Вероятность и статистика

Цель урока: сформировать представление об основном понятии статистики и вероятности.

Задачи:

• формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;
• развивать навыки совместной деятельности;
• развивать умение делать самооценку.

I этап.

Сеть магазинов “Рамстор” проводит акцию “Суперподарок”. Товары составлены в наборы из 5-ти одинаковых предметов, которые занумерованы цифрами от 1 до 5. например, 5 утюгов, 5 электрочайников, 5 пылесосов и т.д.

Если покупается один предмет из набора, то из скольки наборов нужно купить предметы, чтобы получить комплект с разными номерами. Если собираешь 5 комплектов – то суперприз – автомобиль. Выгодна ли эта акция для магазина?

Чтобы ответить на этот вопрос необходимо разбираться в таких разделах математики, как статистика и вероятность.

Развитие этих наук началось с древности. Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра больше, чем у одного, поэтому охотились коллективно.

Позднее с опытом, человек стал все чаще взвешивать случайные события. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

Чтобы определить, чем закончится то или иное событие приходилось многократно проделывать опыты, а после делать выводы. Например, если посмотреть на таблицу дорожных происшествий.

Процент автомобильных аварий можно сделать вывод об увеличении дорожных происшествий, связав их с улучшением погоды.

Однако, здесь нужно учитывать такие факторы как интенсивность движения автомобилей и пешеходов, физическое состояние водителей и т.д., поэтому любой вывод нельзя рассматривать как абсолютно верный.

Вот уж поистине незабываемо с конца XIX века меткое ироническое изречение английского премьер-министра Дизраэли о том, что есть три вида лжи: обыкновенная ложь, наглая ложь и статистика.

Одни и те же статистические данные могут приводить к различным результатам, а правильно использовать статистические данные поможет теория вероятности.

Известен анекдот: на вопрос: каковы ваши шансы встретить динозавра? Мужчины отвечали: практически равны 0; женщины отвечали – 50 % (либо встречу, либо нет). Так кто же прав?

Основным понятием в статистике и теории вероятности является событие. Что вы понимаете под словом событие?

Событием называется результат опытов наблюдений или испытаний.

Чтобы более подробно изучить все мы будем работать над проектом “Сладкая жизнь”. Ученики делятся на 3 группы–отдела.

1 отдел – отдел информационный.

2 отдел – отдел испытаний – игры на деньги.

3 отдел – отдел аналитический – игры в карты.

Вот задания для отделов, разработки ваши мы обсудим и оценим.

Можно предложить учащимся самим придумать критерии оценки, например, активность всех членов группы, доступность изложения, время. Полученную сумму баллов разделить на число участников.

Информационный отдел получает задание разобраться с понятием событие. Для этого им выдаются справочники, учебники или информационный лист.

1 отдел.

Событием называется результаты опытов, испытаний или наблюдений.

Задача: исследовать виды событий. Для этого:

1. Приведите примеры событий.

Пользуясь образцом: играется шахматная партия – испытание. Выигрыш, ничья, проигрыш его возможные исходы события.

У больного определили 1-ую группу крови. Проверка группы крови – испытание, 1-я группа крови событие.

2. Какие бывают события?

Достоверное – если оно обязательно произойдет, например, в ящике 10 белых шаров, то событие извлеченный шар – белый – достоверное.

Невозможное - если оно заведомо не может произойти в данном испытании, например, в ящике 10 белых шаров, то событие вытащить черный шар - невозможное.

Случайное событие – которое в данном испытании может произойти, а может и не произойти, например, если при бросании монеты событие – выпал герб - случайное. Попробуйте придумать свои примеры и оформить все, что вы узнали в виде схемы.

2 отдел.

Справка: Событие называют случайным, если оно может произойти, а может и не произойти.

Выполните следующие испытания:

1) Подбросьте монету 50 раз. Посчитайте сколько раз

а) выпадет орел.

б) Подбросьте монету 20 раз. Посчитайте сколько раз выпал орел.

в) Как сравнить результаты?

2) В текстах из 150 слов подсчитайте число слов составленных из 6 букв.

Как часто появляются слова из 6-ти букв. Как удобно узнавать частоту появления события. Результаты удобно заносить в таблицу или на графике.

Частотой случайного события (относительной частотой) называют ...

Выберите 7 строк произвольного текста учебника подсчитайте буквы:

1) а.

2) е.

3) о.

4) ю.

Найдите относительную частоту появления буквы.

Может вы приведете свои примеры?

На учениях по стрельбе из винтовки стрелок попадал 8 раз из 10 выстрелов.

Какова частота поражения цели у этого спортсмена и сколько попаданий в цель можно ожидать от него на соревнованиях, если каждый участник будет стрелять 30 раз?

3 отдел.

Возможные исходы испытаний можно найти путем правдоподобных рассуждений основанных на практическом опыте и здравом смысле.

Пример: Возьмем игральный кубик, то при бросании этого кубика каковы шансы выпадения на его верхней грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков (одинаковы, т.к. нет оснований считать, что выпадение одного из очков, например 6 более вероятно, чем 2).

Говорят, что вероятность выпадения на верхней грани кубика одного числа очков, например 3 равна 1/6.

А события, имеющие одинаковую вероятность называются равновозможными.

Так что такое вероятность события?

От какого слова произошло это понятие?

А теперь выполните следующие задания:

1) Из слова математика выбирается наугад одна буква.

а) Какова вероятность того, что это будет буква

б) гласной

в) буквой у

2) Выбирается наугад одно из чисел 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

а) Какова вероятность того, что это число будет четным?

б) Какова вероятность того, что оно будет четным и будет делиться на 3?

3) Лотерея состоит из 10000 билетов, среди них 1250 выигрышных. Какова вероятность, что наудачу купленный билет окажется выигрышным?

4) Из колоды в 36 карт выбирается наугад одна карта, какова вероятность, что это будет карта:

а) черновой масти б) картинка в) картинка червонной масти.

Задача Даламбера – французский математик (1717-1783). Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут цифры.

После выполнения заданий в группах переходим к отчету групп и подведению итогов.

Теперь давайте ответим на вопросы:

1. Какие события вы узнали? И что такое событие?

2. Что такое относительная частота события?

3. Какова вероятность невозможного события?

4. Какова вероятность достоверного события?

5. В каких пределах находится вероятность?

6. Как называются 2 события, имеющие одинаковую вероятность?

7. Что можно сказать об анекдоте про динозавра? Где статистика? Где вероятность?

На доске нарисована таблица, состоящая из трех столбцов: 1) Все понятно; 2) Почти понятно; 3) Ничего не понятно.

Прикрепите стрелочки (стикеры) на какой ступени понимания вы находитесь?

II этап.

А теперь попытаемся выполнить работу (под копирку), чтобы определиться для работы в группах.

1. В каждое из приведенных ниже предложении впиши наиболее подходящее по смыслу слово, выбрав его из слов возможно, невозможно, наверняка, маловероятно.

1) Завтра солнце ... взойдет на востоке.

2) ..., что бутерброд упадет маслом вниз.

3) ..., что у Елены Константиновны день рождения 30 февраля.

4) ..., что в Астане на улице ты встретишь тигра.

2. Запиши номера тех пар событий, которые, по твоему мнению имеют равные шансы произойти в результате одного испытания (т.е. равновозможны).

1) Появление орла и появление решки в результате одного испытания.

2) Выпадения одного очка и выпадение шести очков в результате броска игрального кубика.

3) выпадение одного очка и выпадение одного из четных очков (т.е. 2, либо 4, либо 6).

3. В ящике лежат 1 черная и 2 белых шашки. Саша хочет, не глядя, вытащить черную шашку, он вынимает и это оказывается белая шашка, после чего он кладет ее в карман и делает еще одну попытку. Как ты думаешь, при второй попытке шансы Саши вытащить черную шашку

1) увеличились.

2) уменьшились.

3) остались прежними.

Запиши номер нужного ответа.

Выполним проверку и распределяемся в группы.

Группа А: если вы ответили на все вопросы правильно.

Группа В: если вы ответили на 2 вопроса правильно.

Группа С: если вы ответили на 1 вопрос правильно.

Группа D: если вы ответили на все вопросы неправильно.

Каждая группа получает свое задание.

III этап.

A.

1) В ящике лежат черные и белые шашки, если из ящика наудачу вытягивают: две шашки, то вероятность того, что они обе черные, равна 1/2. Каково минимальное возможное число шашек в ящике.

2) В ящике лежат 5 цветных и 2 простых карандаша. Из этой коробки вынимают 2 карандаша. Какова вероятность того, что оба карандаша цветные.

B.

Из 25 экзаменационных билетов по геометрии

1) ученик подготовил 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что ему достанется на экзамене билет, который он не подготовил.

2) В новом доме 93 квартиры, из которых 3 на 1-м этаже, а 6 – на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира на первом или последнем этаже.

3) На 3-х карточках написаны буквы О, Т, К, карточки перемешали и перевернули, затем открыли наугад одну за одной карточки и положили в ряд.

а) Какова вероятность, что получится слово КОТ

б) на 4-х карточках написаны буквы О, Т, К, Р, выполнили те же действия, какова вероятность, что получится слово КРОТ.

С.

1. Из ящика, где лежат 5 пронумерованных шаров вынули 1 шар, какова вероятность того, что номер шара не превышает число 5?

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных, какова вероятность вынуть из урны синий шар?

3. В ящике 3 карандаша черный, желтый, красный, какова вероятность, что наугад взятый шар:

а) красный.

б) черный.

в) желтый.

D.

1. В классе 12 учеников. На контрольной работе 2 ученика получили – “5”, 3 ученика – “2”, 4 ученика – “3”, остальные – “4”. Определите частоту получения в классе:

а) оценки “5”.

б) “4”.

в) “3”.

г) “2”.

2. Стрелок делает 20 выстрелов и при этом 17 раз попадает в цель. Определите частоту промахов стрелка.

Отчет начинаем с группы D.

Критерии оценивания: доступность изложения и полнота решения.

IV этап.

Давайте попытаемся ответить на вопрос поставленный в начале урока про “Суперподарок” от “Рамстора”.

число наборов.

Выгодно ли это для магазина?

V. Подведение итогов.

Какие ключевые слова урока можно выделить?

Объясните их значение.

Какой ключевой факт сегодня изучен?

Что общего и в чем отличие статистики и вероятности?

Завершить урок хочется такой историей.

- Доктор, - спрашивает пациент – пойдут ли у меня дела на поправку?

- Несомненно, - отвечает врач, - потому что статистика говорит, что один из ста выздоравливает при этой болезни.

- Но почему же при этом именно я должен выздороветь?

- Потому что вы как раз и есть мой сотый пациент.

Литература

1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. “Математика в школе”. № 7. 2004 г. стр. 24.
2. В.А.Булычев, Е.А.Бунимович. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. “Математика в школе”. № 4. 2003 г. стр. 59.