Формирование умения решать задачи

“Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир;
дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.
Спенсер Г.

С учетом современных подходов к математическому образованию возрастает социальная значимость математики, как средства повышения интеллектуального уровня человека; усиливается гуманитарная ориентация, происходит переориентация с увеличения количества информации на формирование умения анализировать ее, продуцировать, использовать; математика рассматривается как главное средство развития абстрактного мышления человека.

Поэтому, главная функция обучения математике – формирование умения решать задачи:

• задачи являются главным средством индивидуализации обучения;
• в ходе самостоятельного размышления над задачей происходит развитие учащегося;
• умение решать задачи является главным критерием успешности обучения математике;
• в ходе решения задач идет диалог ученика с учителем;
• самостоятельная деятельность по решению задач ограничивает сферу пассивных форм обучения.

В процессе многолетней педагогической практики у меня сложилась система работы с задачами, в которой реализуются современные подходы к преподаванию математики.

В основе системы лежат идеи технологии укрупнения дидактических единиц (УДЕ) П.М.Эрдниева.

1. “ Метод обратных задач ” - в его основе идея обращения упражнений.

Суть метода: работу с задачей нецелесообразно завершать получением ответа; надо приемом обращения составлять и решать новую, обратную задачу, извлекая тем самым дополнительную информацию, заключающуюся в связях между величинами решенной исходной задачи.

Схема составления обратной задачи: исключая одно из чисел условия и делая его искомым, ответ исходной задачи вводим в обратную задачу в качестве известного.

Например, из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль. Скорость автобуса 55км/ч, а легкового автомобиля на 15км/ч больше. Найти расстояние между пунктами A и B, если автобус и автомобиль встретились через 3 часа. Ответ: 375км.

Составляем таблицу данных для исходной и обратных задач:

Формулируем и решаем обратные задачи.

Задача 1. Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль. Скорость автобуса 55км/ч, а легкового автомобиля на 15км/ч больше. Расстояние между пунктами A и B равно 375км. Через сколько времени автомобиль и автобус встретились?

Задача 2. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 375км, одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль и встретились через 3 часа. Скорость автобуса 55км/ч. На сколько скорость автобуса меньше скорости автомобиля?

Задача 3. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 375км, одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль и встретились через 3часа. С какой скоростью ехал автобус, если известно, что его скорость на 15км/ч меньше скорости автомобиля?

Итак, при решении взаимно обратных задач учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами, перестраивает суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. Обратные задачи – это продукт творчества учащегося, логическое продолжение прямой задачи. Составление и решение обратной задачи – один из путей саморазвития ученика.

2. Второй прием работы с задачами – самостоятельное составление школьниками упражнений на основе сравнения и обобщения, индукции и аналогии.

В качестве иллюстрации обратимся к первой задаче, и будем менять ее условие, составляя и решая новые задачи.

- Изменим вопрос задачи: на каком расстоянии от пункта A встретились автобус и автомобиль?

- Изменим условие одновременного выхода: автомобиль выехал на час раньше автобуса.

Формулируем задачу. Выясняется, что необходимо указать момент отсчета времени.

Задача. Из пунктов A и B навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль.

Скорость автобуса 55км/ч, а автомобиля на15км/ч больше. Найти расстояние между пунктами A и B, если автобус выехал на час позже автомобиля и встретился с ним через 3 часа после своего выхода.

- Изменим условие встречного движения на движение в противоположных направлениях.

Задача. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 100км, одновременно в противоположных направлениях выехали автобус и автомобиль. Скорость автобуса 55км/ч, а автомобиля на 15км/ч больше. Найти расстояние между ними через 3 часа.

- Изменим условие встречного движения на движение вдогонку.

Задача. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 100км, одновременно в одном направлении выехали автобус и автомобиль. Скорость автобуса 55км/ч, а автомобиля на 15км/ч больше. Найти расстояние между ними через 3 часа.

Выясняется, что в этой задаче есть лишнее данное (55км/ч).

3. Рассмотрим еще один эффективный прием работы с задачей:

- составление задачи;

- решение задачи;

- проверка решения с помощью обратной задачи;

- переход к родственному, но более сложному упражнению.

В качестве примера рассмотрим фрагмент урока в 5 классе.

Учитель. Составьте задачу, которая решалась бы выражением 15*4 + 20*5.

Ученик. В магазин завезли 4 ящика яблок по 15кг в каждом ящике и 5 ящиков по 20кг в каждом. Сколько килограммов яблок завезли в магазин?

Учитель. Составьте обратную задачу.

Ученик. В магазин завезли 4 ящика яблок по 15кг в каждом ящике и несколько ящиков по 20кг в каждом. Сколько ящиков по 20кг завезли в магазин?

Учитель. Используя данные первой задачи, составьте более сложную задачу.

Ученик. В магазин завезли 4 ящика яблок по 15кг в каждом ящике и 5 ящиков по 20кг в каждом. К концу дня в магазине осталась четвертая часть яблок. Сколько килограммов яблок было продано?

Для формирования умения решать задачи разрабатываю модули, состоящие из трех – четырех уроков. В качестве примера рассмотрим модуль “ Задачи на движение в противоположных направлениях ”.

Урок №1. Первый этап – тренинг-минимум, устно решаются простейшие задачи на нахождение скорости, времени, расстояния.

1

а) Пешеход за 3 часа прошел 12км. Сколько километров он проходил в час? Какова скорость пешехода?

б) Скорость велосипедиста 12км/ч. Сколько километров он проедет за 2 часа?

в) Скорость поезда 60км/ч. За какое время он проедет 180км?

Второй этап – решение задач на движение в противоположных направлениях, составление и решение обратных задач. К каждой задаче выполняется рисунок, демонстрирующий положение движущихся объектов на прямой в определенные моменты времени.

(Графическая модель движения ).

2.

а) Два пешехода вышли одновременно из одного пункта в противоположных направлениях. Скорость первого 4км/ч, второго 5км/ч. Покажите положение каждого пешехода через 1час, 2часа, 3часа. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 1час, 2часа, 3часа? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? ( Эту величину называют скоростью удаления ).

б) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две машины. Их скорости 60км/ч и 80км/ч. Определите скорость удаления машин.

в) Два поезда вышли одновременно из одной станции в противоположных направлениях. Скорость одного поезда 60км/ч, другого 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260км?

Урок №2. Первый этап – тренинг-минимум, устное решение задач на нахождение скорости, времени, расстояния и задач на движение в противоположных направлениях, аналогичных 2а), б), в). При этом максимально используются графические модели.

Второй этап – в задачу 2а) вводится усложнение: пешеходы выходят из пунктов A и B, расположенных на расстоянии 10км друг от друга. Решается задача и составляются три обратных.

Урок №3. Тренинг-минимум включает в себя устное решение задач, аналогичных 1, 2а), б), в), с максимальным использованием графических моделей.

Второй этап – в задачу 2а) вводится усложнение: один из пешеходов выходит в путь на 1час раньше другого. Формулируется и решается задача, составляются три обратных.

Третий этап – в задачу 2 вводятся два усложнения: пешеходы движутся из пунктов A и B, расположенных на расстоянии 10км друг от друга в противоположных направлениях, причем, один вышел в путь на 1час раньше второго.

Следующий модуль содержит задачи на встречное движение.

3.

а) Из двух сел, расстояние между которыми 36км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости 4км/ч и 5км/ч. На сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения). Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

б) Два автомобиля движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80км/ч. Найдите скорость сближения автомобилей.

в) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36км. Скорость первого велосипедиста 10км/ч, а второго – 8км/ч. Через какое время они встретятся?

4.

а) Расстояние между городами 900км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за час до встречи? Какое данное является лишним?

б) Расстояние от села до города 45км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

в) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сел, расстояние между которыми 54 км, со скоростями 12 км/ч и 15 км/ч. Через сколько часов они будут находиться друг от друга на расстоянии 27км?

Модуль “Задачи на движение вдогонку” включает в себя работу с различными ситуациями движения двух объектов в одном направлении.

5.

а) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, велосипедиста – 12 км/ч. Найдите скорость их удаления. Через какое время расстояние между ними составит 56 км?

б) Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного из них 40 км/ч, второго – 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?

в) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?

Подобная динамика работы с задачами, основанная на идеях укрупнения дидактических единиц, раскрывает и приводит в действие большие резервы человеческого мозга, развивает интеллектуальную сферу ученика.