Урок геометрии в 8-м классе по теме "Определение подобных треугольников"

Задачи:

• раскрыть понятие подобных треугольников,
• установить взаимосвязь подобия с пропорциональностью отрезков и подобных треугольников,
• выработать умения применять определение и признаки подобия треугольников в процессе доказательства теорем и решения задач.

Цели урока:

1. Ввести понятие пропорциональных отрезков и подобных треугольников.
2. Рассмотреть свойство биссектрисы треугольника и показать его применение в процессе решения задач.
3. Развивать исследовательские навыки, способствовать осознанию изучаемого материала.

Учебник. “Геометрия 7-9 кл”. Под редакцией Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.

Ход урока

I. Постановка проблемы

Учитель. Предлагаю проблемную задачу классу:

Человек может прожить без пищи несколько недель, без воды несколько дней, а без кислорода не больше 3-4 минут. Почему?

(Ответ. Потому, что в организме нет запаса кислорода).

Учитель. Каковы отношения организма человека и внешней среды?

.(Ответ. Из внешней среды поступает постоянно кислород.)

Учитель. Поговорка “Это нам нужно как воздух!” выражает особую потребность организма в воздухе. Сопоставить с данной поговоркой и выразить значение понятия подобия для планиметрии.

(Ответ: “Понятие подобия нужно как воздух планиметрии!”)

Учитель. Давайте выясним почему и установим его отношения с другими понятиями?

II. Актуализация опорных знаний.

Учитель.

- Что называют отношением двух чисел?

- Что показывает отношение?

- Отношение АВ и СD равно 2 : 7. О чем это говорит?

- Найдите отношение СD к АВ.

- В треугольнике АВС АВ : ВС : АС = 2 : 4 : 3, Р_АВС = 45 дм.

Найдите стороны треугольника АВС.

- Что называют пропорцией?

Верны ли пропорции 1,5 : 1,8 = 25 : 30; 18 : 3 = 5 : 30?

- В пропорции a : b = с : d укажите крайние и средние члены.

Сформулируйте основное свойство пропорции.

- Переставив средние и крайние члены пропорции, составьте три верные пропорции:

а) 12 : 0,2 = 30 : 0,5

б) АВ : МN = СD : КР

- Найдите неизвестный член пропорции

а) 7х : 4,2 = 12,3 : 6;

б) х : АВ = MN : KP.

III. Изучение нового материала.

Учитель. Нам, ребята, необходимо вывести понятие отношения отрезков.

Давайте проведем исследования и установим связь между отношением чисел и отрезков. Существует ли она?

Перед уроком было опрошено 76 учащихся 8 – х классов. 80 % учащихся считают, что связь между отношением чисел и отрезков существует. Почему?

(Ответ. Любой отрезок имеет длину. Длина выражается положительным числом. Отношение отрезков это отношение их длин, т.е. отношение чисел.)

Учитель. В таком случае как можно дать определение?

(Ответ. Определение может быть таким: Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т.е. АВ : CD)

Учитель. Могут ли отношения длин отрезков быть равными?

(Ответ. Могут).

Учитель. В этом случае отрезки называются пропорциональными.

Давайте попробуем дать определение пропорциональных отрезков.

(Ответ. Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁, если .)

Учитель. Молодцы!

Например.

Если АВ = 5 см, СD = 7см; А₁В₁ = 7,5 см, С₁D₁ = 10,5 см, то АВ : А₁В₁ = СD : C₁D₁, т.е. отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁.

Чему равно отношение отрезков?

Отрезки АВ, СD, MN пропорциональны отрезкам А₁В₁, С₁D₁ и M₁N₁. Найдите С₁D₁ и MN, если АВ = 5 см, А₁В₁ = 20 см, СD = 6 см, M₁N₁ = 8 см.

Учитель. Попробуем вывести главное понятие урока – понятие подобных фигур. К моменту изучения темы вы знакомы с реальными предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах: географические карты, модели автомобилей, два круга, два квадрата, два мяча разных размеров, изображения на кинопленке и на экране, на фотопленке и т.д.

Введем понятие подобных треугольников:

Определение: два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Записывают: , если = А₁, В = В₁, С = С₁, k, k – коэффициент подобия.

Стороны АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ называют сходственными.

Из книги рекордов Гиннеса: Самое большое расстояние. При тихой погоде вне помещения обычный человеческий голос слышен на расстоянии 180 м. Зарегистрирован случай, когда человеческий голос можно различить на расстоянии 8 км при особых условиях ночью над тихой водой на расстоянии 17 км. Найти отношение обычного человеческого голоса к зарегистрированному случаю?

IV. Закрепление изученного материала.

1. Работа в рабочих тетрадях: решить задачи № 51, 52.

Задание учащимся: заполнить пропуски в тетради.

Учащиеся по указанию учителя читают по одному предложению, исправляя имеющиеся ошибки. Если кто – то допустил ошибку, то другие ее исправляют.

Таким же образом решают задачу № 52.

2. Решение задачи № 535.

Прочитать самостоятельно задачу и ее решение. Вызывается к доске один из наиболее подготовленных учащихся и решает задачу самостоятельно (без помощи учебника, выполнив рисунок и записывая краткое решение). Остальные учащиеся работают в тетрадях.

Вопросы, контролирующие глубину усвоения доказательства:

- Почему ?

- Сформулируйте теорему, на основании которой если 1 = 2, то .

- Поясните, на каком основании из равенства следует равенство .

3. Решить на доске и в тетрадях учащихся задачи № 536 (б), 541.

Один из учащихся решает задачу № 536 (б) на доске, остальные в тетрадях. Отвечать на наводящие вопросы имеет право любой ученик.

Таким же образом решается задача № 541.

Задача № 536 (б).

Решение. Так как С = ВDС, то ВDC равнобедренный с основанием СD, следовательно, ВС = ВD = 16. Так как ВD – биссектриса АВС, то , значит DС = .

Ответ: 10.

Наводящие вопросы.

- Как биссектриса треугольника делит противолежащую сторону?

- Длину какого отрезка необходимо найти для нахождения отрезка СD ?

- Как можно вычислить длину отрезка ВС?

Задача 541.

Решение. В треугольнике А = 106⁰, В = 34 ⁰, значит С = 180⁰ - (А + В) = 180⁰ – 140⁰ = 40⁰.

В треугольнике DEF E = 106⁰, F = 40⁰. Отсюда D = 180⁰ – (Е + F) = 180⁰ – 146⁰ = 34⁰.

По определению подобных треугольников в треугольниках АВС и DEF:

А = Е = 106⁰, В =D = 34⁰.

C = F = 40⁰, ВС : DF = 7,6 : 22,8 = 1 : 3.

АС : ЕF = 4,4 : 13,2 = 1 : 3;

АВ : DE = 5,2 : 15,6 = 1 : 3, значит треугольники АВС и DEF подобны.

Ответ: АВС подобен DEF.

Наводящие вопросы:

- Когда два треугольника подобны?

- Равны ли углы этих треугольников?

- пропорциональны ли сходственные стороны данных треугольников?

- Подобны ли АВС и EDF?

Итак нужно ли понятие подобия планиметрии?

Ответ: да. Оно связано с понятиями пропорциональность отрезков, отношение отрезков, отношение чисел, пропорцией.

Применяется для решения многих задач, имеет большое применение в геометрии.

Учитель: Да, это понятие имеет большое применение в планиметрии и в этом вы убедитесь на последующих уроках.

V. Самостоятельная работа.

Решить самостоятельно задачи № 534(в), 537 по выбору.

Задача № 534(в)

Краткое решение: АВ : ММ₁ = 9 : 1, ВD : М₁М₂ = 9 : 2 = 4,5; 9 4,5. Значит, отрезки АВ и ВD не пропорциональны отрезкам ММ₁ и М₁М₂.

Задача № 537.

Краткое решение.

АD – биссектриса АВС, значит, значит СD = D.

СD + DВ = ВС, значит СD + ВD = ВD + ВD = 20, значит ВD = 8 (см)

Значит DC = 20 – 8 = 12 (см).

Ответ: ВD = 8 см, DC = 12 см.

По окончании проводится взаимопроверка.

VI. Рефлексия.

Выбрать карточку по цвету и оценить свою работу на уроке:

Карточка красного цвета – заслуживаю высокой оценки;

Карточка желтого цвета – заслуживаю хорошей оценки;

Карточка зеленого цвета – заслуживаю удовлетворительной оценки

Карточка черного цвета – заслуживаю неудовлетворительной оценки.

VII. Домашнее задание.

П. 56, 57, вопросы 1,2,3.

Решить задачи № 534 (а,б), 536 (а),

Решить задачи по желанию и выбору: №538, 542.