Элементы комбинаторики

Одним из разделов математики, которым зачастую в школе "пренебрегают", не рассматривают из-за отсутствия времени, а в основном, по причине того, что этот материал не входит в курс школьной программы, является один из наиболее интересных и сложных разделов математики - комбинаторика. Этот раздел математики учит учащихся логически мыслить, перебирая различные варианты решения комбинаторных задач, повышает их заинтересованность в изучении математики, учит мыслить нестандартно, развивает воображение и смекалку, что является одним из основных этапов в развивающем обучении учащихся. Ниже приведен план урока(2 академических часа) по математике в 7 классе (данные уроки рассчитаны на понимание учащихся любого класса средней и старшей школы), позволяющий ознакомить учащихся с основами теории комбинаторики, который опробован на практике и дает весьма высокие результаты.

Цель урока:

• ознакомить учащихся с новым разделом математики: "Комбинаторика", с ее основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;
• ознакомить учащихся с основными приемами подсчета различных вариантов;
• научить учащихся методам решения комбинаторных задач, закрепить полученные навыки на практике при решении отдельных примеров и задач;
• ликвидировать пробелы в знаниях учащихся по отдельным вопросам.

Оборудование:

• школьные принадлежности,
• наглядные пособия (плакаты на задачи 1, 2, 3, 5, 6, 10),
• карточки с групповыми и индивидуальными заданиями.

Ход урока

1. Повторение ранее изученных отдельных вопросов, понятий и определений, необходимых для успешного усвоения нового материала

2. Объяснение нового материала

В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

<Рисунок 1>

Люди, которые умело владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций. Примером мог бы послужить сказочный герой Барон Мюнхгаузен, который находил выход из любой сложной и трудной ситуации.

Но и в жизни эти умения очень часто помогают человеку. Вот один случай умелого решения комбинаторной задачи.

Бесплатный обед

10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т.д.

Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился.

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, ни мало, ни много, 3628800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 тысяч лет! Это покажется на первый взгляд невероятным, но так оно и есть!

Ну, а мы сегодня рассмотрим с вами многие задачи этой части математической науки, которая, еще раз вам напомню, называется комбинаторикой. Мы научимся определять ход их решения, а также познакомимся и научимся применять на практике несколько методов решения комбинаторных задач - задач, наиболее часто встречающихся в нашей жизни, задач, над решением которых мы задумываемся каждый день. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Эти методы носят следующие названия: метод перебора, дерево выбора (дерево возможных вариантов), и правило умножения.

Итак, комбинаторика - это раздел математики, отвечающий на вопросы сколькими способами можно выбрать элементы определенного множества, если выборка удовлетворяет некоторым свойствам.

Или, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Однако существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Вернемся к задаче о составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для ее решения можно построить специальную схему.

<Рисунок 2>

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

В последствии, мы рассмотрим, как построение дерева помогает решить самые разные комбинаторные задачи.

Дополнительная подзадача: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры десятков и единиц не повторяются?

Задача 2. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

<Рисунок 3>

Задача 3. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Перебор упрощается, если ввести удобные условные обозначения. Например, если в задаче речь идет о расположении в ряд нескольких красных и зеленых шаров, то не надо рисовать эти шары или писать полностью их цвета. Можно ограничиться только первыми буквами цвета этих шаров - К и 3. Такую замену предметов их условными обозначениями называют кодированием.

Обозначим города их первыми буквами. Тогда код каждого маршрута будет состоять из трех букв: В, Р и Ф, каждая из которых должна быть использована только один раз, например, ВФР или ФРВ.

<Рисунок 4>

Варианты путешествия получаются следующие: ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ, ФВР, ФРВ, что хорошо видно из дерева вариантов.

Путешествие можно начинать в любом из трех городов. Если первой посетить Венецию, то затем можно поехать в Рим или во Флоренцию. Если вторым посетить Рим, то третьей будет Флоренция, если второй будет Флоренция, то третьим будет Рим. Это первые два варианта путешествия.

Таким образом, всего существует 6 вариантов путешествия.

Задача 4. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Дадим каждому из приятелей номер – от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, 47 – это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7.

Ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, например, 33 – это означало бы, что один из друзей пожал руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, означают одно и то же рукопожатие, а значит, учитывать надо только одно из них.

Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и то же рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо выбрать 68.

Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрастания. Для подсчета их удобно расположить треугольником.

Число кодов равно: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Таким образом, всего было сделано 28 рукопожатий.

Задача 5. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?

<Рисунок 5>

<Рисунок 6>

В итоге получаем 6 вариантов при учете, что мы делаем различие между МС и СМ и другими аналогичными парами. Но, если смотреть на то, что три из них эквивалентны трем другим парам (МС – СМ, МК – КМ, СК – КС), то получаем, что различных вариантов только три.

Задача 6. В спортивном лагере “Орленок” собирались проводить первенство по футболу. Незадолго до начала соревнований к начальнику лагеря пришел вожатый, который должен был судить встречи, и сказал: “Иван Владимирович! У нас на складе есть трусы и майки только трех цветов: белого, черного и синего. А команд у нас восемь. Как быть?” – “Да совсем просто, Леня! – ответил тот.– Ведь необязательно, чтобы майки и трусы были одного цвета. Можно одну команду одеть в синие майки и белые трусы, а другую – в белые майки и синие трусы. Вот игроки и увидят, где свой, а где соперник”. – “А хватит ли таких комбинаций на восемь команд?” – "Не только хватит, еще одна останется про запас".

Посмотрим на табличку.

Здесь первая буква показывает цвет майки, а вторая – цвет трусов. Можно видеть, что получилось девять различных комбинаций, так что все в порядке.

Составляя такие таблицы, можно найти число комбинаций и в случае, когда, например, есть майки различных пяти цветов, а трусы – четырех цветов. В этом случае в таблице будет пять строк и четыре столбца, а потому общее число комбинаций окажется равным 4 x 5, то есть 20. Вообще, если имеются майки т различных цветов и трусы п различных цветов, то общее число комбинаций для составления формы играющих команд равно т x п.

Полученный результат верен и тогда, когда комбинируются не майки с трусами, а, например, ложки с вилками. Он гласит:

Если надо выбрать пару вещей, причем первую вещь можно выбрать m способами, а вторую n способами, то пару можно выбрать m? n способами.

Бывает, что надо выбрать не две, а три или четыре вещи. Тогда число комбинаций ищут похожим образом: смотрят, сколькими способами можно выбрать каждую вещь, и перемножают полученные числа. Поэтому правило называют правилом произведения (или правило умножения).

Вернемся теперь к первой задаче о комбинациях, которую мы решали, к задаче о выборе формы для футболистов. Чтобы решить ее, была составлена таблица из трех строк и трех столбцов. Но если бы надо было еще выбирать цвет бутс, то пришлось бы составлять не одну, а несколько таблиц – по одной для каждого цвета бутс. Поэтому, в этом случае, удобнее было бы изображать разные варианты выбора с помощью дерева возможных вариантов.

Такие деревья мысленно воображают себе шахматисты, выбирая наилучший ход в трудной позиции. Каждая полоса соответствует полуходу (ходу за белых или за черных). И думает шахматист: если я пойду так, а противник ответит так, а потом я пойду так, а он ответит так, то какой же ход мне выбрать? Мы уже видели, что с увеличением числа полос количество возможностей очень быстро возрастает. Поэтому пройти по всем веточкам дерева расчета бывает очень трудно, а иногда даже невозможно.

Со всем этим столкнулись ученые, составлявшие шахматные программы для вычислительных машин. Им удалось справиться со всеми трудностями, и теперь уже некоторые вычислительные машины играют сильнее мастера.

Задача 7. В том же спортивном лагере повар умел готовить четыре различных супа: щи, борщ, молочный суп с лапшой и фасолевый суп. Мясных блюд он умел делать пять: котлеты, зразы, шницели, биточки и суфле. При этом, к каждому мясному блюду он умел делать три гарнира: гречневую кашу, макароны и картофельное пюре. А на сладкое он готовил тоже три блюда: компот, кисель или печеные яблоки. Сколько различных обедов умел готовить этот повар?

Если вы разобрались в правиле произведения, то ответ найдете сразу: повар умел готовить 4 x 5 x 3 x 3, то есть 180 различных обедов. Так что он мог ни разу не повторить обеда за три смены.

Задача 8. В одном городе были трехзначные велосипедные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 и 8, потому что первая из них похожа на вытянутое колесо, ну, а что значит для велосипедиста восьмерка колеса, знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?

Чтобы решить эту задачу, будем составлять номера следующим образом. Сначала выберем цифру сотен. Так как цифры 0 и 8 запретны, то остается 8 различных возможностей, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Столько же возможностей и для выбора цифры десятков, и для выбора цифры единиц. А тогда по правилу произведения получаем, что общее число велосипедных номеров, которые можно было выдать в этом городе, равно 8 x 8 x 8, то есть 512. Так что на всех обладателей велосипедов номеров не хватило. Поэтому пришлось велосипедистам смягчить свои пожелания. Они согласились на цифру 0. После этого число номеров стало равно 9 x 9 x 9, то есть 729, и их хватило на всех.

Задача 9. Катание на карусели. Ребята Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женя решили покататься на карусели. На ней было 6 сидений. Одно изображало льва, другое - тигра, третье - слона, четвертое - оленя, пятое - медведя и шестое - жирафа. Ребята заспорили, кому на какого зверя садиться. Поэтому они решили перепробовать все способы. Сколько раз пришлось им прокатиться на карусели?

Чтобы решить эту задачу, будем сажать ребят в порядке алфавита. Первым выбирал Андрей. Он мог сесть на любого из шести зверей, так что у него было 6 возможностей выбора. Но когда он занял свое место. Боре остались лишь 5 возможностей – одно место было уже занято. Точно так же Вите остались 4 варианта выбора, Грише – 3, Диме – 2, а когда садился на карусель Женя, ему оставалось только одно свободное место.

А теперь по правилу произведения находим, сколькими способами могли сесть за карусель ребята: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. В математике такое произведение обозначают 6! и называют “6-факториал”. Перемножая эти числа, получаем ответ 720. Так что, если даже они катались в день по 20 раз, то им пришлось бы больше месяца ходить каждый день в парк.

Если бы и ребят, и мест на карусели было не 6, а 8, то пришлось бы перемножать числа от 1 до 8. Это произведение равно уже 40 320. А для десятиместной карусели и десяти ребят получается более 3 миллионов вариантов.

В другой раз на ту же карусель пришли только четверо ребят: Андрей, Боря, Витя и Гриша. Узнаем, сколькими способами могут они сесть на нее. По правилу произведения надо перемножить лишь четыре числа: 6, 5, 4 и 3. Получится ответ 360. А если бы трое ребят решили перебрать все способы катания на десятиместной карусели, то умножать пришлось бы только три числа: 10, 9 и 8.

Задача 10. Хоккейная комбинация. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы.

<Рисунок 7>

3. Закрепление нового материала

Решение задач

1. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Запишите все возможные варианты покупки, осуществляя их перебор в алфавитном порядке.

б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?

2. В турнире по настольному теннису участвовали 5 человек.

а) Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по одной партии?

Ответьте на вопрос, используя способ кодирования, обозначив участников турнира цифрами 1, 2, ....

3. В шестом классе изучается 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все разные?

Подсказка: на первом уроке можно провести любой из 8 предметов, на втором уроке – любой из оставшихся 7 предметов, на третьем уроке …

4. В магазине имеется четыре типа диванных подушек: круглые, овальные, прямоугольные и треугольные. Сколько вариантов покупки имеется у покупателя, который хочет приобрести две подушки?

Решите задачу, закончив построение дерева возможных вариантов.

5. Выпишите все трехзначные числа, используя при записи каждого числа цифры 1, 2, 3, причем каждую из них только один раз.

6. Фирма владеет четырьмя магазинами. Кассир магазина № 1 должен объехать остальные магазины, чтобы собрать выручку, и вернуться обратно. Какой из возможных маршрутов самый короткий?

<Рисунок 8>

7. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

8. Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой?

9. В буфете есть четыре сорта пирожков. Сколькими способами ученик может себе купить два пирожка? два разных пирожка?

10. Сколько существует шестизначных чисел, у которых:

а) третья цифра – 3;

б) последняя цифра – четная;

в) на нечетных местах стоят нечетные цифры;

г) на нечетных местах стоят четные цифры?

11. Четыре друга купили билеты на один и тот же поезд. При этом оказалось, что два билета в один вагон, а два в другой. Из скольких вариантов посадки в два вагона им придется выбирать?

12. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вар антов расписания можно составить на этот день?

13. В палатке имеется три сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо. Наташа и Данила решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки?

14. Проводится олимпиада по биологии. Для подарков участникам приготовили различные растения: кактусы, фикусы, лимоны, герань. Сколько различных призов можно из них составить, если каждому победителю решено давать по два любых растения? Как изменится решение задачи, если призы можно составлять только из двух разных растений?

15. Запишите все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 2, 5, 9, используя при записи числа каждую цифру только один раз. Сколько всего таких чисел можно составить?

16. Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?

17. Для начинки пирогов у Наташи есть капуста, яйца, зелень лук и клубничное варенье. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? При этом не надо забывать, что пироги должны быть вкусными. Вряд ли кто из вас захочет съесть пирог с начинкой из капусты с клубничным вареньем.

18. Наташа, Данила, Андрей и Маша – лучшие литераторы в классе. На школьную олимпиаду "Знатоки литературы" нужно выставить команду из двух человек. Можно ли составить 5 различных команд? Сколько различных команд, составленных из одной девочки и одного мальчика, может выставить данный класс?

19. В клетке сидят 7 мартышек. Служитель зоопарка должен дать каждой из них по два любых плода. При этом надо учесть, что капризные мартышки не любят получать одинаковые наборы. Сможет служитель угостить всех мартышек, если у него есть только бананы, яблоки и персики? Сколько еще других сортов фруктов надо иметь служителю, чтобы угостить всех мартышек?

20. В студии современного танца лучше всех танцуют четыре девочки – Аня, Ира, Оля и Яна и три мальчика – Боря, Володя и Гриша. Руководитель студии должен отправить на конкурс одну танцевальную пару, составленную из мальчика и девочки. Из скольких вариантов он должен выбирать?

21. Данила идет на день рождения к Наташе и хочет подарить два букета – один Наташе, один ее маме. Сколькими способами он может выбрать два букета, если в магазине есть букеты гвоздик, тюльпанов и сирени?

4. Анализ урока (подведение итогов, что успели сделать, что не успели (почему?), оценки за урок).

5. Домашнее задание: задается с учетом выполненных заданий на уроке из рабочей карточки.

Рабочая карточка учащегося, использующаяся на уроке, представлена в приложении 1.