Одной из основных задач обучения является
развитие целенаправленного мышления. Развитие
мышления предполагает формирование различных
понятий, в том числе и математических, так как они
выступают в качестве основной формы мышления.
Понятия не могут существовать в отдельности друг
от друга, они взаимно обусловлены, взаимосвязаны.
В учебном курсе понятия могут играть разную роль:
одни из них являются общими, другие же играют
подчиненную функцию. Учитель должен уметь
выделять общие ведущие понятия курса, которые
удовлетворяют следующим основным критериям:
– должны формировать научное мировоззрение;
– должны служить средством для изучения различных вопросов математики;
– активно работать на протяжении большого промежутка времени;
– способствовать наиболее полной реализации внутрипредметныхсвязей;
– иметь прикладную практическую направленность.
Примеры ведущих понятий: число, величина, фигура, функция, график, уравнение, неравенства, равносильность и алгоритм и.т.д. Существование каждого понятия было бы не возможно без определения отношения к другим. Некоторые понятия не могут существовать вне этих отношений. Так, например понятия радиус, хорда, диаметр, вписанный угол и. т. д. не мыслимо без соотнесения их с понятиями окружности. Например:
Цель реализации внутрипонятийных связей: научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировывать у них умение переформулирование определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей – образование понятия. Например, понятие арифметическая прогрессия:
Для любого понятия может быть выделен минимальный список наиболее важных отношений, необходимый в дальнейшем для изучения других вопросов.
Приведем пример (фрагмент урока по теме «Биссектриса угла» в 5-м классе). На доске нарисованы три угла:
– Что вы видите на этих рисунках? Провести анализ и выделить основные признаки.
Анализ (проводится детьми):
1. Нарисованы углы.
2. Лучи выходят из вершины угла.
3. Лучи делят углы на части.
4. В случае (2) луч делит угол на равные части.
– Какие основные признаки заметили во 2 случае.
– Луч делит угол на равные части и выходит из
вершины угла.
Для успешной реализации внутрипонятийных связей большое значение имеет работа школьников по осознанию тех связей, которые существуют между свойствами понятия.
Например, тема «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» (6-й класс).
Что я умею:
1.  2. |
3.  4. |
Дети:
– Умею 1 и 2 . Слагаю дроби с одинаковыми знаменателями. Дроби слагаются, если у них знаменатели одинаковые.
– В 3 и 4 примерах «ловушка».
Учитель: Можно ли выйти из этой «ловушки»?
Дети: Можно, если знаменатели были бы одинаковыми.
Учитель: Какие способы можно придумать, чтоб знаменатели были одинаковыми. Давайте рассмотрим знаменатели 12 и 3. Какая задача перед нами стоит?
Дети: Искать и найти новый одинаковый знаменатель.
(Работа в группах)
Версии детей:
Рассуждение детей:
– Применяем основное свойство дроби.
1-й способ: 
2-й способ: 
– Для решения задачи берем 2-й способ.
– Можно ли этот способ применить для 4-го примера?
– Да можно. Применяем понятие «кратность»:
Вывод:
– применили основное свойство дроби.
– применили понятие «кратность».
После 2-го урока можно ввести моделирование:
Получили общую модель для нахождения общего знаменателя.
Приведенные примеры показывают, что для усвоения понятия необходимо отыскать такой вид деятельности, который позволял бы усваивать основные элементы понятия и отношения между ними. При этом вид деятельности, будет зависеть от характера понятий.