Цели урока:
- обучающие: формирование умений открывать закономерности, находить способы решения задачи в результате обобщения, устанавливать логические связи между этапами решения задач; продолжить формирование умений решать иррациональные уравнения нестандартными способами;
- развивающие: развитие у учащихся умения анализировать задачу перед выбором способа ее решения; навыков исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; продолжить формирование логического мышления при переходе от частного к общему;
- воспитательные: активизация интереса к
приобретению новых знаний, умений и навыков;
Данный урок позволяет:
- повторить основные теоретические понятия;
- закрепить основные способы решения иррациональных уравнений;
- возместить отсутствие единого обобщения по данной теме в курсе алгебры 11-го класса;
- закрепить нестандартные приемы решения иррациональных уравнений.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Объявление темы, целей и задач урока, мотивация учения.
Продолжим совершенствовать умения и навыки решения иррациональных уравнений. Самостоятельность, ответственность, организованность во время работы поможет сделать шаг вперед по пути саморазвития, самосовершенствования.
3. Повторение и актуализация опорных знаний.
Какие уравнения называются иррациональными?
h.gif" align="absmiddle" WIDTH="73" HEIGHT="26" align="absmiddle"
О чем приходится задумываться и помнить при решении иррационального уравнения? Уравнение, содержащее переменную под знаком радикала, называется иррациональным. При решении иррациональных уравнений используют тождественные преобразования, применяют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, а также метод введения новых переменных.
Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.
| Уравнение | Решение | На что обратить внимание | |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
;  |
 |
 |
 |
;  |
|
 |
 |
; |
 |
 |
 |
; ;
|
Аналогично предыдущему. |
№ 1.
 |
ОДЗ:
|
Дополнительное условие:
|
Найденное значение  не удовлетворяет
дополнительному условию. |
||
Ответ: 
4. Решение уравнений нестандартными приемами.
Рассмотрим несколько уравнений и найдем наиболее рациональные способы решения. № 2.
 |
|
Для решения уравнения введем
новую переменную: 
|
|
Ответ: 3
№ 3.
| 1 способ | 2 способ |
Введем новую переменную 
|
Возведем в куб:
|
Проверкой убеждаемся, что 
корни уравнения.
Ответ: 
№ 4.
ОДЗ: 
То, что 
,
должно навести учащихся на мысль о применении
тригонометрической подстановки 
. Тогда:
Так как 
. Откуда 
Но 
, поэтому
остается 
.
Следовательно, 
.
Ответ: 
№ 5.
.
Данное уравнение решим искусственным приемом
– домножением на сопряженное выражение, но
сначала убедимся, что 
.
Подставим х=0 в уравнение: 
. 
- неверно => 0 – не корень (заметим,
что если найденное значение является корнем, его
не забыть записать в ответ!).
Пусть 
.
Ответ: 
№ 6.
И здесь домножим на сопряженное:
Второй сомножитель не обращается в 0, а 
.
Проверкой убеждаемся, что х=2 корень уравнения.
Ответ: 
№ 7.
ОДЗ: 
Рассмотрим функцию 
. 
- абсцисса вершины параболы, следовательно левая
часть уравнения – сумма возрастающих на ОДЗ
функций, правая часть уравнения – постоянная.
Значит, уравнение может иметь не более одного
корня. Подбором находим 
. Проверка: 
, 2=2 – верно.
Ответ: 
№ 8.
ОДЗ: 
1) Оценим левую часть.
Сложив неравенства (*) и (**), получим: 
2) Оценим правую часть.
3) Оценив левую и правую часть уравнения, приходим к выводу, что
.
Но, подставив найденное значение 
в уравнение, получаем 
- неверно,
следовательно, корней нет.
Ответ: корней нет.
№ 9.
ОДЗ:
Дополнительное условие:
Рассмотрим более общее уравнение с параметром: 
, совпадающее с
(*) при 
.
Запишем (**) как квадратное относительно 
:
Разложим (**) на множители: 
или 
Вернемся к
или 
- не
удовлетворяет дополнительному условию.
Ответ: 1.
№ 10.
ОДЗ: 
1) Непосредственной подстановкой убеждаемся,
что 
является
корнем:
2) 
3) Внесем 
под знак корня.
а) При 
, 
, 
:
Пусть 
,
тогда:
Дополнительное условие: 
б) При 
, 
, 
:
Пусть ,
тогда:
Дополнительное условие:
Ответ: 5; 
.
5. Итог урока.
Для решения иррациональных уравнений можно применять введение новой переменной; домножение на сопряженное; тригонометрическую подстановку; использование монотонности функций; метод оценки левой и правой частей уравнения. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что не всегда нужно искать область допустимых значений переменной, иногда проще в конце решения сделать проверку или следить за равносильностью преобразований. Рассмотренные методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных задач.