Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе по теме "Метод математической индукции"

Разделы: Математика

Цели:

Дидактические:

  • обеспечить в ходе урока усвоение метода математической индукции;
  • сформировать умение применять этот метод для доказательства тождеств, неравенств, задач на делимость, логических задач.

Воспитательные:

  • формирование научного мировоззрения;
  • формирование интереса к исследовательской деятельности;
  • формирование культуры речи;
  • формирование умения корректно высказывать точку зрения.

Развивающие:

  • развитие у школьников умение выделять главное, существенное в изучаемом материале;
  • умение сравнивать, обобщать, логически излагать свои мысли;
  • формирование интеллектуальных чувств (новизны, интереса, удивления).

Форма обучения:

Урок лекция, беседа. Объяснение нового материала

Материально-техническое обеспечение:

Мультимедийное оборудование, опорный конспект урока (Приложение 2). Презентация по данной теме (Приложение 1).

Ход урока

I. Актуализация знаний

При изучении явлений в любой области знаний – будь, то математика или история, физика или медицина, астрономия или экономика всюду и всегда основным этапом является установление определенных закономерностей связывающих отдельные элементы изучаемого явления. Мы подмечаем определенную связь между элементами изучаемого явления справедливого для многих частных случаев, затем распространяем на все случае вообще, устанавливая тем самым общий закон, раскрывающий сущность данного явления.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Например, утверждение “Во всяком параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является общим, так как относится ко всему множеству параллелограммов. В то же время утверждение “В параллелограмме ABCD диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является частным, так как относится к конкретному параллелограмму ABCD.

На основе частных утверждений делают некоторые предположения (гипотезы) о справедливости какого либо утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда ошибочными.

Многие свойства чисел сначала были открыты путем наблюдений, задолго до того как истинность была строго доказана.

II. Основная часть урока

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio – наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П.Ферма, проверив, что числа

, , , , простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида , простые. Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII веке Л. Эйлер нашел, что — составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой надо потом доказать.

В случае когда утверждение касается конечного числа объектов, его можно доказать, проверяя для каждого объекта.

В чем же заключается суть исследования которое позволяет доказать или опровергнуть математическое утверждение? Ответ мы найдем при разборе следующей задачи.

Задача

Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.

1,3,5,7,9,11,13…

Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

Решение

Составим суммы одного, двух, трех, и т.д. первых членов данной последовательности:

S1=1;
S2=1+3=4;
S3=1+3+5=9;
S4=1+3+5+7=16;
S5=1+3+5+7+9=25;

Заметим, что

S1=12;
S2=4=22;
S3=9=32;
S4=16=42;
S5=25=52;

На основе этих наблюдений мы можем высказать предположение, что

Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)=n2 (1)

Верно ли это предположение при любом целом положительном n?

Приняв наше предположение за закон, не уподобимся ли мы тем зоологам, которые до открытия Австралии утверждали, что все лебеди на земле белые?

Лучше пойдем по иному пути в поисках общего доказательства высказанного нами утверждения.

Предположим, что формула (1) верна для n=k, где kN, то есть

1+3+5+7+…+(2k-1)=k2 (2)

Докажем ее справедливость и для числа, непосредственно следующего за k, для числа n=k+1.

Sk+1=1+3+5+7+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (3)

Заменим на основе равенства (2) Sk=1+3+5+7+…+(2k-1) на k2.

Sk+1= Sk +(2k+1)= k2 +(2k+1)= (k+1)2 (3)

Мы пришли к очень важному выводу:

Если наше предположение верно для некоторого натурального k, то оно непременно остается верным для следующего целого числа k+1.

Мы уверены, что предположение верно, для n=1,2,3,4,5. Будучи верным, для 5 оно на основе полученного вывода оно должно быть верным и для следующего целого числа 6, будучи верным, для 6 оно должно быть верным и для 7 и так далее. Предположение верно для всех натуральных чисел.

Данное решение может быть укорочено. При переходе, от какого либо произвольного натурального числа k к следующему за ним натуральному числу k+1 нужно ли проверять наше предположение для n=5,4,3,2. Достаточно быть уверенным в том, что оно справедливо для n=1. И тогда мы скажем: если предположение верно для n=1, то оно на основе доказанного верно и для n=2, если оно верно при n=2, то оно верно и для n=3 и так далее.

Решая эту задачу, мы познакомились с очень важным методом доказательства. Такой можно было бы назвать “переходом от k к k+1”, но обычно его называют методом математической или полной индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, который заключается в следующем.

Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

  1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.
  2. Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурально n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Само доказательство методом математической индукции состоит из следующих частей.

  1. Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис).
  2. Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.
  3. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

III. Закрепление материала

Применим метод математической индукции к решению следующей задачи.

Задача

Доказать, что , при n2.

Решение

  1. Гипотеза имеет смысл при n2. Проверим верность утверждения при n=2

    2. , 57=19? 3

  2. Предположим, что при n=k>2, . Докажем, что .

    3. Гипотеза оказалось справедливой и при n=k+1

  3. На основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n2.

При доказательстве гипотезы методом математической индукции очень важно выполнение всех его составляющих.

Рассмотрим следующие примеры.

  1. При отсутствии первого шага можно “доказать”, что числа вида 2n-1 являются четными при nN.

    2. Пусть при n=k утверждение верно, то есть 2k-1 четное число.
    Проверим верность утверждения при n=k+1
    2(k+1)-1=2k+2-1=(2k-1)+2
    По предположению индукции 2k-1 четное число, следовательно число (2k-1)+2 тоже четное.
    Отсутствие первого шага приводит к ошибке.

  2. В поисках формулы дающий только простые числа Л. Эйлер подверг испытанию трехчлен

    3. P(n)=n2+n+41
    Этот трехчлен давал простые числа при всех значениях n от 1 до 39:
    P(1)=12+1+41=43;
    P(2)=22+2+41=47;
    P(3)=32+3+41=53;
    …
    P(39)=392+39+41=1601;
    P(40)=402+40+41=1641=412.

Обратите внимание, что отсутствие второго шага приводит к неверному результату

Метод математической индукции можно эффективно использовать для формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n, для доказательство тождеств и неравенств, задач на делимость, логических задач.

Задача

Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.

Решение

Пронумеруем все рукопожатия в мире от первого (его не обязательно должны были совершить Адам и Ева) до произвольного натурального n. Очевидно, что при n=1 утверждение задачи справедливо. Предположим, что оно верно при каком-то n=k, то есть количество людей участвовавших в рукопожатиях с номерами от 1 до k и сделавших нечетное количество рукопожатий, четно.

Докажем справедливость этого утверждения для n=k+1, возможны три варианта осуществления k+1 рукопожатия: друг другу пожимают руки:

  • два особых человека;
  • два неособых человека;
  • один особый и один неособый человек.

В каждом из этих трех случаев количество особых людей либо уменьшается на два, либо увеличивается на два, либо неизменяется.

Утверждение доказано.

IV. Итоги урока

Вывод

Метод математической индукции не дает ни каких указаний, как построить гипотезу. Вопрос о том, как возникает гипотеза, принадлежит к той области, в которой нет никаких общих правил, здесь делает свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция.

Без индукции было бы невозможно творчество ни в математике, ни в физике, ни в любой иной области науки.

“Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику” А.Н. Колмогоров

Домашнее задание

  1. Доказать неравенство , где x-1, x0, nN, n>1.

    2. Это неравенство называется неравенством Бернулли.

  2. Доказать, что сумма квадратов чисел натурального ряда от 1 до n, равна , то есть 12+22+32+…+n2=