Урок алгебры и начала анализа "Производная тригонометрических функций"

Разделы: Математика

Тема: «Производная тригонометрических функций».
Тип урока – урок закрепления знаний.
Форма урока – интегрированный урок.
Место урока в системе уроков по данному разделу – обобщающий урок.
Цели поставлены комплексно:

  • обучающие: знать правила дифференцирования, уметь применять правила вычисления производных при решении уравнений и неравенств; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
  • развивающие: развитие интеллектуально-логических умений и познавательных интересов;
  • воспитательные: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Методы:

  • репродуктивные и продуктивные;
  • практические и словесные;
  • самостоятельные работы;
  • программированное обучение, Т.С.О.;
  • сочетание фронтальной, групповой и индивидуальной работы;
  • дифференцированного обучения;
  • индуктивно-дедуктивный.

Формы контроля:

  • устный опрос,
  • программированный контроль,
  • самостоятельная работа,
  • индивидуальные задания на компьютере,
  • взаимопроверка с применением диагностической карты учащегося.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

а) Сообщение целей и задач:

  • знать правила дифференцирования, уметь применять правила вычисления производных при решении задач, уравнений и неравенств;
  • совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
  • развивать интеллектуально-логические умения и познавательные интересы;
  • воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

б) Повторение учебного материала

Правила вычисления производных (повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением). док.7.

  1. Чему равна производная синуса?
  2. Чему равна производная косинуса?
  3. Чему равна производная тангенса?
  4. Чему равна производная котангенса?

 III. Устная работа

Найти производную.

Вариант 1.

Вариант 2.

у = 2х + 5.

у = 2х – 5.

у = 4cos х.

у = 3sin х.

у = tg х + ctg х.

у = tg х – ctg х.

у = sin 3х.

у = cos 4х.

Варианты ответов.

1

2

3

4

2

–2

5

–5

4sin х

– 4sin х

3cos х

– 3cos х

1/cos2х + 1/sin2х

1/cos2х–1/sin2х

1/sin2х –1/cos2х

1

4sin4х

– 4sin4х

3cos3х

– 3cos3х

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком –.

IV.  Решение уравнений с помощью производной

– Как найти точки, в которых производная равна нулю?

Чтобы найти точки, в которых производная данной функции равна нулю, нужно:

– определить характер функции,
– найти область определения функции,
– найти производную данной функции,
– решить уравнение f '(x) = 0,
– выбрать верный ответ.

Задача 1.

Дано:        у = х –   sin x.
Найти:  точки, в которых производная равна нулю.
Решение. Функция определена и дифференцируема на множестве всех действительных чисел, так как на множестве всех действительных чисел определены и дифференцируемы функции g(x)  =  x и t(x)  = – sin x.
Используя правила дифференцирования, получим f '(x)  =  (x – sin x)' = (x)' – ( sin x)' = 1 –  cos x.
Если f '(x) = 0, то 1 – cos x = 0.
cos x = 1/; избавимся от иррациональности в знаменателе, получим cos x = /2.
По формуле t = ± arccos a + 2n, n Z, получим: х = ± arccos /2 +  2n,   n Z.
Ответ:  х = ± /4  +  2n,     n Z.

V. Решение уравнений по алгоритму

Найти, в каких точках обращается в нуль производная.

f(x) = sin x + cos x

f(x) = sin 2x – x

f(x) = 2x + cos(4x – )

Ученик может выбрать любой из трёх примеров. Первый пример оценивается оценкой «3», второй – «4», третий – «5». Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой. Один ученик решает у доски. Если решение оказывается неверным, то нужно ученику вернуться к алгоритму и попытаться решить снова.

Программированный контроль.

Вариант 1

Вариант 2

y = 2х3

y = 3х2

y = 1/4 х4 + 2х2 – 7

y = 1/2 х4 + 4х + 5

y = х3 + 4х2 – 3х.
Решить уравнение y ' = 0

y = 2х3 – 9х2 + 12х + 7.
Решить уравнение y ' = 0.

y = sin 2х – cos 3х.

y = cos 2х – sin 3х.

y = tg х – ctg(х + /4).

y = ctg х + tg(х – /4).

y = sin2х.

y = cos2х.

Варианты ответов.

1

2

3

4

6х2

6х

6

6х3

2х3 + 4

х3 + 4х

2х3 + 4

2х3 + 4х

–3; 1/3

–1/3; 3

1; 2

–1; 2

сos 2х – sin 3х

2sin 3х – 3cos 3х

–2sin 2х – 3cos 3х

2cos 2х + 3sin 3х

1/cos2(х – /4) + 1/sin2х

1/cos2х + 1/sin2(х + /4)

1/cos2х – 1/sin2(х – /4)

1/cos2(х – /4)–1/sin2х

2sin х cos х

– sin 2х

sin 2х

2cos х

VI. Самостоятельная письменная работа по вариантам

На отдельных листах с последующей сдачей учителю вместе с диагностическими листами. С 28. (дидактические материалы по алгебре и началам анализа).

Вариант 1.

Вариант 2.

Найдите производную функции.

f(x) = sin 5x + cos 3x

f(x) = cos 5x + sin 3x

f(x) = tg x + ctg (x + /6)

f(x) = ctg x + tg (x + /6)

Работы сдаются учителю.

VII. Итог урока

  • Дать определение производной функции.
  • Назовите правила вычисления производной
  • Назовите формулы производной тригонометрической функции.
  • Как найти точки, в которых производная данной функции равна нулю?

VIII. Задание на дом

§4, п.п.12–17. Выполняя домашнее задание, закрепляете знание правил дифференцирования.

  1. y = 2x + 3.6 sin5 ( – x);
  2. y = sin (2x2 – 3).
  3. y = (1 + sin 3x) cos 3x;
  4. y = tg x (tg x – 1).

На дискете выбрать и решить два задания.

Приложение