Цели:
1. Развивающие:
- формирование интеллектуальных умений (анализировать, сравнивать, проводить аналогии);
- умения применять знания на практике;
- развитие уверенности в своих силах, развитие настойчивости.
2. Образовательные:
- научиться решать экономически задачи, используя математические знания:
- нахождение наибольшего значения на отрезке.
3. Воспитательные:
- экономическое воспитание учащихся;
- содействовать трудовому воспитанию и профориентации школьников.
Тип урока: комбинированный.
В уроке используется интеграция экономических понятий с математическими знаниями.
В соответствии с мотивацией произошел выбор:
- содержания: соответствует уровню класса, профилю класса;
- методов: объяснительно-иллюстративный, эвристический – частично-поисковый;
- структуры: рациональное использование времени при решении задач;
- средств: раздаточный учебный и дидактический материал;
- форм: практикум;
- форм организации учебной деятельности: классно-коллективная, парная, индивидуальная.
Оборудование:
- словарь терминов курса “Экономические задачи” по теме занятия,
- экономические задачи по теме: “Закон спроса”
Ход урока
Учитель: - Какой экономический закон мы уже использовали на наших уроках?
Учащиеся: - Закон спроса.
Учитель: - Дайте определение цены.
Учащиеся: - Р - количество денег, за которое покупается или продаётся единица товара или услуги.
Учитель: - Как мы определяли объём продаж?
Учащиеся: Q- количество проданного товара.
Учитель:- Продавая товар, мы получаем выручку, то есть денежную сумму, полученную предприятием за реализованный товар. Запишем формулу: R=РQ.
Как вы думаете: все ли деньги остаются производителю?
Учащиеся - Нет, потратились на производство.
Учитель:- Правильно! Предприятие имело затраты. Сумма всех затрат предприятия на производство продукции называется совокупными издержками. Обозначаем: Ct.
Что входит в понятие?
Учащиеся - затраты на материалы, амортизация оборудования, выплата зарплаты и так далее.
Учитель:- Итак, получили выручку, вычли совокупные издержки и получили прибыль, то есть положительную разность между выручкой и совокупными издержками. Запишем формулу:
G (Q) = PQ - CtQ ;
G= PQ - Ct
- Говоря о предприятиях, мы часто слышим такое понятие, как "рентабельность" - частное от деления прибыли на совокупные издержки.
Итак, мы определили круг понятий и формул для нового вида экономических задач на тему: "Закон спроса "- выручка, рентабельность, прибыль, совокупные издержки. Используя свои знания из курса алгебры, попробуем решить эти задачи.
Решим задачу №1 (приложение № 1) Что дано? Что нужно найти? На какое слово делаем акцент? С чем можно сравнить экономическую задачу о нахождении максимальной выручки в алгебре? Правильно! Нахождение наибольшего значения функции на отрезке.
Выразим Р из Q (Р).
Путём преобразований получаем:
Q(Р)=2400-120Р/Р+2;
(Р+2)Q=2400-120Р;
РQ+2Q=2400-120Р;
РQ+120Р-2400-2Q;
Р (Q+120) =2400-2Q;
Р=2400-2Q/Q+120.
Выразим прибыль предприятия:
G (Q) -РQ-С'Q; подставим Р и С':
G (Q) = (2400-2Q)Q/(Q+120)- (4Q+700)Q/(Q+120)= (2400Q-2Q2-4Q2- 700Q)/(Q+120) =
= (1700Q-6Q2)/ ( Q+120)
Найдём особые точки функции:
Q1 =-120, это точка в которой знаменатель равен нулю, а сама функция прерывается.
Экономического смысла точка не имеет, так как цена не может быть отрицательной. Найдём производную и точки экстремума:
G` (Q) = ((17000-6Q2)' (Q+120)- (1700Q- 6Q2)(Q+120)')/ ( 120+Q)2 = (1700 -
- 12 Q)(Q+120)- (1700Q-6Q2)/ (120+Q)2= (-6Q2-14400Q- 204000)/(120+Q)2
-6Q2-14400Q-204000=0 | /(-6);
Q2+240Q+34000=0;
О2=-340; Оз=100; Q2 -не имеет экономического смысла.
Рассмотрим функцию G(Q) на (0;+?)
G=0; G` (0) = 0; G=200; G` (200) =0
Вывод: при переходе через точку Оз=100 производная меняет свой знак с плюса на минус, значит эта точка -точка максимума, так как в этой точке функция принимает своё наибольшее значение и эта точка на данном интервале единственная.
Итак, максимальный объём продаж Q=100 тонн;
найдём Р( 100)= 10000 рублей за тонну;
Рассчитаем годовую выручку:
К=РО; К=10*10000=1000000 рублей.
Можем ли мы сказать, что данное предприятие рентабельно?(обсуждение учащимися)
Следующая группа задач поможет нам определить именно доходность предприятий. При этом рассматриваемые задачи будут связаны с малым и средним бизнесом. Сейчас именно на эти виды предприятий делается большой акцент.
Почему? (обсуждение учащимися)
Работаем в группах (Учитель обсуждает с каждой группой задачу и, вызывая двух представителей каждой группы для работы на доске, представляет время для самостоятельного решения задачи с последующим её обсуждением.)
Первая группа - задача № 2 (приложение № 1)
Учитель :Что дано? Что надо найти? К чему сводится задача?
Учащиеся: R (Р) =РQ; R(Р)=Р(-Р2-Р+110) = -P3-P2 +110Р;
находим наибольшее значение функции R(Р); найдём интервал допустимых значений Р.
P min равна цене, при которой объём продаж за день достигает 90 кг
-P2 min - Pmin + 110 =90;
P2 min + Pmin - 110 =90;
Pmin 1 =4;
Pmin 2 =-5 не имеет эконом, смысла;
Значит, минимальная цена, по которой можно продавать товар равна 4 рубля за кг.
Рmах будет равна: 3,8*1,6=6,08 рублей за кг. так как предприниматель законопослушный.
Цель предпринимателя получить максимальную прибыль, значит необходимо рассмотреть задачу о нахождении наибольшего значения функции
R(Р) на отрезке [4; 6,08]
Найдём производную R'(Р)=-ЗР2 -2Р+110;
-ЗР2 -2Р+110 = 0;
D=1324;Р1=-6,4 не имеет эконом, смысла;
P2=5,73; 5,73 принадлежит [4;6,08]; найдём значение функции в точке P2 и на концах отрезка:
R(4)=360; R(5,73)=409,34; R(6,08)=407,07;
следовательно наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке P2=5,73, значит Rmах(Р) = R(5,73)=409,34 и максимальная прибыль будет получена при продаже товара по цене 5,73 рубля за кг.
Учитель: Снова задаю вопрос: доходно ли? Подумайте и сделайте экономические выводы, как повысить рентабельность предприятия, слушая математическое решение задачи второй группы о рентабельности предприятия.
Вторая группа - задача №3 (приложение № 1)
Учитель: Что дано? Что надо найти? Какое слово главное?
С какой математической задачей можно сравнить?
Учащиеся: Так как G ограничено, то G=РQ-С1;
G (Р)=Р(-2Р2-4Р+798)-(10Q+1000)= -2РЗ-4Р2+798Р-10Q-1000 = -2РЗ+16Р2+838Р- 8980;
Определим интервал допустимых Р:
Рmin это цена, при которой годовой объём продаж достигает максимально возможной величины то есть 600 тонн, дальнейшее снижение цены бессмысленно в силу закона спроса.
-2P2 min - 4Pmin + 798 =600
P2 min +2 Pmin - 99 =0
Pmin 1 =9;
Pmin 2 =- 11 не имеет эконом, смысла;
Минимальная цена - 9 тысяч рублей за тонну;
Р max находим из условия: при максимальной цене объём продаж будет нулевым;
2P2 max + 4Pmax - 798 =0
P2 max+2 Pmax - 399 =0
Pmax 1 = 19;
Pmax 2 =- 21 не имеет экономического смысла;
Цель производства получить максимальную прибыль, то есть рассмотрим вопрос о нахождении наибольшего значения функции G(Р) на интервале значений Р[9;19]; Найдём особые точки функции:
G'(Р)= - 6P2+ 32P+838=-3P2 - 16P- 419
D=5284; P1= -9, 4 не имеет эконом, смысла;
Р2=14,8; 14,8 принадлежит [9:19];
G (9) =-1600; G (19)=-1000; G(14,8)=443,44.
G max (Р)=G(14,8)=443,44
Рентабельность G/Сt; найдём Сt
Сt= 10Q+1000;
Q(14,8)=300,72( тонны);
С'=10*300,72+1000=4007,2 ( тысяч рублей);
Следовательно, рентабельность данного предприятия: 443,44/4007,2=0,11=11%
Данное предприятие рентабельно.
Учитель: Как увеличить данную дробь? А какие экономические выводы cделала первая группа? (обсуждение учащимися)
Вывод: Итак, решаем экономические задачи с помощью математических формул и выводим экономические закономерности в процессе выполнения математических действий тем самым, доказывая, что экономика – точная наука.