число x₀ корнем уравнения:

Решим уравнение:

возведем обе части уравнения в квадрат:

x + 2 = x²,
x² – x – 2 = 0,
x₁ = – 1,
x₂ = 2.

Проверка:

1. x = –1, тогда 1 = – 1 ложно;
2. x = 2, тогда 2 = 2 верно.

Ответ: x = 2;

Решим уравнение: +1 – 2x = 0

= 2x – 1,
x² + 5x + 1 = (2x – 1)²
x² + 5x + 4 = 4x² – 4x + 1,
x (x – 3) = 0,
x₁ = 0,
x₂ = 3.

x₁ = 0, то + 1 – 2 ^. 0 =/= 0, значит, x₁ = 0, не удовлетворяет уравнению.
x₂ = 3, тогда +1 – 2 ^. 3 = 0, значит x₂ = 3 корень уравнения.

Ответ: x = 3.

Решение: возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

2x – 3 = x – 2, x = 1.

Проверка: – обе части уравнения не имеют смысла

Ответ: корней нет.

Решение: поскольку корни арифметические, то левая часть уравнения неотрицательна, а правая отрицательна, значит, уравнение решений не имеет.

Ответ: уравнение решений не имеет.

История иррациональных чисел относится к удивительному открытию пифагорейцев. А началось это с простого вопроса, связанного с вычислением диагонали квадрата, сторона которого равна 1. (Подробно расскажет Катя П. )

5. Закрепление изученного материала.

• № 1673 (а, б); выполняем самостоятельно
• № 1674 (а; б); I в. а)
• № 1696 (а; б). II в. б ) / проверяем по решению на доске.*

VI. Задание на дом.

• № 1673 (в, г );
• № 1674 (в; г);
• № 1691

7. Подведение итогов урока.

Учащиеся заполняют оценочный лист.

Спасибо за урок. Успешного следующего урока.

Презентация

Алгебра и начала анализа 10-11 / А.Г.Мордкович