Обучение математике в средней школе предполагает, во-первых, прочное овладение учащимися необходимым минимумом математических знаний, умений и навыков, во-вторых, развитие математического мышления учащихся, их кругозора. Решение второй задачи немыслимо без более детального изучения математики, в том числе и через курсы по выбору.
Главная цель курсов по выбору по математике – углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к математике, развитие математических способностей школьников, привитие им интереса к самостоятельным занятиям математикой. Курсы по выбору являются одной из форм дифференцированного обучения, учитывающей индивидуальные склонности и способности учащихся.
В семидесятые годы ХIX века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших при этом проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Это понятие, введенное в достаточно узкой области математики для довольно специальных целей, вскоре стало с успехом применяться в других ее областях. Посвященные ему исследования приобрели самостоятельный интерес и выделились в особый раздел математики – теорию множеств.
В современной математике понятие множества является одним из наиболее общих и важных. Так или иначе, с него начинается изложение традиционных математических дисциплин и построение новых математических теорий, возникающих по мере того, как расширяется сфера применения математики.
Наряду с понятием множества одним из основных является и понятие отношения, лежащее в основе многих основных понятий современной математики, изучающей не столько объекты исследования, сколько структуру отношений между ними. Особую роль в математике играют такие виды отношений, как отношения эквивалентности и порядка. На понятие отношения опирается и понятие функции, являющееся центральным в школьном курсе математики.
Авторами разработана программа курса по выбору “Множества и операции над ними” для учащихся 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования с 12-летним сроком обучения Республики Беларусь.
Цели и задачи курса по выбору:
дать учащимся знание простейших элементов теории множеств и отношений, пронизывающих весь школьный курс математики;
сформировать у них умения свободно ими оперировать;
вклад средствами математики в интеллектуальное развитие личности и ее воспитание.
Программа курса по выбору “Множества и операции над ними” рассчитана на 34 часа (1 час в неделю).
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Множество
Понятия множества и элемента множества. Конечное и бесконечное множества. Пустое множество. Способы задания множества. Подмножество. Число подмножеств конечного множества. Равенство множеств. Диаграммы Эйлера-Венна. Объединение и пересечение множеств. Разность множеств. Универсальное множество. Дополнение множества. Разбиение множества на классы. Задачи, связанные с операциями над конечными множествами.
Декартово произведение множеств
Декартово произведение множеств. Изображение декартового произведения двух числовых множеств на координатной плоскости. Задачи, связанные с декартовым произведением конечных множеств. Понятие комбинаторной задачи. Общие правила комбинаторики.
Бинарное отношение
Понятие бинарного отношения между элементами одного множества. Граф отношения. Обратное отношение Способы задания бинарных отношений. Важнейшие свойства бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность). Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка.
Соответствие между множествами
Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий. Соответствие, обратное данному. Противоположные соответствия. Отображения множеств. Взаимно однозначные соответствия. Равномощность множеств. Представление о счетном множестве и множестве мощности континуума. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел. Парадоксы теории множеств.
Оидаемые результаты
В результате изучения данного курса по выбору учащиеся должны знать:
- определения и свойства теоретико-множественных операций над множествами и отношений между множествами;
- правила суммы и произведения при решении комбинаторных задач;
- определения свойств отношений на множестве, отношений эквивалентности и порядка, основные отношения школьного курса математики;
- определение соответствия между множествами и взаимно однозначного соответствия.
В результате изучения данного курса по выбору учащиеся должны уметь:
- выполнять операции над множествами;
- решать простейшие комбинаторные задачи;
- распознавать взаимно однозначные соответствия;
- устанавливать способ задания конкретного отношения, формулировать его свойства, распознавать отношения эквивалентности и порядка.
Рекомендуемые формы и методы проведения занятий
Уровень строгости изложения определяется с учетом возрастных возможностей учащихся.
Содержание программы курса “Множества и операции над ними” ориентирует на то, чтобы общие понятия теории множеств и отношений возникали из рассмотрения конкретных примеров.
Занятия могут быть построены следующим образом: сначала дается необходимый теоретический материал, затем рассматриваются соответствующие примеры и задачи и, наконец, где это возможно учащиеся должны опознать материал, уже известный им. Например, понятие отношения (особенно отношение эквивалентности) довольно полно раскрывается в курсе геометрии: отношение равенства фигур, подобия и гомотетии, сонаправленности лучей, параллельности прямых. Но самое главное свое воплощение идея отношения получила в понятии функции. Все виды числовых функций в курсе алгебры – это отношения на числовых множествах, все виды преобразований плоскости и пространства в курсе геометрии – это тоже отношения. Если учащиеся на занятиях увидят это, то цель курса по выбору будет достигнута.
Опыт работы свидетельствует, что особые затруднения у школьников возникают при изучении темы “Отношения” предлагаемого курса по выбору.
Изучение этой темы проводится по следующему плану.
- Определение бинарного отношения. Область определения и область значений. (Изучение этих вопросов сопровождается многочисленными примерами отношений между людьми, геометрическими образами, числами и другими объектами.)
- Рефлексивные, симметричные, антисимметричные, транзитивные отношения. Отношения эквивалентности, порядка. Функциональные отношения.
Изучение отдельных видов отношений мы осуществляем с помощью упражнений следующего типа.
- Привести примеры рефлексивного (симметричного, антисимметричного, транзитивного) отношения.
- Что можно сказать об отношениях
и 
, если: 1) 
рефлексивно; 2) 
симметрично; 3) 
антисимметрично; 4) 
транзитивно? - Доказать, что объединение и пересечение двух
рефлексивных отношений
и 
рефлексивно. Доказать или
опровергнуть аналогичные утверждения для пар
симметричных, антисимметричных, транзитивных
отношений. - Доказать, что при любом отношении
в множестве Х
отношения 
и 
симметричны.
Особое внимание при изучении рефлексивных
отношений обращается на то, что это отношение,
согласно определению, содержит все пары вида 
, где х –
произвольный элемент множества Х.
Отношения в курсе математики рассматриваются преимущественно на бесконечных множествах, что вполне естественно для их многочисленных приложений. Однако для понимания самих отношений и их свойств методически оправдано применение конечных множеств с небольшим числом элементов. По тем же соображениям нецелесообразно систематически рассматривать отношения на пустом и одноэлементном множествах. Применение конечных множеств даст возможность широко использовать графы как наглядную основу изучения отношений, что сделает это изучение доступным и интересным.
Тщательная работа, проведенная при изучении рефлексивного, симметричного, антисимметричного и транзитивного видов отношений приводит к тому, что изучение отношений эквивалентности и порядка не вызывает у школьников никаких затруднений.
Особое место в математике занимают
функциональные отношения. Каждая функция 
есть бинарное
отношение между элементами множеств Х и У.
Но не всякое бинарное отношение является
функцией. Чтобы бинарное отношение 
между множествами Х и У
было функцией нужно, чтобы выполнялись следующие
условия:
1) 
,
2) 
.
Опыт показывает, что многочисленные примеры, взятые из окружающей жизни, а также удачно подобранные упражнения, основанные на материале школьных курсов математики и физики, помогут учащимся уяснить значение теории бинарных отношений.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
- Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965. – 455с.
- Варпаховский Ф. Л., Солодовников А. С. Алгебра. М., 1981. – 167с.
- Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М., 1969. – 159с.
- Дорофеева А. В. Учебник по высшей математике для философских факультетов университетов. М., 1971. – 423с.
- Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М., 1979. – 559с.
- Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. СПб., 1999. – 560с.
- Нешков К. И., Пышкало А. М., Рудницкая В. Н. Множества. Отношения. Числа. Величины. М., 1978. – 63с.
- Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. М., 1995. – 512с.
- Пышкало А. М., Стойлова Л. П., Лаврова Н. Н., Ирошников Н. П. Сборник задач по математике. М., 1979. – 207с.
- Радьков А. М., Чеботаревский Б. Д. Алгебра и теория чисел. Мн., 1992. 286с.
- Серпинский В. О. О теории множеств. М., 1966. – 61с.
- Шнеперман Л. Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн., 1982. – 223с.