1. Неравенства первой степени с одним неизвестным

Решим задачу.

Задача 1. От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов. В каком часу человеку, живущему в деревне, надо выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со скоростью 5 км/ч?

Решение. Если пешеход выйдет из дома в х ч. Утра, то до 11 ч. он шёл бы (11 – х) ч. За это время он прошёл бы 5(11 – х) км. Чтобы он успел на поезд, надо, чтобы это расстояние было не меньше 20 км, т. е. должно выполняться неравенство 5(11 – х) > 20. Рассуждаем так. Найдём, в каком часу человек должен выйти, чтобы в точности успеть на поезд. Для этого должно выполняться равенство 5(11 – х) = 20. Решая это уравнение, получаем (11 – х) = 4 и потому х = 7. Значит, выйдя из дома в 7 часов утра, пешеход успеет на поезд. Тем более он успеет на него, выйдя из дома ещё раньше. А если он выйдет из дома позднее, то опоздает на поезд. Значит, чтобы успеть на поезд нужно выйти не позднее чем в 7 часов утра. На языке математики это значит, что решение неравенства 5(11 – х) > 20 имеет вид х < 7.

Задача 2. В одном бассейне налито 100 литров воды, а во втором – 150 литров воды. Каждый час в первый бассейн вливается 15 литров воды, а во второй – 5 литров. В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?

Решение: За х часов в первый бассейн вольётся 15х л. воды и в нём станет (100 + 15х) л. воды. Так же находим, что через х ч. во втором бассейне будет (150 + 5х)л. воды. Надо найти такие значения х, для которого выполняется неравенство (100 + 15х) > (150 + 5х), т.е. решить неравенство с переменной х.
Это неравенство решается так (15х – 5х) > (150 – 100), Т.е. 10х > 50. Но если 10х > 50, то х > 5. Итак в первом бассейне окажется больше воды, чем во втором, при х > 5, т.е. после 5 ч. с начала вливания воды.

2. Системы неравенств с одним неизвестным

Решим следующую задачу.

Задача 3. Человек выехал в 6 ч. утра на автомашине из города А в город В, через город С. В городе С он должен взять по дороге пакет, привезённый на поезде, проходящем через город С в 10 ч, и отвезти его в город В, чтобы успеть на поезд, отходящий в 17 часов. С какой скоростью он должен ехать, если расстояние от А до С равно 400 КМ., а от С до В – 480 км?

Решение. Т.к. в город С автомобилист должен приехать не ранее 10 часов (до этого времени пакет ещё не привезён в С), а 10 – 6 = 4, то скорость х км/ч должна быть такой,
что 4х < 400. С другой стороны, за 17 – 6 = 11 ч, он должен приехать в В, т.е. покрыть путь в 400 + 480 = 880 (км). Поэтому должно выполняться неравенство 11х > 880. Итак надо найти значение х, для которого выполняются оба неравенства 4х < 400 и 11х > 880. Эту задачу записывают в виде системы неравенств:

Из первого неравенства находим, что х < 100, а из второго, что х > 80. Значит, должно выполнятся двойное неравенство 80 < х < 100.

Ответ: 80 < х < 100, т.е. х принадлежит отрезку [80;100].

Задача 4. Производительность первого автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность второго завода первоначально составляла 95% от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин, выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое число машин.

Решение: Обозначим через х количество машин, производимых в сутки первым заводом. Тогда второй завод до реконструкции производил в сутки  машин, а после ввода дополнительной линии стал выпускать машин. Из условия задачи следует система неравенств:

Множество решений этой системы есть промежуток , т. к. числа и должны быть целыми, то х должно делиться на 100 и быть из указанного промежутка, поэтому х = 900. Следовательно I завод выпускает в сутки 900 автомобилей, а II завод до реконструкции выпускал автомобилей.

Ответ: 900 и 885.

Задача 5. Партию деталей решили поровну разложить по ящикам, сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, но при этом осталась одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все детали, и в оставшиеся ящики удалось разложить все детали поровну. Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помещается не более 20 деталей.
Решение. Пусть n – число ящиков, в каждый из которых первоначально положили по 12 деталей. Тогда общее число деталей равно (12n + 1). Так как из одного ящика все детали изъяли, а затем поровну разложили их в оставшиеся (n – 1) ящики, то в каждый ящик было положено (12n + 1) / (n – 1) деталей. Отношение (12n + 1) / (n – 1) должно удовлетворять двум условиям:

1) оно должно быть целым положительным числом,
2) оно не должно превосходить 20.
Поскольку , последнее выражение может быть натуральным при n  = 2 и n = 14.Но при , и это значение не является подходящим. При n = 14 условия 1) и 2) выполняются. Таким образом, в партии было 12•14 + 1 = 169 деталей.

Ответ: 169.

3. Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными

Решим следующую задачу.

Задача 6. Цена 1 м сатина 2000р., а цена 1 м капрона 4000 р. Сколько метров сатина и сколько метров капрона можно купить, чтобы общая цена покупки была не более 20000 рублей?

Решение. Обозначим число метров сатина через х, а число метров капрона через у, тогда общая стоимость покупки равна (2000х + 4000у) рублей. По условию задачи должно выполняться неравенство  2000х + 4000у = 20000.  При этом числа х и у должны быть неотрицательными. Обе части данного неравенства можно разделить на 2000. Таким образом, чтобы решить задачу, нужно сначала решить неравенство х + 2у < 10, а потом отобрать из этих решений неотрицательное. Неравенство х + 2у < 10 имеет бесконечно много решение. Например, можно взять х = 0, у = 0, или х = 1, у = 2, или х = 5, у = 2 и, конечно,   х = 6, у = –9. При всех этих значениях х и у выполняется неравенство х + 2у < 10.
Итак, из неравенства двумя неизвестными (как и из одного уравнения с двумя неизвестными) нельзя найти значения этих неизвестных. Можно только дать наглядное представление о совокупности всех решений этого неравенства. С этой целью заметим, что неравенства х + 2у < 10 имеет те же решения, что и неравенство у < 5 – 0,5х (перенесли х в правую часть с переменной знака и разделили обе части неравенства на 2). Уравнение у = 5 – 0,5х задаёт прямую АВ (рис. 1). Выше этой прямой выполняется неравенство у < 5 – 0,5х, поэтому нестрогое неравенство у < 5 – 0,5х изображается множеством, состоящим из всех точек прямой АВ и всех точек, лежащих ниже этой прямой. Это множество на рисунке 1 заштриховано.
Мы отмечали, что числа х и у должны быть неотрицательными. Но неотрицательные координаты имеют точки первой четверти, поэтому решение задач изображается найденного множества и первой четверти, т.е. треугольником АОВ (рис. 2). Вообще, чтобы изобразить наглядно решение какого-нибудь неравенства знаком равенства и начертить линию, имеющую полученное уравнение. Эта линия делит плоскость. С каждой части следует выбрать пробную точку и подставить её координаты в неравенство. Если получится верное числовое неравенство, то вся часть, содержащая данную точку, принадлежит решению (граница части – лишь в случае, когда неравенство нестрогое!). Объединяя все такие части, получаем наглядное изображение решения неравенства.

 Задача 7. (МИФИ, 1976 г.). Найдите все двузначные числа, удовлетворяющие следующим условиям: сумма цифр числа не менее 7; сумма квадратов цифр не более 30; число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, по крайней мере, вдвое меньше данного.
Решение. Запишем искомое число в виде 10х + у, где х – цифра в разряде десятков, у – цифра в разряде единиц. По условию задачи

х + y > 7,                                                  (1)
х² + у² < 30,                                             (2)
10х + y > 2(10у + х). или 8х > 19у.        (3)

Из (3) следует, что у может принимать значения 0, 1, 2, 3 (так как х < 9).Если у = 0, то из (1) следует, что х > 7. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у =  l, то из (1) следует, что х > 6. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = 2, то х > 5. Числа х = 5, у = 2 удовлетворяют всем неравенствам. При у = 2, х > 5 неравенство (2) не выполняется. Пусть у = 3. Из (3) следует х > 8, такие числа не удовлетворяют неравенству (2). Таким образом, больше решений нет.

Ответ: 52.

Задача 8. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?

Решение: Обозначим через х число деталей в первом ящике, а через у число деталей во втором ящике. Тогда согласно условию имеет место система неравенств:

Перепишем эту систему в виде

Отсюда следуют, справедливые неравенства:

Неравенство (2) можно переписать в виде , а неравенство (3) в виде

Т. к. и у – натуральное число, то у может быть равен либо 6, либо 7.

Если у равен 6, то система неравенств (1) перепишется в виде

Ясно, что нет натуральных чисел х, удовлетворяющих ей. Пусть у = 7, тогда система (1) примет вид:

Откуда следует, что существует единственное натуральное число х = 24, удовлетворяющее ей. Следовательно, в первом ящике 24 детали, а во втором ящике 7 деталей.
Ответ: в I ящике 24 детали, а во II – 7 деталей.

Задача 9. Пункты А и В расположены на одному реке так, что плот плывущий от А до В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость (скорость в стоячей воде) катера увеличилась на 40 %, то тот же путь (от А до В и обратно) занял у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь из В в А, когда его собственная скорость не увеличена.

Решение. Пусть s – расстояние между пунктами А и В, u – собственная скорость катера, v – скорость течения. Имеем следующую систему уравнений и неравенств:

Надо определить  и полагая (по смыслу задачи, х > 1), преобразуем неравенства:

Так как и х > 1, то после преобразования получим систему неравенств, эквивалентную исходной: 5х² – 24х – 5 < 0, 1,96х² – 9,6х – 1 > 0. Эта система совместна при х = 5. Далее, получаем:

Ответ: 6.

Общие задачи:

Задача 10. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом всё равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?

Решение. Обозначим через n количество вагонов вместимостью 50 тонн, в которые был загружен весь груз, тогда вес груза = 50п тонн. Вагонов вместимостью 60 тонн было использовано (n – 5). Так как в них был помещён весь груз и один вагон оказался не полностью загруженным, то 60 • (п – 5) > 50п и 60 • (п – 6) < 50п. Из этих неравенств следует, что 300 < 10п < 360 или 30 < n < 36. Поскольку n – целое число, то 31 < n < 35. Вагонов вместимостью 80 тонн при погрузке было использовано(n – 13) . Подобно предыдущему получаем, что 80 • (п – 13) > 50п и 80 • (п – 14) < 50n или . Так как , а n – целое число, то 35 < n < 37. Из 31 < n < 35 и 35 < n < 37 следует, что n = 35. Значит, вес груза = 50 • 35 = 1750 тонн.

Ответ: 1750 тонн.

Задача 11. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших успеваемость во II полугодии, заключён в пределах от 2.9% до 3.1%. Определить минимальное число учеников в таком классе.

Решение. Пусть n – число учеников в таком классе, о котором сообщают в газете, m – число учеников этого класса, повысивших успеваемость, тогда про цент учеников, повысивших успеваемость, равен 100. По условию задачи (1)

Из равенства (1) следует, что т m =/= 0 (т.е. m > 1) и. Поскольку очевидно, что , то n > 33. Итак, в классе о котором сообщается в газете, учеников не меньше, чем 33. Теперь надо выяснить, какое минимальное количество учеников всё-таки может быть в классе. Легко видеть, что если в классе будет 33 ученика и один из них повысит успеваемость, т.е. если n = 33 и m = 1, то такая пара чисел удовлетворяет неравенство (1). Значит, в классе, о котором сообщается в газете, минимально возможное число учеников 33.

Ответ: 33 учеников.

Задача 12. Все коробки какие есть на базе, имеют одинаковые площади оснований. Грузчики хотят поместить в один контейнер с той же площадью основания 20 коробок. Какой высоты должен быть контейнер. Если высоты коробок оцениваются неравенствами 29 см < h < 32 см?

Решение. 29 • 20 < 20h < 31 • 20, т. е. 580 < 20h < 620.
Допустим, все плоские коробки имеют минимальную высоту 29 мм. Тогда все они поместятся в коробке высотой 580 см. но если найдётся хоть одна коробка большей высоты, то затея грузчиков провалится. В реальности очень часто бывает, что минимальный и максимальный размеры колеблются в заданных допусках. А если мы хотим быть уверенным, что 20 коробок действительно всегда поместятся в контейнер, то надо считать, будто все коробки имеют максимальную высоту, т. е. выбрать контейнер высотой 620 см. Это и будет убедительным доводом в пользу затеи грузчиков.

Ответ: 620 см.

Литература.

1. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями). – М.: Наука, Главная редакция Физико-математической литературы, 1983. с 8–9.
2. Дорофеев Г.В. Потапов Н.К. Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих ВУЗы. Издательство «Наука» главная редакция Физико-математической литературы 1976. с 146–150.
3. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика - 3-е издание, испр. и доп. Москва: Педагогика-Пресс, 1999. с 213–214.
4. Фролова ИЛ. Методика изучения приложений неравенств в курсе математики средней школы. Автореферат канд. дис .. М., 1982.
5. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики. В кн.: Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей/ Составитель. С.И.Шварцбурд, О.А.Боковнев.-М.: Просвещение, 1977.
6. Потапов М.К. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. – 480 с.