1. Неравенства первой степени с одним неизвестным
Решим задачу.
Задача 1. От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов. В каком часу человеку, живущему в деревне, надо выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со скоростью 5 км/ч?
Решение. Если пешеход выйдет из дома в х ч. Утра, то до 11 ч. он шёл бы (11 – х) ч. За это время он прошёл бы 5(11 – х) км. Чтобы он успел на поезд, надо, чтобы это расстояние было не меньше 20 км, т. е. должно выполняться неравенство 5(11 – х) > 20. Рассуждаем так. Найдём, в каком часу человек должен выйти, чтобы в точности успеть на поезд. Для этого должно выполняться равенство 5(11 – х) = 20. Решая это уравнение, получаем (11 – х) = 4 и потому х = 7. Значит, выйдя из дома в 7 часов утра, пешеход успеет на поезд. Тем более он успеет на него, выйдя из дома ещё раньше. А если он выйдет из дома позднее, то опоздает на поезд. Значит, чтобы успеть на поезд нужно выйти не позднее чем в 7 часов утра. На языке математики это значит, что решение неравенства 5(11 – х) > 20 имеет вид х < 7.
Задача 2. В одном бассейне налито 100 литров воды, а во втором – 150 литров воды. Каждый час в первый бассейн вливается 15 литров воды, а во второй – 5 литров. В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?
Решение: За х часов в первый бассейн
вольётся 15х л. воды и в нём станет (100 + 15х)
л. воды. Так же находим, что через х ч. во
втором бассейне будет (150 + 5х)л. воды. Надо
найти такие значения х, для которого
выполняется неравенство (100 + 15х) > (150 + 5х),
т.е. решить неравенство с переменной х.
Это неравенство решается так (15х – 5х)
> (150 – 100), Т.е. 10х > 50. Но если 10х > 50,
то х > 5. Итак в первом бассейне окажется
больше воды, чем во втором, при х > 5, т.е.
после 5 ч. с начала вливания воды.
2. Системы неравенств с одним неизвестным
Решим следующую задачу.
Задача 3. Человек выехал в 6 ч. утра на автомашине из города А в город В, через город С. В городе С он должен взять по дороге пакет, привезённый на поезде, проходящем через город С в 10 ч, и отвезти его в город В, чтобы успеть на поезд, отходящий в 17 часов. С какой скоростью он должен ехать, если расстояние от А до С равно 400 КМ., а от С до В – 480 км?
Решение. Т.к. в город С автомобилист
должен приехать не ранее 10 часов (до этого
времени пакет ещё не привезён в С), а 10 – 6 = 4,
то скорость х км/ч должна быть такой,
что 4х < 400. С другой стороны, за 17 – 6 = 11
ч, он должен приехать в В, т.е. покрыть путь в
400 + 480 = 880 (км). Поэтому должно выполняться
неравенство 11х > 880. Итак надо найти
значение х, для которого выполняются оба
неравенства 4х < 400 и 11х > 880.
Эту задачу записывают в виде системы неравенств:
Из первого неравенства находим, что х < 100, а из второго, что х > 80. Значит, должно выполнятся двойное неравенство 80 < х < 100.
Ответ: 80 < х < 100, т.е. х принадлежит отрезку [80;100].
Задача 4. Производительность первого автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность второго завода первоначально составляла 95% от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин, выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое число машин.
Решение: Обозначим через х количество
машин, производимых в сутки первым заводом. Тогда
второй завод до реконструкции производил в сутки
машин, а после
ввода дополнительной линии стал выпускать 
машин. Из условия
задачи следует система неравенств:
Множество решений этой системы есть промежуток
, т. к. числа 
и должны быть
целыми, то х должно делиться на 100 и быть из
указанного промежутка, поэтому х = 900.
Следовательно I завод выпускает в сутки 900
автомобилей, а II завод до реконструкции выпускал 
автомобилей.
Ответ: 900 и 885.
Задача 5. Партию деталей решили
поровну разложить по ящикам, сначала в каждый
ящик положили по 12 деталей, но при этом осталась
одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все
детали, и в оставшиеся ящики удалось разложить
все детали поровну. Сколько деталей было в
партии, если в каждый ящик помещается не более 20
деталей.
Решение. Пусть n – число ящиков, в
каждый из которых первоначально положили по 12
деталей. Тогда общее число деталей равно (12n +
1). Так как из одного ящика все детали изъяли, а
затем поровну разложили их в оставшиеся (n –
1) ящики, то в каждый ящик было положено (12n + 1)
/ (n – 1) деталей. Отношение (12n + 1) / (n
– 1) должно удовлетворять двум условиям:
1) оно должно быть целым положительным числом,
2) оно не должно превосходить 20.
Поскольку 
,
последнее выражение может быть натуральным при n
= 2 и n = 14.Но при 
, и это значение не является подходящим.
При n = 14 условия 1) и 2) выполняются. Таким
образом, в партии было 12•14 + 1 = 169 деталей.
Ответ: 169.
3. Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными
Решим следующую задачу.
Задача 6. Цена 1 м сатина 2000р., а цена 1 м капрона 4000 р. Сколько метров сатина и сколько метров капрона можно купить, чтобы общая цена покупки была не более 20000 рублей?
Решение. Обозначим число метров сатина
через х, а число метров капрона через у,
тогда общая стоимость покупки равна (2000х + 4000у)
рублей. По условию задачи должно выполняться
неравенство 2000х + 4000у = 20000. При
этом числа х и у должны быть
неотрицательными. Обе части данного неравенства
можно разделить на 2000. Таким образом, чтобы
решить задачу, нужно сначала решить неравенство х
+ 2у < 10, а потом отобрать из этих решений
неотрицательное. Неравенство х + 2у <
10 имеет бесконечно много решение. Например, можно
взять х = 0, у = 0, или х = 1, у = 2,
или х = 5, у = 2 и, конечно, х = 6, у
= –9. При всех этих значениях х и у
выполняется неравенство х + 2у < 10.
Итак, из неравенства двумя неизвестными (как и из
одного уравнения с двумя неизвестными) нельзя
найти значения этих неизвестных. Можно только
дать наглядное представление о совокупности
всех решений этого неравенства. С этой целью
заметим, что неравенства х + 2у < 10
имеет те же решения, что и неравенство у <
5 – 0,5х (перенесли х в правую часть с
переменной знака и разделили обе части
неравенства на 2). Уравнение у = 5 – 0,5х задаёт
прямую АВ (рис. 1). Выше этой прямой выполняется
неравенство у < 5 – 0,5х, поэтому нестрогое
неравенство у < 5 – 0,5х
изображается множеством, состоящим из всех точек
прямой АВ и всех точек, лежащих ниже этой прямой.
Это множество на рисунке 1 заштриховано.
Мы отмечали, что числа х и у должны быть
неотрицательными. Но неотрицательные координаты
имеют точки первой четверти, поэтому решение
задач изображается найденного множества и
первой четверти, т.е. треугольником АОВ (рис. 2).
Вообще, чтобы изобразить наглядно решение
какого-нибудь неравенства знаком равенства и
начертить линию, имеющую полученное уравнение.
Эта линия делит плоскость. С каждой части следует
выбрать пробную точку и подставить её координаты
в неравенство. Если получится верное числовое
неравенство, то вся часть, содержащая данную
точку, принадлежит решению (граница части – лишь
в случае, когда неравенство нестрогое!).
Объединяя все такие части, получаем наглядное
изображение решения неравенства.
Задача 7. (МИФИ, 1976 г.). Найдите все
двузначные числа, удовлетворяющие следующим
условиям: сумма цифр числа не менее 7; сумма
квадратов цифр не более 30; число, записанное теми
же цифрами, но в обратном порядке, по крайней
мере, вдвое меньше данного.
Решение. Запишем искомое число в виде 10х +
у, где х – цифра в разряде десятков, у
– цифра в разряде единиц. По условию задачи
х + y > 7, (1)
х2 + у2 < 30, (2)
10х + y > 2(10у + х). или 8х > 19у. (3)
Из (3) следует, что у может принимать значения 0, 1, 2, 3 (так как х < 9).Если у = 0, то из (1) следует, что х > 7. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = l, то из (1) следует, что х > 6. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = 2, то х > 5. Числа х = 5, у = 2 удовлетворяют всем неравенствам. При у = 2, х > 5 неравенство (2) не выполняется. Пусть у = 3. Из (3) следует х > 8, такие числа не удовлетворяют неравенству (2). Таким образом, больше решений нет.
Ответ: 52.
Задача 8. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?
Решение: Обозначим через х число деталей в первом ящике, а через у число деталей во втором ящике. Тогда согласно условию имеет место система неравенств:
Перепишем эту систему в виде 
Отсюда следуют, справедливые неравенства:
Неравенство (2) можно переписать в виде 
, а неравенство (3) в
виде 
Т. к. 
и у –
натуральное число, то у может быть равен
либо 6, либо 7.
Если у равен 6, то система неравенств (1) перепишется в виде
Ясно, что нет натуральных чисел х, удовлетворяющих ей. Пусть у = 7, тогда система (1) примет вид:
Откуда следует, что существует единственное
натуральное число х = 24, удовлетворяющее ей.
Следовательно, в первом ящике 24 детали, а во
втором ящике 7 деталей.
Ответ: в I ящике 24 детали, а во II – 7 деталей.
Задача 9. Пункты А и В расположены на одному реке так, что плот плывущий от А до В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость (скорость в стоячей воде) катера увеличилась на 40 %, то тот же путь (от А до В и обратно) занял у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь из В в А, когда его собственная скорость не увеличена.
Решение. Пусть s – расстояние между пунктами А и В, u – собственная скорость катера, v – скорость течения. Имеем следующую систему уравнений и неравенств:
Надо определить 
и полагая 
(по смыслу задачи, х > 1),
преобразуем неравенства:
Так как
и х
> 1, то после преобразования получим систему
неравенств, эквивалентную исходной: 5х2
– 24х – 5 < 0, 1,96х2 – 9,6х –
1 > 0. Эта система совместна при х = 5.
Далее, получаем: 
Ответ: 6.
Общие задачи:
Задача 10. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом всё равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?
Решение. Обозначим через n количество
вагонов вместимостью 50 тонн, в которые был
загружен весь груз, тогда вес груза = 50п тонн.
Вагонов вместимостью 60 тонн было использовано (n
– 5). Так как в них был помещён весь груз и один
вагон оказался не полностью загруженным, то 60 • (п
– 5) > 50п и 60 • (п – 6) < 50п. Из этих
неравенств следует, что 300 < 10п < 360 или 30 <
n < 36. Поскольку n – целое число, то 31 <
n < 35. Вагонов вместимостью 80 тонн при
погрузке было использовано(n – 13) . Подобно
предыдущему получаем, что 80 • (п – 13) > 50п
и 80 • (п – 14) < 50n или 
. Так как 
, а n – целое число, то 35 <
n < 37. Из 31 < n < 35 и 35 <
n < 37 следует, что n = 35. Значит, вес
груза = 50 • 35 = 1750 тонн.
Ответ: 1750 тонн.
Задача 11. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших успеваемость во II полугодии, заключён в пределах от 2.9% до 3.1%. Определить минимальное число учеников в таком классе.
Решение. Пусть n – число учеников в
таком классе, о котором сообщают в газете, m – число
учеников этого класса, повысивших успеваемость,
тогда про цент учеников, повысивших
успеваемость, равен 
100. По условию задачи 
(1)
Из равенства (1) следует, что т m =/= 0 (т.е. m
> 1) и
.
Поскольку очевидно, что 
, то n > 33. Итак, в классе о
котором сообщается в газете, учеников не меньше,
чем 33. Теперь надо выяснить, какое минимальное
количество учеников всё-таки может быть в классе.
Легко видеть, что если в классе будет 33 ученика и
один из них повысит успеваемость, т.е. если n =
33 и m = 1, то такая пара чисел удовлетворяет
неравенство (1). Значит, в классе, о котором
сообщается в газете, минимально возможное число
учеников 33.
Ответ: 33 учеников.
Задача 12. Все коробки какие есть на базе, имеют одинаковые площади оснований. Грузчики хотят поместить в один контейнер с той же площадью основания 20 коробок. Какой высоты должен быть контейнер. Если высоты коробок оцениваются неравенствами 29 см < h < 32 см?
Решение. 29 • 20 < 20h < 31 • 20, т. е. 580 <
20h < 620.
Допустим, все плоские коробки имеют минимальную
высоту 29 мм. Тогда все они поместятся в коробке
высотой 580 см. но если найдётся хоть одна коробка
большей высоты, то затея грузчиков провалится. В
реальности очень часто бывает, что минимальный и
максимальный размеры колеблются в заданных
допусках. А если мы хотим быть уверенным, что 20
коробок действительно всегда поместятся в
контейнер, то надо считать, будто все коробки
имеют максимальную высоту, т. е. выбрать
контейнер высотой 620 см. Это и будет убедительным
доводом в пользу затеи грузчиков.
Ответ: 620 см.
Литература.
1. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В.,
Смирнова С.Ф. Сборник конкурсных задач по
математике (с методическими указаниями и
решениями). – М.: Наука, Главная редакция Физико-математической
литературы, 1983. с 8–9.
2. Дорофеев Г.В. Потапов Н.К. Розов Н.Х. Пособие
по математике для поступающих ВУЗы. Издательство
«Наука» главная редакция Физико-математической
литературы 1976. с 146–150.
3. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного
математика - 3-е издание, испр. и доп. Москва:
Педагогика-Пресс, 1999. с 213–214.
4. Фролова ИЛ. Методика изучения приложений
неравенств в курсе математики средней школы.
Автореферат канд. дис .. М., 1982.
5. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса
математики. В кн.: Углубленное изучение алгебры и
анализа: Пособие для учителей/ Составитель. С.И.Шварцбурд,
О.А.Боковнев.-М.: Просвещение, 1977.
6. Потапов М.К. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В.
Конкурсные задачи по математике: Справочное
пособие – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. – 480
с.