Цели урока:
- Выработка навыков решения задач на построение сечений методом следов.
- Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.
- Развитие пространственных представлений и конструктивных навыков учащихся.
- Воспитание любви к предмету, чувства сплоченности, взаимопомощи, культуры поведения, а так же умения индивидуально работать над задачей.
Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, набор геометрических тел.
Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная форма.
ХОД УРОКА
Вы изучили аксиомы стереометрии, некоторые
следствия из аксиом, теоремы о параллельности
прямых и плоскостей в пространстве, взаимное
расположение прямых в пространстве. Для решения
многих геометрических задач, связанных с
тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь
строить на рисунке их сечения различными
плоскостями.
Вспомним, что сечение – это изображение фигуры,
которая получается при мысленном рассечении
тела плоскостью (Приложение 1).
Назовем секущей плоскостью многогранника любую
плоскость, по обе стороны от которой имеются
точки данного многогранника.
Наша основная задача будет состоять в построении
сечения многогранника плоскостью, т.е. в
построении пересечения этих двух множеств. При
этом, как правило, изображение многогранника
будет считаться заданным, а плоскость сечения
будет дана тремя точками (иногда – прямой и
точкой) на изображении.
Существует несколько методов построения сечений
многогранника плоскостью: метод следов, метод
внутреннего проектирования и комбинированный
метод.
Мы изучим метод следов.
В общем случае секущая плоскость пересекает
плоскость каждой грани многогранника и каждую из
прямых, на которых лежат ребра многогранника.
Прямую, по которой секущая плоскость пересекает
плоскость какой-либо грани многогранника,
называют следом секущей плоскости на плоскости
этой грани, а точку, в которой секущая плоскость
пересекает прямую, содержащую какое-нибудь
ребро, называют следом секущей плоскости на этой
прямой.
Если секущая плоскость пересекает
непосредственно грань многогранника, то
можно также говорить о следе секущей плоскости
на грани и аналогично говорить о следе на ребре.
След секущей плоскости на плоскости нижнего
основания условимся ради краткости речи
называть просто следом секущей плоскости. С
построения именно этого следа чаще всего
начинают построение сечения многогранника.
Способы задания сечения весьма разнообразны.
Наиболее распространенным из них является
способ задания секущей плоскости тремя точками,
не лежащими на одной прямой.
В тех случаях, когда сечение строится с помощью
следа на плоскости нижнего основания, задавая
три точки, принадлежащие непосредственно
секущей плоскости, следует указать их таким
образом, что бы проекции этих точек на плоскость
нижнего основания строились однозначно. Сделать
это можно, например, если указать, на каком ребре
лежит заданная точка, или в какой грани и т. д.
При этом, если многогранником, сечение которого
строится, является призма, то проектирование
(внутреннее) на плоскость нижнего основания
восполняется параллельное. Его направление
определяется боковым ребром призмы. Если же
многогранником является пирамида, то
выполняется центральное (внутреннее)
проектирование на плоскость основания. Центром
проектирования является вершина пирамиды, в
которой сходятся все боковые ребра.
Вывод:
Основными действиями, составляющими методы
построения сечений, являются нахождение точки
пересечения прямой с плоскостью, построения
линии пересечения двух плоскостей, построение
прямой, параллельной плоскости,
перпендикулярной плоскости (Приложение
1).
Перед тем, как перейти к рассмотрению задач
вспомним понятие многогранника и их виды.
Многогранник – тело, поверхность которого
состоит из многоугольников (граней).
Куб, тетраэдр, четырехугольная пирамида, призма
являются примерами многогранников. (Приложение
1)
Задача 1:
Дано: АВСД – тетраэдр, NЄАД, РЄСД.
Построить сечение данного тетраэдра через точки
N, Р, В. (Приложение 1).
Задача 2:
Дано: АВСД – тетраэдр, NЄАД, РЄСД, FЄВС.
Построить сечение, проходящее через данные
точки. (Приложение 1).
Задача 3:
Дано: АВСД – тетраэдр, КЄДС, МЄАВС, NЄАСД.
Построить сечение МNК. (Приложение
1).
Задача 4:
Дано: АВСД – тетраэдр, МЄАД, АМ=МД, РЄДС, ДР/РС=1/3.
Построить сечение плоскостью, походящей через
точки М и Р и // ВС. (Приложение 1).
Вывод:
В тетраэдре сечениями могут быть только
треугольники и четырехугольники, а в
параллелепипеде – треугольники,
четырехугольники, пятиугольники и
шестиугольники. (Приложение 1).
Для классной и домашней работы можно
использовать задачи №74, 75, 79–87, дополнительные
задачи к главе I c учебника геометрии 10–11 класс,
автор: Л. С. Атанасян и др.