Введение.
Математика и физика обычно считаются наиболее трудными предметами школьного курса. Во все периоды человеческого сознания эти направления научной мысли развивались взаимосвязано, стимулируя обоюдный прогресс. Широко распространено мнение, что в школьном преподавании интеграция физики с математикой возможна только в классах с углубленным изучением этих предметов. Мы, однако, считаем, что очень многие элементы интеграции могут сделать изложение физики более ясным и доступным на всех уровнях её изучения. Общение со школьниками показывает, что непонимание ими какого-либо вопроса из курса физики часто связаны с отсутствием навыков анализа функциональных зависимостей, составление и решения математических уравнений, неумением проводить алгебраические преобразования и геометрические построения.
Школьная математика практически везде, к сожалению, совершенно оторвана от потребностей физики – как по выбору материала, так и по его трактовкам, постановке задач и развитию навыков.
Невнимание к физике причиняет урон и самой математике, затрудняется ее понимание, притупляется интерес к ней, принижается роль математики как фундаментальной науки. Не используемый в физике математический аппарат плохо держится в памяти.. Современное преподавание требует органического сочетания экспериментального и теоретического методов изучения физики, выявления сути физических законов на основе доступных школьникам понятий элементарной математики. Такой подход одновременно обеспечивает повышения уровня математических знаний, формирует логическое мышление, осознание единства материального вида. Школьники начинают испытывать удовлетворение, замечая, что абстрактные математические формулы и уравнения имеют реальное воплощение в физических процессах.
Взаимное сотрудничество преподавателей двух предметов предполагает благожелательность, уважение друг к другу, паритетные отношения между ними. Они делают общее дело.
При построении интегрированного курса «Физика + математика» мы поставили задачу максимально связать два столь близких, но разных предмета, чтобы они помогали друг другу, оставаясь самими собой. Оказалось, что это даёт непредвиденно крупный выигрыш.
Так, открылась возможность без учебной перегрузки школьников и при сравнительно «мягком» отборе новых трактовок, уже известных вопросов существенно обогатить содержание обоих курсов – математики и физики.
«Конфликт» учителей физики и математики основан на том, что последние не соглашаются ввести понятия вектора – в начале 7 класса, понятия производной и интеграла – в начале 9 класса., когда эти понятия очень нужны для рационального изложения физических вопросов, таких,как сила, скорость, мгновенная скорость, ускорение, работа и т.д. Физики по этому поводу иронизируют, считая, что изучать в 11 классе интегрирование, все ровно, что монтировать строительный кран после окончания строительства и в этом есть доля истины. Математики не без основания возражают, что нельзя в интересах «заказчика» поступаться ни математической последовательностью и систематичностью изложения – этим был бы непоправимо испорчен математический вкус школьников.
В этом доводе больше снобизма, чем действительной убежденности, опирающейся на отрицательный итог большой поисковой работы. Есть много путей и трактовок, отвечающих всем стандартам, предъявляемым математиками. Надо их перебрать (да и выдумать новые) – вдруг найдутся такие, что устроят и физиков?! Это было бы в духе делового партнерства.
Для развития математики весьма характерна такая схема:
- сначала имеется или предлагается недостаточно четкая задача, зародившаяся вне математики (или в другой математической дисциплине);
- постановка задачи формулируется (т.е. строится математическая модель), и задача решается с полной строгостью;
- полученное решение используется на практике и «обкатывается» прикладниками, причем нередко возникает необходимость в изменении модели.
Приведенная трехэтапная схема выражает общее правило, которое мы и приняли за образец, позволяющий уже достаточно рано ввести понятие вектора, производной и интеграла. Осуществляется это методом «межпредметной кооперации»
Сначала на уроках физики, исходя из ее потребностей вводится новое понятие6 вектор – как скорость, сила, перемещение; производная – как мгновенная скорость, и одновременно как крутизна графика, интеграл – как пройденный путь и одновременно, как площадь фигуры под графиком скорости. Затем следует урок математики, на котором введенное физиком понятие формализуется, уточняется и дополняется. Далее учителя физики и математики ведут каждый свою линию. Физик распространяет дифференцирование на величины векторные, перейдет от скоростей к ускорению. Математик поставит вопрос о существовании производных, найдет производные многих элементарных функций и их различных комбинаций; обоснует их свойства и научит их применять в математики и за ее рамками.
Однако такая межпредметная кооперация не устраняет главного препятствия, мешающего столь раннему доступу к тайнам математического анализа. Нужно строгое и доступное в этом возрасте определение предела. И мы попытались это сделать.
Обзор глав, изучаемых по классам с указанием новаций, облегчающих усвоение, экономящих силы и время
Курс математики
Глава 1. Векторы на плоскости.
Важнейшие теоремы планиметрии. Декартовые координаты в пространстве. Понятие вектора. Сложение векторов. Произведение вектора на число.. Модуль, направление, ориентация и скаляр вектора. Проекции векторов. Орты. Скалярное и векторное произведение. Применение векторов.
Новации:
- Межпредметная кооперация с физикой: вектор вводится как количественная характеристика перемещения.
- Уточненная система понятий6 направление – ориентация; модуль вектора и его скаляр.
Глава 2. Функции и пределы.
Понятие о числовой функции. Функция и график. Функция под «микроскопом». Совершенная функция. Бесконечная малость. Предел функции.
Новации:
- Понятие пределов вводится не с помощью ипсилонов и дельт, а с помощью метода диаграммы (двойной воронки), притом сразу для функции заданной на отрезке. Метод столь же строг, но гораздо нагляднее.
- Предел последовательности трактуется как частный случай предела функции.
Глава 3. Производная.
Понятие производной. Производная суммы и отношения двух функций. Производная степени с натуральным показателем, обратной функции, квадратного корня, синуса и косинуса. Дифференциал. Производная сложной функции. Применение производных. Максимумы и минимумы функции. Дифференцирование векторных величин.
Новации:
- В случае межпредметной кооперации производная вводится в физике и сразу же формализуется в математики.
- Производная синуса и степени вводится без опоры на бином Ньютона и синуса суммы.
Глава 4. Интеграл.
Понятие интеграла. Теорема Ньютона- Лейбница. Табличные интегралы. Интеграл суммы двух функций и произведения функции на постоянную. Замена переменной при интегрировании. Применение интеграла.
Новации:
- Понятие интеграла вводится в физике и одновременно как путь и площадь под графиком скорости.
- В центре внимания смысл интеграла и его качественная оценка, а не техника интегрирования, которая будет совершенствоваться в старших классах.
Глава 5. Простейшие уравнения и системы.
Уравнения с одним неизвестным и множество его решений. Равносильность уравнений. Линейные, кусочно-линейные и квадратные уравнения. График уравнения с двумя неизвестными, отличие его от графика функций Система из двух уравнений с двумя неизвестными и методы их решения, аналитические и графические. Задачи на составления систем уравнений.
Новации:
- Исследование уравнений с кусочно-линейными функциями часто встречаются при исчислении налогов, пенсий, тарифов.
- Уточнение понятий о графике функции и графике уравнения.
Курс физики
Введение.
Что и как изучает физика? Макро-, мега-, микромир. Предмет физики. Физика – наука количественная, экспериментальная и теоретическая. Физика и математика. Физика и мировоззрение. Физика и техника.
Новации:
- Четко вводится понятие физической величины как количественной характеристики того или иного свойства.
- Размерности трактуются как числовые множители.
Раздел 1. Кинематика.
Перемещение, траектория. Перемещение и векторы. Перемещение жесткого тела. Скорость при равномерном прямолинейном движении. Мгновенная скорость и производная. Скорость вращения. Сложение скоростей. Быстрота изменения скаляра и вектора скорости. Мгновенное ускорение и вторая производная. Продольное и поперечное ускорение. Равноускоренное движение. Обратная задача кинематики и интегрирование. Сложение ускорений.
Новации:
- В кинематики с самого начала одновременно рассматривается не только материальная точка, но и протяженные тела и механизмы.
- Учитель физики вводи понятие вектора, которое уточняется и развивается на уроках геометрии.
- Вместе с понятием мгновенной скорости вводится понятие касательной к графику и производной, которые немедленно подхватываются математиками.
- Угловая скорость вводится в связи с изучением движения вращающегося звена механизма; при этом используется понятие векторного произведения.
- В связи с решением обратной задачи кинематики на уроки физики вводится понятие интеграла.
Раздел 2. Основы динамики.
Взвешивание и масса. Сохранение массы; плотность Импульс, центр масс. Электромагнитные силы. Гравитационные силы. Силы упругости и трения. Примеры типичных расчетов с анализом результатов. Разнообразие методов. Законы Ньютона. Законы сохранения. Комментарии к законам Ньютона.
Новации:
- Масса вводится на гравитационной основе.
- Центр масс определяется через импульс – как воображаемая корпускула с той же массой и импульсом, что и вся рассматриваемая материальная система.
- Предварительный просмотр тривиальных случаев.
- Кинематический анализ предшествует силовому.
- Группировка звеньев в системы и применение законов Ньютона к их центру масс.
- Проверка по ранее рассмотренным тривиальным случаям.
О некоторых приемах реализации связей «математика-физика»
Связи математики и физики проявляются в трех видах ситуаций:
- физика ставит задачи, решение которых приводит к появлению новых математических идей и методов, а они, в свою очередь, становятся базой для развития математической теории;
- математическая теория с ее идеями и аппаратом применяется для изучения и анализа физических явлений, что приводит к созданию новой физической теории;
- математический аппарат, на который опирается физическая теория, развивается по мере его использования в физике; происходит параллельный прогресс и физики, и математики.
Математический аппарат необходим физике как язык для описания физических процессов и явлений, один из методов физического исследования.
Идеи теории симметрии, тесно связанные с математикой, в частности с геометрией, позволяют в молекулярной физике рассмотреть на основе общих научных положений строение молекул кристаллов; в оптике изучить построение изображений в плоских зеркалах. Язык математических формул позволяет в ряде физических ситуаций без экспериментов делать важные выводы.
Графический язык, основа которого- математика, широко используется в курсе физики при рассмотрении различных процессов. И это естественно, так как график позволяет показать специфику происходящего, прогнозировать ожидаемый результат, наглядно пояснить ответ.
Реализация межпредметных связей не может происходить сама по себе; для этого нужна специальная организация учебного материала и самого процесса обучения, направленная на установление этих связей. Для того чтобы межпредметные контакты стали достоянием сознания учащихся, следует включать материал о них в учебно-позновательную деятельность.
Педагогу следует прежде всего отбирать материал, который представляет межпредметные связи, выбирать формы обучения им.
Межпредметные связи бывают содержательные и операционные. Их направленность: односторонняя, двухсторонняя, многосторонняя. Связи делят и по хронологии (последовательности осуществления), и по хронометрии (продолжительности).
1. Межпредметные связи на уровне знаний, раскрываемые посредством языка. Этот вид основан на применении понятий и операций, взятых из другой науки.
Пример: Векторный язык, в частности, можно использовать в курсе физики для иллюстрации, например, третьего закона Ньютона применительно к паре тел.
2. Межпредметные связи на уровне знаний, раскрываемые посредством элементов теории.
Суть этого приема: использование отдельных правил, теорем, аксиом из теории другой науки.
Пример: В курсе физики при изучении электрического поля может быть применена математическая теорема «О проекции суммы векторов на ось».(Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось.)
3. Межпредметные связи на уровне знаний, раскрываемые посредством информации, играющей «прикладную» роль.
Данный прием основан на применении методов из другой науки.
Пример: На уроках по кинематике возможно рассмотрение задач, при решении которых «сливаются» воедино графики движения (физика) и метод (материал о свойствах и признаках) подобных треугольников (геометрия).
4. Межпредметные связи на уровне видов деятельности.
- В курсе математики учащихся обучают умению составлять задачу по заданному уравнению.
Аналогичный вид деятельности - составление задач- может быть организован и в курсе физики; тем самым между математикой и физикой будет реализован еще один аспект межпредметной связи.
- В курсе математики учеников учат читать графики и составлять по ним задачи.
По этому можно предложить учащимся 8 класса в теме «Тепловые явления» такое задание: «Составьте задачу на определение количества теплоты по графику, изображенному на рисунке, и решите ее».
Сложности в работе и пути их снижения
Осветим теперь основные трудности, возникающие при реализации межпредметных связей по линии «математика-физика».
- Физические понятия, используемые на уроках математики не всегда своевременно сформированы в курсе физики, и наоборот: математики не всегда своевременно знакомят с понятиями и действиями, необходимыми для курса физики.
- В курсе физики применяют такие понятия, которые в рамках учебной математической программы вообще не вводятся.
- Несогласованность терминологии и обозначений в курсах математики и физики.
- В курсах математики и физики иногда одни и те же понятия получают различную трактовку.
- Стержневые идеи математики и физики не всегда реализуются в курсе физики.
Координация работ
Основными направлениями координации действий преподавателей математики и физики при реализации межпредметных связей могут быть следующие.
- Составить координационную таблицу, которая поможет выявить «точки соприкосновения» программного материала по физике и математике и опереться на них.
Математика
Физика |
Математика
Физика |
|||
| Материал, Нужный физикам | Изучаемый вопрос | Когда изучается (номер модели) | Изучаемый материал | Материал для уроков математики |
- На методических объединениях учителей математики и физики обсуждались совместно такие вопросы: «Формирование общеучебных умений на «перекрестке» физики и математики», «Становление и развитие вычислительной культуры учащихся в процессе обучения математике и физике», «Логико-дидактический анализ учебников математики и физики с целью выявления потребностей одного курса в другом».
Такой анализ позволил, в частности, выявить две группы межпредметных связей и умений, связанных с изучением функций:
- работа с формулой, задающей функцию;
- работа с графиком функции.
Основные межпредметные умения, связанные с формулой:
- Распознавание вида функции по формуле;
- Вычисление значения функции по заданному значению аргумента;
- Расчет по формуле значения аргумента, при котором функция принимает заданное значение;
- Выражение из формулы одной величины через другую;
- Нахождение области определения функции.
Основные мепредметные умения, связанные с графиком функции:
- Строить график;
- По абсциссе точки графика находить ее ординату;
- По ординате точки графика находить ее абсциссу;
- По нескольким графикам, вычерченным в одной системе координат, находить координаты точек пересечения графиков;
- Определять интервалы, где функция возрастает и убывает;
- Указывать области «знакопостоянства» функции;
- Находить наибольшее и наименьшее значения функции и абсциссы точек, в которых эти значения достигнуты;
- Определять по формуле, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции.
В результате совместной деятельности учителей физики и математики удалось добиться того, что учащиеся достаточно свободно оперируют знаниями, полученными на уроках математики при изучении физики и наоборот.
Проведенные контрольные срезы показали, что в тех классах, где проводится совместная работа учителей физики и математики учащимися лучше воспринимаются такие новые понятия как вектор, производная, интеграл, т.к. с помощью уроков физики они подкреплены практическими примерами, изучаемых величин, учащимся легче удается работа с графиками.
Обучение математике и физике стало более успешным, т.к. школьники почувствовали необходимость учебных занятий, с интересом воспринимают изучаемые явления и законы, ощущают себя участниками процесса познания и используя межпредметный подход. (Приложение 1)
Литература:
- В.А. Коробов.»Опыт применения математики в преподавании физики» / Физика в школе № 4, 1991 г.
- А.М. Цацурян. «Повторение курса физики с привлечением знаний учащихся по математики» / Физика в школе № 4, 1990 г.
- Элитарное образованпие. М. «Просвещение»,1993 г.