Цели урока:
1) Вывести с учащимися формулу длины окружности.
2) Научится решать задачи с использованием этой формулы;
а также:
- познакомить учащихся с историей возникновения математических понятий;
- приобрести навыки исследовательской работы.
Оборудование:
- портреты А.С.Пушкина и Архимеда;
- большая виниловая пластинка;
- чертёжные инструменты: циркуль и линейка со шкалой;
- картонные круги с радиусами 1 см; 1,5 см и 2 см;
- нитки, ножницы;
- картинка Спасской башни Кремля.
Ход урока
Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.
(А.С.Пушкин)
(Загадка)
Танцевальное движенье
Совершеннейшей ноги
И круги, круги, круги
Вызывают восхищенье.
Балерина создавала
Точный круг в один момент,
Подивился ей немало
Достославный геометр.
О прекрасной балерине
Вспоминал частенько он
Не по этой ли причине
... был изобретён.
(Циркуль)
Циркуль от латинского слова “circulus” - круг, окружность (“circa” - вокруг, кругом, то есть цирк – это круг)
Ещё в пятом классе мы познакомились с такими геометрическими понятиями как окружность, круг и их элементами.
Чтобы вспомнить основные понятия, выполним следующую работу. На каждом столе лежат по две карточки. На первой записано начало определения, на другой - их продолжения. Найти для каждого определения верное продолжение.
Карточка 1
| Окружность – замкнутая линия без самопересечений… |
| Круг – это часть плоскости,… |
| Радиус – это отрезок, соединяющий… |
| Диаметр – это отрезок, соединяющий… |
| Хорда - это отрезок, соединяющий… |
| Диаметр – это хорда,… |
Карточка 2
| …все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. |
| …ограниченная окружностью. |
| …две точки окружности. |
| …проходящая через центр. |
| …соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. |
| …две точки окружности и проходящий через центр. |
(Сверяется правильность восстановления определений.)
Задание 1
На рисунке 1 назвать радиус, центр, диаметр, хорду окружности.
Рисунок 1
- Что изображено красным цветом? (Окружность)
- Что можно вырезать из бумаги? (Круг)
- А какая связь между ними?
У круга есть одна подруга,
Знакома всем её наружность.
Она идёт по краю круга
И называется окружность.
Задание 2
Возьмите круг из картона, который вы вырезали дома (ученики первого ряда радиусом 1 см, второго – 1,5 см, третьего – 2 см). Отметьте на его окружности произвольную точку А, начертите в тетради прямую и прокатите по ней вырезанный круг, отметив на прямой два различных положения точки А. (Все действия показываются учителем на доске с кругом радиусом 10 см.)
Измерьте расстояние между отмеченными точками, записав результат измерения в тетрадь. Повторите измерения с помощью нитки, обтягивая ею картонный круг. (Что за величину мы получили?)
Полученную длину окружности обозначить латинской буквой c (c=…)
А теперь измерьте диаметр окружности. Обозначим его латинской буквой d (d=…) Помните, что диаметр проходит через центр окружности.
Выписать на доску результаты полученных измерений
1 ряд 2 ряд 3 ряд (у доски) d= d= d= d= c= c= c= c=
Какую закономерность между диаметром и длиной окружности здесь просматривается? (Чем больше диаметр, тем больше длина окружности.)
То есть диаметр и длина окружности величины прямо пропорциональные. Найдите значение выражения c:d, выполнив деление до тысячных и округлив до сотых.
Какие результаты были получены? (Близкие к 3) А ведь окружности были различными.
Какую бы окружность мы не взяли. Частное от деления длины окружности на диаметр всегда одно и то же число. Это число обозначается греческой буквой ? (пи)
Его значение П=3, 14159265358…
Желающим запомнить поможет мнемоника - придумывание стихотворных, легко запоминающихся фраз, число букв, в каждом слове которых указывает соответствующую цифру.
Например:
| Это | я | знаю | и | помню | прекрасно |
| 3 | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 |
| Пи – | лишние | знаки | тут | чужды, | напрасны… |
| 2 | 6 | 5 | 3 | 5 | 8 … |
Какая это дробь? (Она десятичная.) На что указывает многоточие? (Дробь бесконечна.) Периодическая она или нет? Почему? (Непериодическая, так как никакая цифра или группа цифр не повторяется.)
Для решения задач следует запомнить П=3,14. А кто нашёл более подробные сведения о числе П?
Сообщение ученика
Число П (пи) часто встречается в математике. Оно связано с решением задач на вычисление длины окружности, площади круга и многих других стереометрических задач в пространстве. Уже древние египтяне использовали это число для решения указанных задач. Они принимали П=3, что вполне их устраивало, так как высокая точность им не была необходима. Довольно точное значение числа П (пи) в третьем веке до нашей эры нашёл древнегреческий учёный Архимед: П=22/7. Легенда гласит, что когда древнегреческий город Сиракузы, где жил в своё время Архимед, захватили римляне, учёный, занимаясь научными исследованиями, чертил окружности на песке. Солдату, который пришёл убить его, он воскликнул: “Убей меня, но не тронь моих кругов”.
Итак, c:d= П. Выразив отсюда c, получим формулу c= П•d (1)
Задача 1 (Устно)
Витя Верхоглядкин провёл 11 диаметров окружности. Потом он сосчитал радиусы. Их оказалось 21. Правилен ли его ответ? (Нет, радиусов будет в два раза больше, чем диаметров, то есть 22.)
Учитывая, что d=2r, получим новую формулу c= 2Пr (2)
Задача 2
Диаметр долгоиграющей пластинки 50 см. Найти длину окружности этой пластинки. (П округлить до десятых)
Решение
c =3,1•50=155 см=1,55 м
Ответ: длина окружности долгоиграющей пластинки равна 1,55 м.
Задача 3 (Устно)
В стране Геометрия есть остров Кругляндия. В середине острова стоит остроконечная башня, от неё расходятся прямые улицы, все они ведут к морю. Схема острова на рисунке 2.
Рисунок 2
Улиц в этом городе много. По какой улице следует идти, чтобы быстрее добраться до моря? (По любой, так как улицы – это радиусы круга.)
Когда вы прокатывали круг по прямой, что напоминало вам это движение? (Движение колеса.)
Колесо – одно из величайших достижений человечества, которое было изобретено в четвёртом веке до нашей эры в Древнем Востоке. Радиус при этом переводится как спица колеса.
Вопрос
В велосипедном колесе 20 спиц. Сколько будет промежутков между спицами?
Задача 4
Колесо на расстоянии 375 метров сделало 150 оборотов. Найти диаметр колеса. Ответ округлите до десятых долей метра.
Решение
- 375:150=2,5 (м) – длина окружности колеса
- 2,5:3,14=0,79…
0,8 (м)
– диаметр колеса
Ответ: 0,8 м. (Много это или мало? Какое транспортное средство может иметь колесо такого диаметра?)
Задача 5
Стёпа Смекалкин построил окружность, провел её диаметр AB. Он оказался равным 4 см, а затем стёр окружность, и остался один диаметр.
С помощью циркуля и линейки восстановить окружность, которую стёр Стёпа и найдите её длину (самостоятельно с последующей проверкой.)
| 1 вариант | 2 вариант |
| (по формуле 1) | (по формуле 2) |
| c=3,14•4=12,56 (см) | c=2•3,14•2=12,56 (см) |
Вопрос
Как разрезать круг на две равные части, которые при наложении совпали бы? (Свернуть по диаметру.)
Домашняя работа
1) Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Кремля 3,27 м. Какой путь проходит конец этой стрелки за час? (Ответ округлите до сотых долей метра.)
2) Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. За 2,5 минуты колесо сделало 500 оборотов. С какой скоростью идет тепловоз?
3) Сравните периметр квадрата и длину окружности, изображённой на рисунке 3. Значение П возьмите равное 3,14. AB=20 см.
Рисунок 3
4) Творческое задание: по возможности придумать стихотворную фразу для запоминания числа ?.