"Диалоги о параболе". Применение свойств графика квадратичной функции

Разделы: Математика

Цель: Показать применение свойств графика квадратичной функции.

Учебно-воспитательные задачи:

Образовательные:

  1. Приобретение знаний по применению графического изображения квадратичной функции.
  2. Применение приемов решения задач.

Развивающие:

  1. Совершенствование умения строить параболу.
  2. Применение свойств квадратичной функции в других и их взаимосвязь с математикой.

Воспитательные:

  1. Пробудить интерес к истории математики.
  2. Способствовать расширению кругозора через информационный материал, диалоги и совместные размышления.

Оборудование:

  1. Геометрический инструмент.
  2. Переносные доски.
  3. Кодоскоп и комплект наглядно-методического материала.
  4. Компьютерная презентация.
  5. Исторический материал.

Метод:

  1. Словесный.
  2. Практический.
  3. Групповая работа.
  4. Театрализованный.

Тип урока: заключительный по теме “Квадратичная функция” с использованием активных методов.

Ход урока

1. Организационный момент.

Этический заряд:

Твори, ищи, фантазируй смелей -
Поиск идет необычной идеи!
Сваливай мысли в гору большую,
Из сотни простых найдем золотую.
Камнем в соседа бросать не смей,
Бросишь камень - не будет идей!
Особенно цениться комплекс идей,
Созрели идеи - говори их скорей!

2. Вести с урока.

1) повторить определение квадратичной функции, ее свойства и график. (Фронтальная работа).

2) понятие параболы. (Ученик объясняет, используя компьютерную презентацию)

3) различие параболы: по направлению ветвей, по координатам вершин, по коэффициенту а,

3. Работа по группам, с последующим показом результатов на переносных досках:

1 группа: Постройте график функции = - x - 6

Алгоритм решения

  1. Укажите направление ветвей параболы;
  2. Вычислите координаты вершины параболы;
  3. Укажите ось симметрии параболы:
  4. Найдите точки пересечения с осью абсцисс (если это возможно);
  5. Найдите точку пересечения с осью ординат;
  6. Полученные точки соедините кривой;

2 группа: Решите неравенство

Алгоритм решения

1. Упростите неравенство

2. Постройте график квадратичной функции:

1.направление ветвей;
2. укажите ось симметрии параболы;
3.Найдите точки пересечения параболы с осями;
4.схематически постройте параболу;

3.Укажите промежуток, удовлетворяющий неравенству.

3 группа: Найдите решения неравенства.

Принадлежащий промежутку {-1,-}

Алгоритм решения:

1. Постройте график квадратичной функции по плану:

1.укажите направление ветвей параболы;
2.Найдите точки пересечения с осями координат;
3.укажите ось симметрии параболы;
4.схематически постройте параболу

2. Укажите решения неравенства, удовлетворяющее условия задачи,

(вычислив)

4 группа: Найдите область определения выражения

Алгоритм решения.

Составьте неравенство по смыслу задачи.

Постройте график квадратичной функции:

1. направление ветвей параболы;

2. укажите ось симметрии параболы;

3. найдите точки пересечения с осями координат.

3. Найдите промежуток, удовлетворяющий решению неравенства.

4. Из истории математики: Диалог Герона и Архимеда о применениях параболических зеркал. Диалог в ролях:

Архимед:

Государь! Какая неожиданность в столь поздний час! Чем я обязан чести визита царя Гиерона в мой скромный дом?

Гиерон:

Архимед дорогой друг сегодня вечером в моем дворце был пир в честь великой победы нашего маленького города Сиракузы над могущественным Римом. Я приглашал тебя, но твое место осталось пустым. Почему же ты не пришел - ты кому главным образом мы обязаны сегодняшней победой? Твои громадные вогнутые медные зеркала подожгли десять из двадцати больших кораблей римлян. Подобные огненным факелам они покинули гавань гонимые юго-западным ветром, и все затонули, прежде чем достигли открытого моря. Я не смог заснуть, не поблагодарив тебя за избавление нашего города от врага.

Архимед: Ты заставляешь меня краснеть от смущения. Но разреши снова напомнить тебе, что война еще не закончена. Хочешь ли ты услышать мой совет?

Гиерон: Я как царь даже приказываю тебе откровенно высказать своё мнение?

Архимед: Настал момент, когда тебе нужно заключить мир с Римом. Когда же известие о сегодняшней битве достигнет Рима, римляне так рассвирепеют, что не удовлетворятся ничем, кроме полной победы.

Гиерон: Твой анализ верен. Действительно сегодня вечером я получил послание от Марцелла в котором он предлагает мир и отход его войск на определенных условиях.

Я принял все его условия кроме одного – отдать тебя в качестве заложника. Я согласился отдать ему сына и дочь, но при условии, что мне двух своих детей. Что касается тебя я сказал ему, что преклонные года не позволяют тебе жить в лагере. Однако, зная, что в действительности, что ему нужен не ты сам, а твоя мудрость я обещал, что подробно опишешь все свои изобретения имеющие военное значение.

Архимед: Я ничего не буду писать о моих изобретениях относительно способов ведения войны. Это был не тот вид деятельности, которым я хотел бы доказать практическую ценность математических идей. Я увидел людей, убитых моими машинами, и почувствовал себя виновным. Я дал торжественную клятву Афине, что никому никогда не открою секрет моих военных машин ни устно, ни письменно. Я пытался успокоить совесть, говоря себе, что новость о победе Архимеда над римлянами с помощью математики достигнет всех уголков мира, говорящего на греческом языке, это будут помнить даже тогда, когда война закончится, и секреты моих военных машин будут похоронены вместе со мной.

Вероятно, я был просто глупцом, но я полагал, что мог бы изменить ход истории. Я был обеспокоен будущим Греции и думал, что, если бы мы приняли математику в больших масштабах – в конце концов, математика является изобретением греков и лучшим достижением греческого ума, - мы могли бы спасти наш греческий образ жизни. Теперь, я считаю, уже поздно. Римляне завоюют не только Сиракузы , но и все остальные греческие города, наше время кончается.

Гиерон: Это правда, мой друг Архимед я получаю вести от властителей, с которыми я поддерживаю дружеские отношения – они интересуются твоими изобретениями.

Ты хочешь сказать, что твои изумительные машины основаны на математике, которую знает каждый образованный человек?

Архимед: Ты недалёк от истины.

Гиерон: Можешь ли ты привести пример?

Архимед: Хорошо, пример приведёт мой ученик.

Ученик Архимеда:

Слова ученика Архимеда: Возьмём в качестве примера зеркало, которое сегодня сослужило такую превосходную службу. Мы просто использовали хорошо известное свойство параболы: если какую-нибудь точку Р параболы соединить с фокусом параболы, а затем провести через Р прямую, параллельную оси, то эти две линии образуют равные углы с касательной к параболе в точке Р. Эту теорему можно найти в труда ученых из Александрии.

Гиерон: Даже не вникая в твои секреты, я понял, что кроме свойств параболы ты должен многое знать о металлах и об искусстве их обработки. Выходит, что значений математики не достаточно, если кто-то хочет применять их на деле. Я думаю, мы должны учится у римлян, тогда нам легче будет воевать с ними.

Я должен идти. Я хочу немного поспать. Завтра необходимо подготовится к новой атаке. Спасибо за интересный разговор.

5. Применение параболы в физике, технике.

1. Рассказ ученика о траектории движения мяча:

Пусть мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав ему начальную скорость 10м/с. Тогда высота h (в м), на которой находится мяч, есть квадратичная функция времени полота t (в с). Если считать, что g =10 м/, то функцию h= f(t) можно описать формулой h= 1,5+10t-5. График этой функции - часть параболы, изображенной на рисунке 2.5. По графику видно, что мяч взлетел примерно на 6.5 м и после двух секунд полета упал на землю.

2. О параболоиде зеркальном (показ на доске).

6. Применение свойств параболы при решении задач повышенной сложности.

1. Сколько корней имеет уравнение:

(х-100)(х-101)+(х- 101)(х-102)+(х-102)(х-100)=0?

Решение:

Если мысленно раскрыть скобки, то легко видеть, что левую часть уравнения можно представить в виде квадратного трехчлена с положительным коэффициентом при х в квадрате. Обозначим этот трехчлен через (х). Найдем (101):

(101) = 0 + 0 – 1 < 0.

Таким образом,(х) может принимать отрицательные значения. Так как коэффициент при х в квадрате положителен, то ветви параболы – его графика – направлены вверх. Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, т.е. данное уравнение имеет два корня.

2. Построить график уравнения:

3. При каких значениях параметра а уравнение:

имеет ровно три корня?

Решение задач ученики показывают на доске.

Итоги: математика развивается. В ней строятся новые кварталы и сносятся устарелые здания. Многие мелкие строения объединяются в единые комплексы, а между отдаленными областями проводятся дороги для непосредственной взаимосвязи. Этот своеобразный мир растет вширь и вверх. Но, что особенно важно, он не замыкается в себе, а стремится установить дружеский контакты с другими областями знание и оказать им посильную помощь. Естественно, что в таком большом хозяйстве время от времени приходится проводить не только мелкие ремонты работы, Но и капитальную перестройку, что бы устаревшие здания и узкие улицы не мешали дальнейшему развитию целого района. Время от времени математикам приходится окинуть взглядом всю математику и ее место в системе науки. При этом неизбежно появляются глубокие философские вопросы.

Рефлексия:

  • испытывали ли вы затруднение при работе с карточками?
  • получали ли вы помощь в группе?
  • была ли интересна для вас информация, которую вы получили?
  • где вы можете применять полученные знания?
  • где вообще применяются графическое изображение и свойства квадратичной функции?