Цели урока:
- обучающие: формирование умений открывать закономерности, находить способы решения задачи в результате обобщения, устанавливать логические связи между этапами решения задач; продолжить формирование умений решать иррациональные уравнения нестандартными способами;
- развивающие: развитие у учащихся умения анализировать задачу перед выбором способа ее решения; навыков исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; продолжить формирование логического мышления при переходе от частного к общему;
- воспитательные: активизация интереса к
приобретению новых знаний, умений и навыков;
Данный урок позволяет:
- повторить основные теоретические понятия;
- закрепить основные способы решения иррациональных уравнений;
- возместить отсутствие единого обобщения по данной теме в курсе алгебры 11-го класса;
- закрепить нестандартные приемы решения иррациональных уравнений.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Объявление темы, целей и задач урока, мотивация учения.
Продолжим совершенствовать умения и навыки решения иррациональных уравнений. Самостоятельность, ответственность, организованность во время работы поможет сделать шаг вперед по пути саморазвития, самосовершенствования.
3. Повторение и актуализация опорных знаний.
Какие уравнения называются иррациональными?
h.gif" align="absmiddle" WIDTH="73" HEIGHT="26" align="absmiddle"
О чем приходится задумываться и помнить при решении иррационального уравнения? Уравнение, содержащее переменную под знаком радикала, называется иррациональным. При решении иррациональных уравнений используют тождественные преобразования, применяют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, а также метод введения новых переменных.
Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.
Уравнение | Решение | На что обратить внимание | |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
Аналогично предыдущему. |
№ 1.
![]() |
ОДЗ: |
Дополнительное условие: |
Найденное значение ![]() |
Ответ:
4. Решение уравнений нестандартными приемами.
Рассмотрим несколько уравнений и найдем наиболее рациональные способы решения. № 2.
![]() |
|
Для решения уравнения введем
новую переменную: ![]() |
Ответ: 3
№ 3.
1 способ | 2 способ |
Введем новую переменную ![]() |
Возведем в куб: |
Проверкой убеждаемся, что корни уравнения.
Ответ:
№ 4.
ОДЗ:
То, что ,
должно навести учащихся на мысль о применении
тригонометрической подстановки
. Тогда:
Так как
. Откуда
Но , поэтому
остается
.
Следовательно,
.
Ответ:
№ 5.
.
Данное уравнение решим искусственным приемом
– домножением на сопряженное выражение, но
сначала убедимся, что .
Подставим х=0 в уравнение: .
- неверно => 0 – не корень (заметим,
что если найденное значение является корнем, его
не забыть записать в ответ!).
Пусть .
Ответ:
№ 6.
И здесь домножим на сопряженное:
Второй сомножитель не обращается в 0, а .
Проверкой убеждаемся, что х=2 корень уравнения.
Ответ:
№ 7.
ОДЗ:
Рассмотрим функцию .
- абсцисса вершины параболы, следовательно левая
часть уравнения – сумма возрастающих на ОДЗ
функций, правая часть уравнения – постоянная.
Значит, уравнение может иметь не более одного
корня. Подбором находим
. Проверка:
, 2=2 – верно.
Ответ:
№ 8.
ОДЗ:
1) Оценим левую часть.
Сложив неравенства (*) и (**), получим:
2) Оценим правую часть.
3) Оценив левую и правую часть уравнения, приходим к выводу, что
.
Но, подставив найденное значение в уравнение, получаем
- неверно,
следовательно, корней нет.
Ответ: корней нет.
№ 9.
ОДЗ:
Дополнительное условие:
Рассмотрим более общее уравнение с параметром: , совпадающее с
(*) при
.
Запишем (**) как квадратное относительно
:
Разложим (**) на множители:
или
Вернемся к
или
- не
удовлетворяет дополнительному условию.
Ответ: 1.
№ 10.
ОДЗ:
1) Непосредственной подстановкой убеждаемся,
что является
корнем:
2)
3) Внесем
под знак корня.
а) При ,
,
:
Пусть ,
тогда:
Дополнительное условие:
б) При ,
,
:
Пусть ,
тогда:
Дополнительное условие:
Ответ: 5; .
5. Итог урока.
Для решения иррациональных уравнений можно применять введение новой переменной; домножение на сопряженное; тригонометрическую подстановку; использование монотонности функций; метод оценки левой и правой частей уравнения. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что не всегда нужно искать область допустимых значений переменной, иногда проще в конце решения сделать проверку или следить за равносильностью преобразований. Рассмотренные методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных задач.