Цели урока:
Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.
Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.
Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.
Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.
Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.
- Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
- Разложение левой части уравнения на множители.
- Введение вспомогательного угла.
- Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
- Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
- Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
- Графическое решения уравнения.
Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-4 человека) в зависимости от общего количества учащихся и их индивидуальных способностей и желания. Самостоятельно определяют для себя тему для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.
Организационный момент.
Учащимся сообщаются:
Тема урока:
“Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x - cos x = 1
Форма проведения: урок – семинар.
Эпиграф к уроку:
“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы”
(Д. Пойа)
Задачи урока:
а) рассмотреть возможность решения одного и
того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами
решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение
вспомогательного угла, универсальная
подстановка).
План семинара
- Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
- Разложение левой части уравнения на множители.
- Введение вспомогательного угла.
- Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
- Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
- Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
- Графическое решения уравнения.
Содержание.
1. Слово предоставляется первому участнику.
Приведение уравнения sin x - cos x = 1 к
однородному относительно синуса и косинуса.
Разложим левую часть по формулам двойного
аргумента, а правую часть заменим
тригонометрической единицей, используя основное
тригонометрическое тождество:
2 sin 
cos 
- cos
+ sin 
= sin 
+ cos 
;
2 sin cos - cos =0 ;
cos 
= 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из
множителей равен нулю, а другие при этом не
теряют смысла, поэтому следует
cos =0 ; =
= 0 -
однородное уравнение первой степени. Делим обе
части уравнения на cos . (cos 
0, так как если
cos = 0 , то sin - 0 = 0 
sin = 0, а это противоречит
тригонометрическому тождеству sin + cos = 1).
Получим tg -1
= 0 ; tg = 1 ; = 
Ответ: 
2. Слово предоставляется второму участнику.
Разложение левой части уравнения sin x - cos x = 1 на множители.
sin x – (1+ cos x ) = 1; используем формулы 1+ cos x = 2 
, 
получим 
;
далее аналогично:
произведение равно нулю, если хотя бы один из
множителей равен нулю, а другие при этом не
теряют смысла, поэтому следует
cos =0 ; =
= 0 -
однородное уравнение первой степени. Делим обе
части уравнения на cos . (cos 0, так как если
cos = 0 , то sin - 0 = 0 sin = 0, а это противоречит
тригонометрическому тождеству sin + cos = 1)
Получим tg -1
= 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:
3. Слово предоставляется третьему участнику.
Решение уравнения sin x - cos x = 1 введением вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение sin x - cos x = 1. Умножим и
разделим каждое слагаемое левой части
уравнения на 
.
Получим 
и
вынесем в левой части уравнения за скобку. Получим 
; Разделим обе
части уравнения на и используем табличные значения
тригонометрических функций. Получим 
; Применим
формулу синус разности.
;
Легко установить(с помощью тригонометрического
круга), что полученное решение распадается на два
случая: 
; 
Ответ:
4. Слово предоставляется четвертому участнику.
Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
Запишем уравнение в виде 
, используя формулу приведения 
. Применяя
формулу разности двух синусов, получим
;
и так далее, аналогично предыдущему способу.
Ответ:
5. Слово предоставляется пятому участнику.
Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.
Рассмотрим основное тригонометрическое
тождество 
,
откуда следует
подставим
полученное выражение в данное уравнение.
sin x - cos x = 1 
,
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.
Полученные решения эквивалентны объединению
трех решений: 
Первое и второе решения совпадают с ранее
полученными, поэтому не являются посторонними.
Остается проверить третье решение 
Подставим.
Левая часть: 
Правая часть: 1.
Получили: 
,
следовательно, – постороннее решение.
Ответ:
6. Слово предоставляется шестому участнику.
Возведение обеих частей уравнения sin x - cos x = 1 в квадрат.
Рассмотрим уравнение sin x - cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.
;
;
Используя основное тригонометрическое
тождество и формулу синуса двойного угла,
получим 
; sin 2x = 0 ; 
.
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения - посторонние.
Ответ:
7. Слово предоставляется седьмому участнику.
Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x - cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:
Запишем данное уравнение с учетом приведенных
формул в виде 
.
,
получим 
ОДЗ данного уравнения – все множество R. При
переходе к 
из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет
смысла, т. е. 
или 
.
Следует проверить, не являются ли решениями данного
уравнения. Подставим в левую и правую часть
уравнения эти решения.
Левая часть: 
.
Правая часть: 1.
Получили 1=1. Значит, - решение данного уравнения.
Ответ:
8. Слово предоставляется восьмому участнику.
Рассмотрим графическое решение уравнения sin x - cos x = 1.
Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.
Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.
y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1
вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения
являются решениями данного уравнения.
Ответ:
Итог урока.
- Учащиеся научились решать тригонометрические
уравнения вида
, освоили новый материал. - На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.
- Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.
- Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литратурой.
Список использованной литературы:
- Татарченкова С.С. Урок как педагогический феномен – Санкт-Петербург: Каро, 2005
- Выгодский Н.В. Справочник по элементарной математике.-М.: Наука, 1975.
- Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Книга для учащихся 10-11 класса – М.: Просвещение, 1996.
- Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России – М.: ОГИЗ, 1946.
- Депман И.Я. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1999.
- Дорофеев Г.В. и др. Математика: для поступающих в вузы – М.: Дрофа, 2000.
- Математика: Большой энциклопедический словарь. – М.: БСЭ, 1998.
- Мордкович А.Г. и др. Справочник школьника по математике. 10-11кл. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум, 1997.
- 300 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
- 3600 задач по алгебре и началам анализа. – М.: Дрофа, 1999.
- Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – М.: Дрофа, 1999.
- Торосян В.Г. История образования и педагогической мысли: учеб. для студентов вузов. - М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2006.- 351 с.
- Крылова Н.Б. Педагогическая, психологическая и нравственная поддержка как пространство личностных изменений ребёнка и взрослого.// Классный руководитель.- 2000.- №3. –С.92-103.