“Счет и вычисления – основа порядка в голове”
И. Песталоцци
Современный уровень развития науки и техники требует от ученика прочных, глубоких математических знаний. Всем нам известно, какую важную роль играет в обучении, вычислительные навыки. Если дать четкое определение вычислительным навыкам, то это высокая степень овладения вычислительными приемами. Чтобы приобрести вычислительные навыки, нужно, значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнить эти операции быстро. Полноценный вычислительный навык характеризуется: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.
Правильность – это когда ученик правильно выбирает и выполняет операции, правильно находит результат арифметического действия над данными числами.
Осознанность – ученик осознает на основе, каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решил пример и почему так решил.
Рациональность – ученик выбирает для данного случая более рациональный прием, то есть выбирает те операции, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату.
Обобщенность – ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, то есть он способен перенести прием вычислений на новые случаи.
Автоматизм – ученик выделяет и выполняет операции быстро.
Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Ни один пример, ни одну задачу по физике, химии, математике, черчению нельзя решать, не владея хотя бы элементарными приемами вычислений. У ученика овладение прочными вычислительными навыками, вырабатывается интуитивное предчувствие результата, гораздо меньше проблем с математикой, он умеет быстро находить ошибки и необходимую информацию.
Вычисления активизируют память учащихся, внимание, стремление к рациональной организации деятельности, оказывающие существенное влияние на развитие личности учащихся. Поэтому вычислительные навыки являются одной из основных содержательных линий школьного курса математики.
В последнее время, проводя в жизнь идею развивающего обучения и углубленного учебного плана, мало стали обращать внимание на развитие у учащихся вычислительных навыков. Анализ контрольных работ, домашних заданий, экзаменационных работ показывает, что большинство учащихся недостаточно владеют вычислительными навыками, допускают ошибки в вычислениях. У учащихся возникают затруднения при умножении, делении десятичных и простых дробей, при сложении и вычитании смешанных дробей с разными знаменателями, много встречается ошибок при нахождении процента от числа и числа по его процентам, не правильно определяют порядок действий в вычислительных примерах. Учащиеся выполняют с ошибкой деление многозначного числа на двузначное, когда в частном есть нули. Часто встречаются ошибки в умножении нуля на число.
Все эти недостатки оказывают отрицательное влияние на усвоение учащимися курса математики. Недостаточное умение выполнить выполнять вычисления создает трудности при выполнении практических работ, при решении задач на уроках геометрии. Часть учеников не могут правильно вычислить площади, объемы, периметры простейших геометрических фигур, так как неверно умножают, складывают.
Ошибки, допущенные в начальном звене в процессе вычислений, не устраняются иногда и в среднем звене. Об этом говорят те факты, что часть выпускников основной школы на письменном экзамене по алгебре не умеют правильно найти значение числового выражения, вычислить степени числа, вычислить неизвестную величину в простейших уравнениях. Из-за отсутствия должного внимания к вычислительным навыкам, к вычислениям учащихся, ученики, решив задачу, не могут сравнивать полученные результаты с реальностью, интерпретировать решения.
Я считаю основными причинами невысокой вычислительной культуры учащихся можно выделить:
1. Низкий уровень мыслительной деятельности;
2. Отсутствие контроля со стороны родителей при выполнении домашнего задания;
3. Неразвито внимание и память учащихся;
4. Недостаточная подготовка учащихся за курс начальной школы;
Владение вычислительными навыками имеет огромное значение для усвоения изучаемого материала, правильно организованная вычислительная работа воспитывает у ребят трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, аккуратное выполнение задания, творческое отношение к труду. Без прочных умений и навыков вычислений изучение математики умножается, допущенные ошибки сбивают ученика с пути, намеченного для достижения результата, внимание, сосредоточенное на осмысление, переносится на преодоление вычислительных ошибок.
В стандарте основного общего образования по математике есть требование к уровню подготовки выпускника. Он должен уметь:
Выполнять устно арифметические действия, сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметических операций с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем;
Переходить от одной формы записи чисел к другой, предоставлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты в виде дроби и дробь в виде процента;
Выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа, находить значение числовых выражений.
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
- решения несложных практических расчетных задач;
- устной прикидки и оценки результата вычислений с использованием различных приемов;
Поэтому я выбрала своей методической темой: “Развитие вычислительной культуры учащихся”. Формирование вычислительных навыков, обучение к рациональным приемам – одна из главных задач учителя математики.
Цель: научить учащихся правильно выполнять устные и письменные вычисления.
Работа по данной теме была направлена на решение следующих задач:
- Сформировать у учащихся сознательные и прочные вычислительные навыки;
- Научить учащихся определенному виду вычислений: письменное, устное, письменное с промежуточными устными вычислениями;
- Развитие внимания и памяти у учащихся;
ГИПОТЕЗА: если сформировать у учащихся сознательные и прочные вычислительные навыки, развить внимание и память, научить всех учащихся, на основе определенного вида вычислений, то научим учащихся правильно выполнять устные и письменные вычисления.
Возникла ИДЕЯ: необходимо создать комфортную среду на уроке для учителя и ученика – снять непонимание, раздражительность, оптимизировать процесс обучения, осуществлять субъективно-личностный подход в обучении, работать не с классом вообще, а конкретно с каждым учеником.
Теоретической базой моей работы является идея обучения, идущего впереди развития и ориентированного на развитие ребенка теория Л.С. Выгодского. Он выделил два уровня в развитии ребенка:
- Зона актуального развития, где ученик может работать самостоятельно.
- Зона ближайшего развития, в которой ребенок еще не в состоянии самостоятельно выполнить задание, но может его выполнить с помощью взрослых.
Технология:
Для формирования у школьников сознательных прочных вычислительных навыков, использую различные приемы и формы.
Умножение и деление целых чисел.
Теоретической основой, которой является замена отдельного компонента или их группу равнозначным выражением или одним числом, а также в пределах произведения перемещать отдельные сомножители или некоторую их группу. При этом широко применяем распределительный закон. В целом многие вычисления значительно упрощаются.
1. Умножение и деление с округлением
1.1.1. Прием округления в случае умножения.
Например, 398·9
Сколько единиц надо добавить к первому сомножителю, чтобы получить ближайшее “круглое” число? Число 398 близко 400.
Итак, 398·9=(400-2).9=400. 9-2. 9=3600-18=3582
А можно округлить второе число:
398· 9=398·(10-1)=398. 10-398. 1=3980-398=3582
1.1.2. Прием округления в случае деления:
Например, 5174:13
Сколько единиц недостает делимому до близкого “круглого” числа, которое легко можно разделить на 13? Значит, делимое можно представить как 5200 без 26
Итак, 5174:13=(5200-26):13=5200:13-26:13=400-2=398
1.2.Умножение и деление “по частям”.
1.2.1. Умножение чисел “по частям”.
23125=(20000+3000+125)·8=20 000·8+3 000·8+125·8=
=160 000+24 000+1 000=185 000
При выполнении умножения, надо хорошо запомнить:
2·5=10; 4·25=100; 8·125=1 000; 20·5=100.
1.2.2. Деление чисел “по частям”.
Например,
683 485:17=(680 000+3 400+85):17=680 000:17+3 400:17+85:17=
=4 000+200+5=40 205
2. Умножение и деление смешанного числа на целое число или на правильную дробь.
Многие приемы вычислений с целыми числами применимы к дробям, особенно это видно в случае умножения и деления смешанных чисел на целое число и на правильную дробь.
2.1. Умножение и деление “по частям”.
Есть случаи, когда нет надобности смешанное число, преобразовывать в неправильную дробь, а достаточно использовать распределительный закон.
Например,
2.2. Умножение и деление с округлением.
Все рассмотренные приемы применимы и к десятичным дробям.
3. Возведение в квадрат
Особый интерес представляют некоторые частные приемы возведения чисел в квадрат.
3.1. Если целое число надо возвести в квадрат, то достаточно к нему прибавить (или отнять) столько единиц, чтобы получить “круглое” число и столько же вычесть (прибавить) из заданного числа. Полученные два числа перемножить и прибавить квадрат того же числа, которое прибавляем (вычитаем) для округления числа.
Например,
382 = (38+2)(38-2) + 22 = 40 . 36 + 4 = 1440 + 4 = 1444
832 = (83-3)(83+3) + 32 = 80 . 86 + 9 = 6880 + 9 = 6889
3.2. Данный пример удобен при возведении в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются пятеркой. Тогда число десятков умножают на натуральное число, следующее за ним и к полученному произведению, приписывают 25.
Например,
| 652 = 4225 | 752 = 5625 | 852 = 7225 |
| 6 . 7 = 42 | 7 . 8 = 56 | 8 . 9 = 72 |
Рассматриваемые приемы возведения в квадрат целых чисел применимы и к дробям.
4. Вычисления с использованием частных свойств чисел.
4.1. Умножение числа на 11
а) когда число, равное сумме числа единиц и десятков, меньше 10.
Пример: 43·11=473
4+3=7 и эту сумму (7) ставим между десятками и единицами, т.е. числа раздвигаем.
б) сумма больше десяти, тогда излишек 10 (3) пишем 49·11=
между десятками и единицами, а число десятков (4) увеличиваем на 1.
49·11=539 4+9=13
в) по этому правилу можно умножить любое многозначное число на 11
1) 36235·11=398585 Сумма разрядных единиц меньше 10.
на первом месте слева пишем 3;
складываем 3+6=9 и пишем рядом;
6+2=8; 2+3=5; 3+5=8;
на последнем месте пишем число единиц 5.
2) Сумма разрядных единиц больше 10
3876532·11= 42641852
на первое место справа пишем 2;
3+2=5; 3+5=8; 6+5=11; 7+6=13; 13+1=14; 8+7=15; 15+1=16; 8+3=11; 11+1=12;
3+1=4 – это первое число слева у полученного произведения.
4.12. Умножение на 111
При умножении двузначного числа на 111, находим сумму цифр данного двузначного числа, раздвигая цифры первого множителя, дважды пишем сумму цифр данного двузначного числа.
Например: 35·111=3885
63·111=6993
4.3. Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на 1.
a) Сумма разрядных десятков меньше 10.
Например: 31·61=
3·6=18 произведение десятков – это начало числа;
3+6=9 сумма десятков – это следующее число ответа
справа приписываем 1;
31·61=1891;
б) сумма разрядных десятков больше 10
71·81=5751
к произведению разрядных десятков прибавляем 1, получаем начало результата 7·8=56, 56+1=57;
складываем число десятков 7+8=15, число единиц 5 и будет следующим знаком искомого произведения;
приписываем справа единицу и получим результат 5751.
Как видим, все вычислительные приемы, приведенные выше, строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся должны осознавать факт использования теоретических положений, лежащих в основе вычислительных навыков. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях, значительно облегчает процесс вычислений, способствует формированию положительных мотивов к этому виду учебной деятельности.