Ты можешь стать умнее тремя путями:
путем опыта – это самый горький путь;
путем подражания – это самый легкий путь; путем
размышления – это самый благородный путь.
Китайская пословица.
Цели:
- познакомить с методами решения уравнений высших степеней и научить применять эти методы при решении тригонометрических уравнений.
- учить предвидеть и подтверждать, что метод приведет к цели.
- способствовать осуществлению самоконтроля, взаимоконтроля собственной деятельности.
Оборудование. На столах у учащихся таблица №1 и №2 (со списком уравнений) и карточка (самостоятельной работы), копировальная бумага.
Для самоанализа своей деятельности на уроке они пользуются оценочным листом (Приложение 2). Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах. Работа состоит из шести этапов.
ХОД УРОКА
Вводная беседа (2 мин.) (Приложение 1)
Тема урока (читаю). Эпиграфом сегодняшнего
урока будет китайская пословица (читаю). Этот
эпиграф уверенна помогает понять не только
математические задачи, стоящие перед нами на
уроке, но и общечеловеческие. Каким путем пойти
(какой путь выбрать).
Сегодня мы поговорим об основных методах решения
тригонометрических уравнений. Мы знаем, что
правильно выбранный метод часто позволяет
существенно упростить решение, поэтому все
изученные нами методы всегда нужно держать в
зоне своего внимания, чтобы решать конкретные
задачи наиболее подходящим методом.
Наша работа будет состоять из 6 этапов. Итоги
своей деятельности на каждом этапе фиксируете в
оценочных листах. Самооценка за урок зависит от
суммы набранных баллов на всех этапах.
Этап 1 (5 мин.)
На этом этапе мы проверим домашнее задание. Это уравнения:
1)
2)
3)
4)
1) Решение (проекция):
2) Взаимопроверка.
Критерии оценок: за каждое выполненное задание 1 балл. Выставляете в оценочный лист.
3) Анализ решения.
Анализ домашнего задания дает один из учеников.
– Какими методами решаются эти уравнения?
Этап 2 (4 мин.)
А теперь вспомним в чем суть каждого метода:
– А теперь попробуйте сформулировать идею графического метода решения уравнения f(x) = g(х).
Ответ:
1. Нужно построить графики функций y = f(x) и y
= g(x);
2. Найти точки их пересечения – корнями уравнения
служат абсциссы этих точек.
– В каких случаях лучше использовать этот метод?
Ответ: когда необходимо определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные значения корней.
– Итак, графические способы решения красивы,
просты, но не дают стопроцентной гарантии
решения любого рационального уравнения.
– В чем суть метода разложения на множители?
Ответ: суть метода заключается в следующем: уравнение f1(x)f2(x)f3(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений: f1(x) = 0; f2(x) = 0; f3(x) = 0.
– Решив уравнение этой совокупности, возьмите их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросьте как посторонние.
– Когда мы используем при решении уравнений
свойство монотонности функций?
Ответ: Во-первых, тогда, когда данное
уравнение имеет в одной части функцию
монотонную, а в другой – постоянную. Такое
уравнение не может иметь более одного корня.
Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения
представляет собой возрастающую, а другая –
убывающую функцию. Графики таких функций не
могут иметь более одной общей точки.
Следовательно, уравнение не может иметь более
одного корня.
– В чем суть метода введения новой переменной?
Ответ: Если уравнение f(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную y = g(x), решить уравнение p(у) = 0, а затем рассмотреть совокупность уравнений: g(x) = y1, g(x) = y2 … g(x) = yn, где у1, у2 … уn корни уравнения p(у) = 0. Владея данными методами, вы сможете решать тригонометрические уравнения.
Этап 3 (5 мин.)
При решении тригонометрических уравнений мы
приводим их с помощью различных преобразований к
простейшим уравнениям. Поэтому на 1 этапе
проверим навыки решения простейших уравнений.
Работа проводится по карточкам. Они у учащихся на
столах. Оригиналы сдаются учителю, а копии
оставляются для самопроверки. Баллы
выставляются в оценочный лист.
| № | Вариант №1 | Вариант №2 |
| 1 2 3 4 5 |
     |
     |
Критерии оценок: 5 баллов – 5 «+», 4 балла – 4 «+», 3 балла – 3 «+», 2 балла – 2 «+», 1 балл – 1 «+». Проверка с доской (проекция).
Этап 4 (4 мин.)
– Зная методы решения алгебраических уравнений, сможем ли мы с вами решить тригонометрические? Для этого возьмите таблицу №2. Каждому уравнению, если можно, укажите каким методом можно решить.
| № | Уравнение | Методы |
| 1 2 3 4 5 6 7 |
tg3 x + tg x – 2 = 0 4sin3 x + 4 cos2 x – sin x – 3 = 0 cos x + 2sin 2x = 0 8sin2 2x + cos 2x +1 = 0 sin2 x – 3sin x cos x + 2cos2x = 0 cos x = x2 +1 3cos x ctg x – 5ctg x + sin x = 0 |
1. Разложение на множители:
2. Введение новой переменной; |
Этап 5 (20 мин.)
– Каким методом можно решить
уравнения №1, 2, 3, 4, 5. Учащиеся отвечают и решают.
На этом этапе мы проверяем умение решать
уравнения №1, 2, 3, 4, 5.
№1:
№2:
| 4 | – 4 | – 1 | 1 | |
| 1 | 4 | 0 | – 1 | 0 |
 |
 |
№3:
№4:
№5:
Итог урока: Что я узнал?
Урок 2 (15 мин.)
№6:
№7.
Владея этими методами сегодня, вы в будущем сможете решать логарифмические и показательные уравнения.
3) 
Анализ. Какими методами их можно решить?
Уравнения являются математическими моделями
очень многих физических задач, также они
применяются в информатике. Поэтому решение
многих практических задач сводится к решению
уравнений.
Этап 6 (20 мин.)
Сейчас у вас последний этап, самый сложный и важный, я, думаю, путем размышления вы найдете метод решения уравнений из таблицы №3.
Самостоятельная работа (под копировальную бумагу) в двух вариантах. В конце самостоятельной работы сверяем ответы с доской. Выставляем баллы в оценочный лист, с учетом критерий оценок, и оцениваем свою работу за урок.
| Вариант №1 | Вариант №2 |
1.  2.  3.  4.  |
1.  2.  3.  4.  |
Критерии баллов:
«5» – за четыре верно выполненных задания;
«4» – за три верно выполненных задания;
«3» – за два верно выполненных задания;
«2» – за два выполненных задания, в которых
допущена вычислительная ошибка; «1» – одно
задание.
| № | Вариант №1 | Вариант №2 |
| 1 |  |
 |
| 2 |  |
 |
| 3 |  |
 |
| 4 | –1 | 0 |
Итог урока (5 мин.)
Домашнее задание. Дифференцированное, с учетом итоговой оценки за урок. Вы находитесь перед выбором домашнего задания. Как вы этот выбор осуществите? Почему ваш выбор таков?
«5» – учебник Виленкин Н. Я.657(8), 658(2,4), 659(8),
«4» – учебник Виленкин Н. Я. 657(2, 3, 4), 658(2), 659(2),
«3» – задачник Мордкович А. Г. 353, 355(а), 357(в), 362(б),
363(а),
Доп. задание: cos x + sin x = 1 –
решить всевозможными способами.
– Чему вы научились сегодня на уроке? Я до урока…, я после урока.
Урок заканчиваю словами из китайской пословицы (читаю). «Чтобы вы становились умнее путем размышления, ибо это самый благородный путь».